Revised Simplex Method Dualitas

1. Hasil dari sub-problem lebih jelek dibanding dengan batas atas yang sudah diidentifikasi 2. Pencabangan selanjutnya menghasilkan solusi tak layak. Contoh prosedur branch and bound dalam menemukan solusi integer yang layak Gambar 3.1. Bagan Solusi Branch and Bound

3.10. Revised Simplex Method

Revised Simlex Method menawarkan peningkatan efisiensi dan keakuratan perhitungan. Menggunakan langkah-langkah yang sama dengan primal simpleks Perbedaan hanya pada perhitungan variabel masuk dan keluar. Standar model LP dalam matriks Maksmin z = CX Terhadap A,IX=b Universitas Sumatera Utara X ≥ 0 I = matriks identitas X = x 1 , x 2 , …, x n T dan C = c 1 , c 2 , …, c 3 Contoh 1: Maksimumkan z = 2x1+3x2+4x3 Terhadap x1+x2+x3 ≥ 5 x1+2x2 = 7 5x1-2x2+3x3 ≤ 9 x1,x2,x3 ≥ 0 Universitas Sumatera Utara X = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 T , C = 2, 3, 4, 0, -M, -M, 0, b= 5, 7, 9 T Solusi dasar dan basis : − Titik ekstrim → solusi dasar − Secara matematis : �, �� = ∑ � � � � � �=1 − Pj → vektor kolom A,I − Sembarang vektor Pj independen linear akan berhub dengan solusi dasar A,IX=b dan oleh karenanya merupakan titik ekstrim ruang solusi. Dalam hal ini, m vektor yg terpilih membentuk basis dimana matriks kuadrat yg sesuai pasti nonsingular. Tabel 3.2. Simpleks dalam Bentuk Matriks XII elemen X yg merupakan basis awal B=I C I = koefisien tujuan XI, CII = koefisien tujuan XII C B = koefisien tujuan basis X B = variabel basis Def I m =e 1 , e 2 , …, e m Langkah-langkah metode Revised primal simpleks: Universitas Sumatera Utara 1. Penentuan vektor masuk Pj, untuk setiap Pj non-basic hitung: z j -c j =Yp j -c j pilih P j yang mempunyai nilai z j -c j positif terbesar jika minimisasi dan negatif terbesar jika maksimisasi 2. Penentuan vektor keluar Pr • hitung nilai variabel basis → X B = B -1 b • Koefisien pembatas variabel masuk α j = B -1 P j •Vektor keluar berhubungan dengan � = ��� � � −1 � � � � , � � � � � −1 � � dan � � � adalah elemen ke –k dari B -1 b dan α j 3. Penentuan basis berikutnya hitung : � ���� −1 = �� −1 , Dimana E = e 1 , …, e r-1 , ξ, e r+1 , e m � � � adalah perpotongan vektor masuk dan keluar

