Instanton Latar belakang masalah

3

1.1.2 Instanton

Persamaan yang mengatur medan gauge adalah non-linear dan dikenal sebagai persamaan Yang-Mills. Teori medan Yang-Mills memberikan kontribusi yang sangat banyak dalam perkembangan fisika partikel. Namun, pada saat ditemukan, orang jarang atau kurang tertarik untuk mencari solusi persamaan gerak Yang- Mills. Bahkan Yang dan Mills sendiri tidak “menoleh” untuk mencari solusi dari persamaan gerak medan yang mereka temukan itu. Dua puluh tahun berlalu, namun solusi dari persamaan ini masih belum ditemukan. Penantian lama ini, akhirnya terbayar dengan ditemukannya solusi dari persamaan gerak self-dual Yang-Mills Euclidean oleh Belavin, Polyakov, Schwartz dan Tyupkin BPST [2] pada tahun 1975. Oleh mereka solusi ini dinamakan pseudoparticle, yang oleh ‘t Hooft nantinya disebut instanton. Solusi BPST adalah solusi 1-instanton untuk SU2 dengan 5 buah parameter. Tak lama setelah itu, mulai dari ‘t Hooft, Witten, serta fisikawan dan matematikawan besar lainnya terjun untuk menangani masalah ini. Di tahun yang sama, ‘t Hooft [1] pun memperoleh solusi Q-instanton multi-instanton untuk grup SUN. Dia menemukan ansatz yang dapat melinearisasi persamaan gerak Yang-Mills, sehingga persamaannya dapat lebih mudah diselesaikan. Ansatz ini diperoleh dengan mentransformasikan gauge solusi BPST. Setahun kemudian, Edward Witten [7] juga menemukan solusi multi-instanton SUN, yang invarian dibawah rotasi spasial simetri bola yang artinya semua instantonnya berkumpul pada satu titik. Akan tetapi, solusi ini kurang mendapat perhatian dibandingkan solusi ‘t Hooft yang lebih umum dan mudah. Berbeda dari Witten, solusi ‘t Hooft adalah untuk Q-instanton, yang tersebar dalam ruang Euclidean, namun masih merupakan solusi khusus, karena jumlah parameter solusi yang disyaratkan oleh grup SU2, yaitu sebanyak 8Q – 3 = 13 buah, untuk Q = 2 sebagai misal, belum dipenuhi. Karena, solusi ‘t Hooft hanya memiliki 10 buah parameter. Artinya ada kehilangan 3 buah parameter, yang tentunya hal ini disebabkan oleh keterbatasan ansatz yang diujikan. Solusi ini 4 kemudian diutak-atik oleh Jackiw dan Rebbi [5] pada tahun 1977 dengan memeriksa sifat konformalnya yang menghasilkan fungsi ansatz baru generalisasi dari fungsi ansatz ‘t Hooft yang memiliki 5Q + 4 = 14 buah parameter. Ternyata parameter yang didapat malah lebih banyak dari yang diharapkan. Solusi multi- instanton Witten ternyata bahkan lebih “parah” karena solusinya tidak menyertakan parameter posisi. Di sinilah letak permasalahan yang dihadapi dalam pencarian solusi instanton, yaitu bagaimana membangun solusi instanton untuk grup tertentu dan memenuhi jumlah parameter solusi yang disyaratkan. Solusi yang disinggung terakhir ini adalah “solusi umum” dari persamaan gerak medan Yang-Mills. Selain solusi ‘t Hooft dan Witten di atas masih terdapat banyak solusi lain, namun dari kesemuanya ini tidak satupun yang memberikan solusi umum. Baru pada tahun 1978, matematikawan Atiyah, Drinfeld, Hitchin, dan Manin ADHM [13] mengusulkan konstruksi lengkap dalam membangun solusi instanton untuk semua medan Yang-Mills Euclidean self-dual. Secara khusus, mereka menemukan kumpulan lengkap medan gauge self-dual dari bermacam-macam muatan topologi Q. Konstruksi mereka, yang bekerja untuk bermacam-macam grup gauge SUN, SON atau SpN, tetapi tidak untuk grup tertentu, mereduksi persamaan Yang- Mills self-dual menjadi sekumpulan kondisi aljabar kendala ADHM yang lebih mudah untuk diselesaikan sebab hanya mengandung aljabar linear. Kecanggihan dari metoda ADHM terbukti, dimana dengan masukan tertentu data ADHM, dapat diturunkan solusi multi-instanton ‘t Hooft di atas. Solusi ini jelas juga masih merupakan solusi khusus SU2. Untuk mendapatkan solusi yang lebih umum dibutuhkan masukan untuk data ADHM yang lebih tepat sehingga parameter yang disyaratkan dapat terpenuhi. Inilah kendala yang sampai sekarang masih belum teratasi, yang mengimplikasikan bahwa, solusi umum dari persamaan gerak medan Yang-Mills belum ditemukan. 5

1.2 Sistematika penulisan