1.3. Tujuan Penulisan
Tujuan tulisan ini adalah untuk mengenal lebih jauh teori medan yang sudah dipelajari dalam perkuliahan dan memperkenalkan medan Galois. Selain itu tulisan ini
juga mendeskripsikan beberapa konsep berkaitan dengan teori Galois.
1.4. Metode Penulisan
Penyusunan skripsi ini murni menggunakan metode studi pustaka.
1.5. Sistematika Pembahasan
Umumnya sebuah karya ilmiah, setiap pokok bahasan disusun secara sistematis. BAB II membahas operasi biner, teori grup, teori gelanggang dan medan, bilangan bulat
modulo n, polinomial, dan homomorfisma gelanggang. Pembuktian beberapa teorema dalam bab ini menggunakan teori himpunan dan teori bilangan yang cukup mendasar,
sehingga diasumsikan sudah dikenal dengan baik. Kemudian BAB III yang merupakan bab inti, mencakup perluasan medan, ruang vektor, dan medan Galois. Pembahasan
tentang perluasan medan diuraikan cukup cermat sehingga diharapkan pemahaman tentang medan dapat menjadi maksimal. Untuk menjaga materi tulisan yang padat tetapi
juga tidak terlalu banyak pembahasan, diasumsikan juga topik ruang vektor sudah dikenal dengan baik. Tetapi penulis tetap membuktikan beberapa teorema yang
dianggap perlu. Dan pembahasan medan Galois berikut sifat-sifatnya dibuat dalam suatu kesatuan pokok bahasan. Agar tidak terkesan kaku, bentuk-bentuk pernyataan
dalam BAB II dan BAB III disajikan bervariasi. Akhirnya BAB IV sebagai penutup, berisi poin-poin penting secara keseluruhan serta mengulas secara singkat hasil kerja
dari Galois. Penulis juga berusaha memberikan contoh-contoh penjelasan.
BAB II GRUP DAN GELANGGANG
2.1. Operasi Biner
Operasi biner pada himpunan takkosong B adalah aturan yang mengaitkan setiap
dua anggota dalam B dengan tepat satu anggota dalam B. Lebih tepatnya, operasi biner
pada B adalah sebuah pemetaan µ
: B ×
B →
B. Berarti µ
memetakan mengawankan setiap anggota pasangan terurut x, y dari anggota-anggota dalam B dengan suatu
anggota µ
x, y dalam B. Elemen anggota
µ x, y dinyatakan dalam bentuk x
∗ y. Karena x
∗ y
∈ B untuk
x , y
∈
B, maka himpunan B dikatakan bersifat tertutup terhadap operasi
∗ . Selanjutnya
himpunan B yang dilengkapi dengan operasi biner ∗
ditulis B, ∗
.
Contoh 2.1.1. Pada himpunan semua bilangan real R, operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian adalah operasi-operasi biner sebab jika a ∈
R dioperasikan dengan b
∈ R,
masing-masing menghasilkan tepat satu a +
b, a – b, ab dalam R. Sedangkan operasi pembagian bukanlah operasi biner pada R, karena hasil bagi
b a
tidak terdefinisi untuk b
= 0.
Contoh 2.1.2.
Jika ∗
didefinisikan dengan m ∗
n =
m
n
untuk setiap bilangan bulat positif m dan n, maka
∗ adalah operasi biner pada himpunan semua bilangan bulat positif.
Kategori