3.11. Dualitas

Dualitas muncul didorong oleh pentingnya informasi tambahan yg dapat diperoleh dari tabel simpleks optimum. Setiap LP terdiir atas 2 bentuk : Primal Universitas Sumatera Utara dan Dual. Bila masalah primal dibandingkan dg masalah dual ada beberapa hubungan: 1. Koef fungsi tujuan primal menjadi sisi kanan dual. Sisi kanan primal menjadi koef dungsi tujuan dual 2. Tanda pertidaksamaan kendala dibalik 3. Tujuan diubah dari min max dalam primal menjadi max min dalam dual 4. Kolom primal ≈ baris kendala dalam dual. ∑ kendala dual = ∑ variabel primal 5. Baris kendala primal ≈ kolom dual. Sehingga ada satu variabel dual ∀ kendala primal 6. Bentuk dual dari dual adalah primal Ada beberapa kategori bentuk Primal-Dual yaitu : a. Masalah Primal-Dual Simetrik Bentuk Umum : Primal : Max Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n X n Kendala A 11 X 1 + A 12 X 2 + ... +A 1n X n ≤ B 1 A 21 X 1 + A 22 X 2 + ... +A 2n X n ≤ B 2 n = Varibel m = Kendala A m1 X 1 + A m2 X 2 + ... +A mn X n ≤ B m X 1 , X 2 , ... X n ≥ 0 Universitas Sumatera Utara Dual : Min W = B 1 Y 1 + B 2 Y 2 + ... + B m Y m Kendala A 11 Y 1 + A 12 Y 2 + ... +A 1m Y m ≤ C 1 A 21 Y 1 + A 22 Y 2 + ... +A 2m Y m ≤ C 2 m = Varibel . n = Kendala . A 1n Y 1 + A 2n Y 2 + ... +A mn Y m ≤ C n Y 1 , Y 2 , ... Y m ≥ 0 Dalam notasi matrik, masalah primal – dual simetrik : Primal : Maksimumkan Z = cX Dengan syarat : Ax ≤ b x ≥ 0 Dual : Minimumkan W = Yb Dengan syarat : yA ≥ c y ≥ 0 Dimana A = matriks m x n x = vektor kolom n x 1 b = vektor kolom m x 1 y = vektor baris 1 x m c = vektor baris 1 x n Aturan umum menuliskan bentuk dual dari LP yang simetrik : a. Misalkan sebuah variabel dual non negatif untuk setiap kendala primal b. Vektor baris koef fungsi tujuan primal diubah menjadi vektor kolom sisi kanan dual Universitas Sumatera Utara c. Vektor kolom sisi kanan primal diubah menjadi vektor baris koef fungsi tujuan dual d. Transpose koef matriks kendala primal ke kendala dual e. Balik arah pertidaksamaan kendala f. Balik arah optimisasi min - max atau sebaliknya Ada beberapa teori mengenai dualitas yaitu : a. Weak Duality Theorem Misal bentuk primal dual simetrik Max Z = cX dan Min W = Yb Dengan syarat : Ax ≤ b Dengan syarat : yA ≥ c x ≥ 0 y ≥ 0 Nilai fungsi tujuan masalah minimisasi dual untuk setiap solusi yg layak selalu ≥ masalah maksimasi primalnya. Dari Weak Duality Theorem diperoleh hasil – hasil : 1. Nilai fungsi tujuan masalah maksimasi primal untuk setiap solusi layak adalah batas bawah dari nilai minimum fungsi tujuan masalah dual 2. Nilai fungsi tujuan masalah minimisasi dual untuk setiap solusi layak adalah batas atas dari jilai maksimum fungsi tujuan msalah primal 3. Jika masalah primal adalah layak dan nilai tujuannya tak terbatas, maka masalah dualnya tdk memiliki suatu solusi layak, atau 4. Jika masalah primal adalah layak dan tak terbatas, maka masalah primal adalah tak layak, atau Universitas Sumatera Utara 5. Jika masalah dual adalah layak dan primal tak layak maka dual adalah tak terbatas. b. Optimality Criterion Theorem Jika terdalap solusi layak X ° dan Y°, pada bentuk primal dual simetrik demikian hingga nilai-nilai fungsi tujuan yg berhubungan adalah sama, maka solusi layak ini adalah solusi optimum terhadap masalah tersebut. c. Main Duality Theorem Jika baik masalah primal maupun dual adalah layak, maka keduanya memiliki solusi demikian hingga nilai optimum fungsi tujuannya adalah sama. d. Complentary Slackness Theorem 1. Jika suatu variabel primal X j ° bernilai positif, maka kendala dual yang berhubungan akan dipenuhi sebagai suatu persamaan pada keadaan optimum variabel slack atau surplus pada kendala dual = 0 2. Jika suatu kendala primal berupa pertidaksamaan murni pada keadaan optimum variabel slack atau surplus pada kendala primal 0, maka variabel dual yang berhubungan Y i ° harus = 0 pada keadaan optimum 3. Jika suatu variabel dual Y i ° bernilai positif, maka kendala primal yg berhubungan akan memenuhi sebagai suatu persamaan pada keadaan optimum variabel slack atau surplus pada kendala primal = 0 Universitas Sumatera Utara b. Masalah Primal – Dual Asimetrik Contoh : Max Z = 4 X 1 + 5 X 2 Kendala 3 X 1 + 2 X 2 ≤ 20 4 X 1 - 3 X 2 ≥ 10 X 1 + X 2 = 5 X 1 ≥ 0 , X 2 tak terbatas Ubah kedalam bentuk simetri, dengan cara : 1. Kendala 2 dikalikan – 2. Kendala 3 diganti dengan X 1 + X 2 ≤ 5 dan X 1 + X 2 ≥ 5 3. Variabel tak terbatas X 2 diganti dg selisih 2 variabel non negatif X 3 dan X 4 Sehingga bentuk simetrisnya menjadi Max Z = 4 X 1 + 5 X 3 - 5 X 4 Kendala 3 X 1 + 2 X 3 - 2 X 4 ≤ 20 4 X 1 - 3 X 3 + 3 X 4 ≤ -10 X 1 + X 3 + X 4 ≤ 5 -X 1 - X 3 + X 4 ≤ - 5 X 1 , X 3 , X 4 ≥ 0 Bentuk dualnya : Min Z = 20 U 1 - 10 U 2 + 5 U 3 - 5 U 4 Kendala 3 U 1 - 4 U 2 + U 3 - U 4 ≥ 4 2 U 1 + 3 U 2 + U 3 - U 4 ≥ 5 Universitas Sumatera Utara -2 U 1 + 3 U 2 - U 3 + U 4 ≥ - 5 U 1 , U 2 , U 3 , U 4 ≥ 0 Bila bentuk dual dibandingkan dg bentuk primal yg belum disimetrikan maka tak ada ciri – ciri hubungan primal – dual yg terpenuhi. Kemudian misalkan Y 1 = U 1 , Y 2 = -U 2 , Y 3 = U 3 + U 4 dan dua pertidaksamaan terakhir diganti sebuah persamaan, hasilnya adalah : Min W = 20 Y 1 - 10 Y 2 + 5 Y 3 Kendala 3 Y 1 + 4 Y 2 + Y 3 ≥ 4 2 Y 1 - 3 Y 2 + Y 3 = 5 Y 1 0 , Y 2 0, Y 3 tak terbatas Bentuk ini memenuhi hubungan primal – dual, kecuali arah pertidaksamaan kendala dan tanda pembatas variabel. Ciri – ciri bentuk dual LP simetris tak simetris 1. Elemen matriks kendala dual = transpose ol. Primal 2. Koef tujuan dual = sisi kanan primal 3. Sisi kanan dual = koef tujuan primal 4. Primal max → dual min dan sebaliknya Universitas Sumatera Utara Tabel 3.3. Hubungan Primal dan Dual Primal Dual A elemen matriks kendala Transpose elemen matriks b vektor sisi kanan Koef fungsi tujuan c koef fungsi tujuan Vektor sisi kanan Kendala ke-i persamaan Variabel Y i tak terbatas X j tak terbatas Kendala ke-j persamaan

