maka nZ Ideal dan Teorema Isomorfisma

Jika I ideal dalam gelanggang R, maka I subgrup normal dalam grup aditif komutatif R, sehingga dapat dibentuk grup faktor I R dengan operasi penjumlahan dan bersifat komutatif Lema 2.2.14. Elemen-elemen dalam I R adalah koset-koset kanan dari I dalam R yang berbentuk I + r dengan r ∈ R. Teorema berikut ini menunjukkan bahwa I R adalah gelanggang. Seperti halnya grup faktor, maka syarat supaya I R gelanggang adalah I ideal dalam R. Dengan perkataan lain, jika I ideal dalam R, maka I R gelanggang. Teorema 2.5.4. Jika R gelanggang dan I ideal dalam R, maka I R = {I + r : r ∈ R} adalah gelanggang terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan dengan I + a + I + b = I + a + b I + a ⋅ I + b = I + a ⋅ b untuk setiap I + a, I + b ∈ I R . BUKTI. Sudah ditunjukkan I R grup komutatif terhadap operasi + . Tinggal ditunjukkan operasi ⋅ bersifat tertutup dan asosiatif, dan berlaku hukum distributif. Ditunjukkan dahulu operasi ⋅ pada I R terdefinisi dengan baik, yaitu jika I + a 1 = I + a 2 dan I + b 1 = I + b 2 , maka I + a 1 ⋅ b 1 = I + a 2 ⋅ b 2 . Jika I + a 1 = I + a 2 dan I + b 1 = I + b 2 , maka a 1 = n 1 + a 2 dan b 1 = n 2 + b 2 untuk suatu n 1 , n 2 ∈ I. Sekarang, a 1 ⋅ b 1 = n 1 + a 2 ⋅ n 2 + b 2 = n 1 ⋅ n 2 + n 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ n 2 + a 2 ⋅ b 2 = n 3 + a 2 ⋅ b 2 di mana n 3 = n 1 ⋅ n 2 + n 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ n 2 . Maka a 1 ⋅ b 1 + − a 2 ⋅ b 2 = n 3 ∈ I sebab I ideal. Karena R grup aditif, maka menurut Lema 2.2.9, I + a 1 ⋅ b 1 = I + a 2 ⋅ b 2 . Ambil sembarang I + a, I + b, I + c ∈ I R . Jelas di sini operasi ⋅ pada I R bersifat tertutup. Dan operasi ⋅ pada I R bersifat asosiatif, yaitu I + a ⋅ I + b ⋅ I + c = I + a ⋅ b ⋅ I + c = I + a ⋅ b ⋅ c = I + a ⋅ b ⋅ c = I + a ⋅ I + b ⋅ c = I + a ⋅ I + b ⋅ I + c. Selanjutnya, I + a + I + b ⋅ I + c = I + a + b ⋅ I + c = I + a + b ⋅ c = I + a ⋅ c + b ⋅ c = I + a ⋅ c + I + b ⋅ c = I + a ⋅ I + c + I + b ⋅ I + c. Secara analog, maka I + c ⋅ I + a + I + b = I + c ⋅ I + a + I + c ⋅ I + b, sehingga dalam I R berlaku hukum distributif. ■ Definisi 2.5.5. Gelanggang I R = {I + r : r ∈ R} disebut gelanggang faktor. Lema 2.5.5. Jika R gelanggang komutatif dan I ideal dalam R, maka I R komutatif. BUKTI. Ambil sembarang I + r 1 , I + r 2 ∈ I R untuk suatu r 1 , r 2 ∈ R. Didapat I + r 1 ⋅ I + r 2 = I + r 1 ⋅ r 2 = I + r 2 ⋅ r 1 = I + r 2 ⋅ I + r 1 . Jadi I R komutatif. ■ Teorema 2.5.6. Jika R gelanggang komutatif dengan elemen satuan dan M ideal dalam R, maka