Definisi 2.2.9.
Grup koset-koset kanan dari subgrup normal N dalam grup G ditulis N
G disebut
grup faktor.
Lema 2.2.14.
Jika G grup komutatif dan N ≤
G, maka N G
dan N
G grup komutatif.
BUKTI. Ambil sembarang a
∈ G dan n
∈ N. Maka a
∗ n
∗ a
− 1
= n
∗ a
∗ a
− 1
= n
∈ N sebab G
grup komutatif. Menurut Definisi 2.2.8, N G
. Dan karena N normal dalam G, maka terdapat grup faktor
N G
. Selanjutnya ditunjukkan N
G komutatif. Ambil sembarang
Na , Nb
∈ N
G . Maka Na
• Nb
= Na
∗ b
= Nb
∗ a
= Nb
• Na. Dengan demikian
N G
grup komutatif. ■
Teorema 2.2.15.
Jika G grup berhingga dan N G
, maka N
G =
N G
.
BUKTI. Teorema Lagrange telah membuktikan bahwa G
= G
: N N di mana G
: N adalah
indeks dari N dalam G. Maka N
G =
G :
N =
N G
. ■
2.3. Gelanggang dan Medan
Dalam grup didefinisikan sebuah operasi bersifat umum, dapat berupa operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, komposisi, dan sebagainya. Jadi jika G adalah
grup terhadap operasi penjumlahan, maka operasi tersebut yang dipakai. Dalam gelanggang didefinisikan dua buah operasi, yaitu operasi
+ penjumlahan
dan operasi ⋅
perkalian, bahkan kombinasi dari kedua operasi tersebut. Ini membuat gelanggang sedikit lebih sulit daripada grup, tetapi hal ini justru membuat obyek-obyek
gelanggang kurang bervariasi dibandingkan grup, dalam arti grup lebih mudah untuk dieksplorasi.
Definisi 2.3.1.
Himpunan R, +
, ⋅
disebut gelanggang jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat
i R,
+ grup komutatif,
ii operasi ⋅
bersifat asosiatif, iii kombinasi operasi
+ dan
⋅ bersifat distributif, yaitu
a +
b ⋅
c =
a ⋅
c +
b ⋅
c dan c ⋅
a +
b =
c ⋅
a +
c ⋅
b untuk ∀
a , b, c
∈ R.
Dari definisi gelanggang di atas, akan diuraikan sifat i di mana R adalah grup aditif grup dengan operasi penjumlahan yang komutatif. Untuk setiap a, b, c
∈ R,
maka sifat asosiatif berarti a +
b +
c =
a +
b +
c, sifat komutatif berarti a +
b =
b +
a, kemudian elemen identitas adalah 0 di mana a
+ =
a, dan invers aditif dari a adalah −
a di mana
− a
+ a
= 0. Selanjutnya dari definisi pangkat suatu elemen, maka di sini a
n
adalah a +
a +
… +
a =
na.
Definisi 2.3.2.
Gelanggang R, +
, ⋅
disebut gelanggang komutatif jika dan hanya jika operasi
⋅ bersifat
komutatif.
Contoh 2.3.1. Himpunan semua bilangan bulat Z,
+ ,
⋅
, himpunan semua bilangan rasional Q,
+ ,
⋅ ,
himpunan semua bilangan real R,
+ ,
⋅
, himpunan semua bilangan kompleks C,
+ ,
⋅ adalah gelanggang-gelanggang komutatif.
Gelanggang R merupakan grup aditif. Jika operasi ∗
dalam Teorema 2.2.1 diganti dengan operasi
+ , maka dalam R berlaku hukum kanselasi aditif, penyelesaian tunggal
dari persamaan linear aditif , ketunggalan elemen identitas, ketunggalan invers aditif,
sifat -sifat invers aditif, dan hukum eksponen aditif.
Proposisi 2.3.1.
Misalkan R gelanggang dengan elemen identitas 0 dan a, b, c ∈
R. Maka berlaku i
⋅ a
= a
⋅ =
0. ii a
⋅ −
b =
− a
⋅ b
= −
a ⋅
b. iii
− a
⋅ −
b =
a ⋅
b.
BUKTI. i
Menurut Definisi 2.3.1, 0 ⋅
a +
⋅ a
= +
⋅ a
= ⋅
a =
⋅ a
+ 0. Dengan
kanselasi aditif, maka 0 ⋅
a =
0. Dengan cara yang sama, maka a ⋅
= 0.
ii a ⋅
b +
a ⋅
− b
= a
⋅ b
+ −
b =
a ⋅
= 0. Jadi a
⋅ −
b adalah invers aditif dari
a ⋅
b, yaitu −
a ⋅
b =
a ⋅
− b
. Dengan cara yang sama, maka −
a ⋅
b =
− a
⋅ b.
iii Dari ii dan sifat invers aditif, maka didapat −
a ⋅
− b
= −
a ⋅
− b
= −
− a
⋅ b
= a
⋅ b.
■
Definisi 2.3.3.
Misalkan R gelanggang dan S ⊆
R. Himpunan S disebut subgelanggang dari R jika dan
hanya jika S, +
, ⋅
gelanggang di mana +
dan ⋅
adalah operasi pada R.
Teorema 2.3.2 Uji Subgelanggang.
Jika R gelanggang dan S ⊆
R, maka S subgelanggang dari R jika dan hanya jika i
S ≠
∅ ,
ii ∀
a , b
∈ S a
+ b
∈ S dan a
⋅ b
∈ S,
iii ∀
a ∈
S −
a ∈
S.
BUKTI. ⇒
Definisi 2.3.3. ⇐
Karena S ⊆
R dan berlaku ii, maka operasi +
dan ⋅
bersifat asosiatif, tertutup, dan kombinasinya bersifat distributif. Jika diambil sembarang a
∈ S, maka dari
ii dan iii, a +
− a
= ∈
S dan −
a ∈
S. Di sini S grup aditif komutatif sebab operasi
+ pada R bersifat komutatif.
Menurut Definisi 2.3.3, S subgelanggang dari R. ■