I. Maksimasi Minimisasi

Kendala ke-i jenis ≤ Variabel dual y : ≥ 0 Kendala ke-i jenis ≥ Variabel dual y : ≤ 0 X j ≥ 0 Kendala ke-j ≥ X j ≤ 0 Kendala ke-j ≤

II. Minimasi Maksimasi

Kendala ke-i jenis ≤ Variabel dual y : ≤ 0 Kendala ke-i jenis ≥ Variabel dual y : ≥ 0 X j ≥ 0 Kendala ke-j ≤ X j ≤ 0 Kendala ke-j ≥ Keuntungan Perhitungan bentuk dual. Jika suatu bentuk primal memiliki sejumlah besar kendala sementara variabel hanya sedikit, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan lebih efisien dalam bentuk dual. Universitas Sumatera Utara Tabel 3.4. Formulasi Metode Linear Programming Metode Bentuk Umum Bentuk Standart Variabel Masuk Variabel Keluar Tujuan Kendala Kendala Tujuan Simpeks ������ � � � � � � �=1 � � �� � � � �=1 ≤ � � � � ≥ 0 � � �� � � � �=1 + � � = � � � � ≥ 0 ������ � � � � � � �=1 • Minimisasi : Nilai � � − � � negatif terkecil • Maksimisasi nilai � � − � � positif terbesar • Nilai kanan positif terkecil Big-M ������ � � � � � � �=1 � � �� � � � �=1 ≤ � � → ; � � �� � � � �=1 ≥ � � → ; � � �� � � � �=1 = � � → � � ≥ 0 � � �� � � � �=1 + � � = � � ; � � �� � � � �=1 − � � + � � = � � ; � � �� � � � �=1 + � � = � � � � ≥ 0 ������ � � � � � + � �=1 �� � • Minimisasi : Nilai � � − � � negatif terkecil • Maksimisasi nilai � � − � � positif terbesar • Nilai kanan positif terkecil 2 Phase ������ � � � � � � �=1 � � �� � � � �=1 ≤ � � → ; � � �� � � � �=1 ≥ � � → ; � � �� � � � �=1 = � � → � � ≥ 0 � � �� � � � �=1 + � � = � � ; � � �� � � � �=1 − � � + � � = � � ; � � �� � � � �=1 + � � = � � � � ≥ 0 �ℎ��� 1 → ������ � � � � �=1 ������ � � = 0 �ℎ��� 2 → ������ � � � � � ������ � � � �=1 = 0 • Minimisasi : Nilai � � − � � negatif terkecil • Maksimisasi nilai � � − � � positif terbesar • Nilai kanan positif terkecil Universitas Sumatera Utara Tabel 3.4. Formulasi Metode Linear Programming Lanjutan Metode Bentuk Umum Bentuk Standart Tujuan Kendala Kendala Tujuan RSM ������ � � � � � � �=1 � � �� � � � �=1 ≤ � � ; � � �� � � � �=1 ≥ � � ; � � �� � � � �=1 = � � � � ≥ 0 ��� � � � �=1 �� � � = [� � ] �� � � = ������ ����� � � ≥ 0 ������ �� � � �=1 �� � � • Minimisasi : Nilai � � − � � positif • Maksimisasi nilai � � − � � negatif terbesar • Nilai kanan positif terkecil Integer ������ � � � � � � �=1 � � �� � � � �=1 ≤ � � → ; � � �� � � � �=1 ≥ � � → ; � � �� � � � �=1 = � � → � � ≥ 0 dan integer atau binner � � �� � � � �=1 + � � = � � ; � � �� � � � �=1 − � � + � � = � � ; � � �� � � � �=1 + � � = � � � � ≥ 0 dan integer atau binner ������ � � � � � + � �=1 �� � • Minimisasi : Nilai � � − � � negatif terkecil • Maksimisasi nilai � � − � � positif terbesar • Nilai kanan positif terkecil Universitas Sumatera Utara

3.12. Software QM for Windows