M ideal maksimal jika dan hanya jika M R medan. BUKTI. ⇒ Ambil sembarang M + a ∈ M R dengan M + a ≠ M + 0. Maka a ∉ M. Kemudian ditunjukkan bahwa M + a mempunyai invers multiplikatif. Misalkan N = {r ⋅ a + m : r ∈ R dan m ∈ M}. Akan dibuktikan bahwa N ideal dalam R. Karena 0 = ⋅ a + ∈ N, maka N ≠ ∅ . Jika r 1 ⋅ a + m 1 , r 2 ⋅ a + m 2 ∈ N, maka r 1 ⋅ a + m 1 + − r 2 ⋅ a + m 2 = r 1 + − r 2 ⋅ a + m 1 + − m 2 ∈ N untuk suatu r 1 , r 2 ∈ R dan m 1 , m 2 ∈ M. Untuk sembarang r ∈ R, maka r ⋅ r 1 ⋅ a + m 1 = r ⋅ r 1 ⋅ a + r ⋅ m 1 ∈ N. Dan karena R komutatif, maka r 1 ⋅ a + m 1 ⋅ r = r 1 ⋅ r ⋅ a + m 1 ⋅ r ∈ N. Jadi N ideal dalam R Teorema 2.5.1. Perhatikan bahwa untuk ∀ m ∈ M, 0 ⋅ a + m = m ∈ N. Lagipula a ∉ M tetapi 1 R ⋅ a + = a ∈ N. Ini menunjukkan bahwa M ⊂ N. Padahal M ideal maksimal dalam R, maka haruslah N = R. Jadi 1 R ∈ N, sehingga 1 R = r ⋅ a + m. Sekarang, M + 1 R = M + r ⋅ a + m = M + r ⋅ a + M + m = M + r ⋅ a = M + r ⋅ M + a. Ini berarti ∃ M + r ∈ M R sedemikian sehingga M + r ⋅ M + a = M + 1 R . Terbukti M R medan. ⇐ Diasumsikan M R medan, akan ditunjukkan M ideal maksimal. Andaikan M bukan ideal maksimal. Maka terdapat ideal N sedemikian sehingga M ⊂ N ⊂ R. Jelas M ideal dalam N, sehingga dapat dibentuk gelanggang faktor M N . Akan dibuktikan M N ideal dalam M R . Jika M + n ∈ M N dengan n ∈ N, maka sembarang M + r ∈ M R dengan r ∈ R, M + r ⋅ M + n = M + r ⋅ n ∈ M N sebab N ideal dalam R. Juga M + n ⋅ M + r ∈ M N . Jadi M N ideal dalam M R . Dengan demikian {M + 0} ⊂ M N ⊂ M R . Padahal menurut Teorema 2.5.3, medan M R hanya memuat ideal-ideal {M + 0} dan M R . Timbul suatu kontradiksi. Jadi haruslah M ideal maksimal. ■ Teorema 2.5.7. Ideal sejati I dalam gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah ideal prima jika dan hanya jika I R daerah integral. BUKTI. ⇒ Sudah dibuktikan bahwa jika I ideal dalam R, maka I R gelanggang komutatif. Akan ditunjukkan bahwa jika I ideal prima, maka I R daerah integral. Ambil sembarang I + a, I + b ∈ I R . Jika I + a ⋅ I + b = I + a ⋅ b = I + 0, maka haruslah a ⋅ b ∈ I. Karena I ideal prima, maka a ∈ I atau b ∈ I. Ini menunjukkan I + a = I + 0 atau I + b = I + 0. Terbukti I R daerah integral. ⇐ Ambil sembarang r 1 , r 2 ∈ R. Jika r 1 ⋅ r 2 ∈ I, maka I + r 1 ⋅ r 2 = I + 0. Karena I R adalah daerah integral, maka jika I + r 1 ⋅ r 2 = I + r 1 ⋅ I + r 2 = I + 0, haruslah I + r 1 = I + 0 atau I + r 2 = I + 0. Ini berarti r 1 ∈ I atau r 2 ∈ I. Terbukti I ideal prima. ■ Teorema 2.5.8. Setiap ideal maksimal I dalam gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah ideal prima. BUKTI. Jika I ideal maksimal dalam R, maka I ≠ R. Dari Teorema 2.5.6, I R medan. Karena medan adalah daerah integral, maka dari Teorema 2.5.7, I ideal prima. ■ Berikutnya didefinisikan pemetaan gelanggang yang merupakan homomorfisma. Definisi 2.5.6. Misalkan R dan S adalah gelanggang-gelanggang. Maka pemetaan θ : R → S disebut homomorfisma gelanggang jika dan hanya jika θ a + b = θ a + θ b dan θ a ⋅ b = θ a ⋅ θ b untuk setiap a, b ∈ R. Contoh 2.5.2. Didefinisikan θ : Z → Z n dengan aturan θ a = [a] untuk setiap a ∈

Z. Maka

θ adalah pemetaan dari Z ke Z n . Sekarang, θ a + b = [a + b] = [a] + [b] = θ a + θ b. Kemudian, θ ab = [ab] = [a] ⋅ [b] = θ a ⋅ θ b. Maka pemetaan θ : Z → Z n adalah homomorfisma gelanggang. Definisi 2.5.7. Misalkan θ : R → S homomorfisma gelanggang. Maka kernel θ ditulis Ker θ adalah himpunan elemen-elemen r ∈ R sedemikian sehingga θ r = S . Sedangkan image θ bayangan homomorfisma dan ditulis Imθ adalah himpunan elemen-elemen s ∈ S sedemikian sehingga s = θ r untuk suatu r ∈ R. Proposisi 2.5.9. Jika R, S adalah gelanggang-gelanggang dan θ : R → S homomorfisma, maka i θ R = S dan θ − r = −θ r untuk ∀ r ∈ R. ii Ker θ = {r ∈ R : θ r = S } ideal dalam R. iii Im θ = {s ∈ S : s = θ r, r ∈ R} subgelanggang dari S. iv θ injektif jika dan hanya jika Ker θ = {0 R }. BUKTI. i Karena θ homomorfisma, maka θ R + θ R = θ R + R = θ R = θ R + S . Dengan kanselasi aditif, maka θ R = S . Kemudian untuk sembarang r ∈ R, maka θ − r + θ r = θ − r + r = θ R = S = −θ r + θ r sebab S gelanggang. Dengan kanselasi aditif, maka θ − r = −θ r. ii Ker θ ≠ ∅ sebab 0 R ∈ Ker θ . Ambil sembarang a, b ∈ Ker θ . Maka θ a = S dan θ b = S , sehingga θ a + − b = θ a + θ − b = θ a + −θ b = S + S = S . Ini berarti a + − b ∈ Ker θ . Kemudian jika r ∈ R, maka θ r ⋅ a = θ r ⋅ θ a = θ r ⋅ S = S dan θ a ⋅ r = θ a ⋅ θ r = S ⋅ θ r = S , sehingga r ⋅ a ∈ Ker θ dan a ⋅ r ∈ Ker θ . Menurut Teorema 2.5.1, Ker θ ideal dalam R. iii Jelas Im θ ≠ ∅ sebab 0 S ∈ Im θ menurut i. Ambil sembarang s 1 , s 2 ∈ Im θ sedemikian sehingga s 1 = θ r 1 dan s 2 = θ r 2 , untuk suatu r 1 , r 2 ∈ R. Maka s 1 + s 2 = θ r 1 + θ r 2 = θ r 1 + r 2 ∈ Im θ dan s 1 ⋅ s 2 = θ r 1 ⋅ θ r 2 = θ r 1 ⋅ r 2 ∈ Im θ sebab θ homomorfisma dan R gelanggang. Selanjutnya menurut i, − s 1 = −θ r 1 = θ − r 1 ∈ Im θ . Menurut Teorema 2.3.2, Im θ subgelanggang dari S. iv ⇒ Jika a ∈ Ker θ , maka θ a = S = θ R . Karena θ injektif, maka a = R , sehingga Ker θ = {0 R }. ⇐ Ambil sembarang r 1 , r 2 ∈ R sedemikian sehingga θ r 1 = θ r 2 . Maka 0