Parameter total solusi Q-instanton Konstruksi Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin ADHM

41 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ σ σ σ − σ − σ σ − σ σ − σ − σ − σ = Σ µν 2 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 3 . 4.1.12 Secara kompak pers. 4.1.12, dapat ditulis dalam bentuk: 2 i j σ η = Σ µν µν ; j = 1, 2, 3 4.1.13 dimana ⎩ ⎨ ⎧ = ν δ − = ν µ ε = η − = η µ µν νµ µν 1 untuk 3 2, , 1 , untuk i i i i 4.1.14

4.2 Parameter total solusi Q-instanton

Solusi Q-instanton ‘t Hooft diatas mempunyai 5Q buah parameter, dan generalisasi invarian konformalnya 9 mempunyai 5Q + 4 buah parameter. Solusi Q-instanton yang paling umum [didefinisikan sebagai solusi self-dual dari teori gauge SU2 murni dengan muatan topologi Q] bergantung pada 8Q – 3 buah parameter 10 . Parameter-parameter ini memiliki interpretasi fisis berikut. Ke-5Q buah parameter di antaranya menentukan posisi dan ukuran dari instanton, sedangkan 3Q buah parameter yang sisa dibutuhkan untuk menentukan orientasi instanton dalam ruang SU2 [solusi instanton adalah vektor SU2, karena medan gauge A µ bertransformasi menurut representasi adjoin dari grup SU2]. Tetapi 9 Jackiw dan Rebbi menunjukkan bahwa fungsi skalar pada pers. 4.1.10 tidaklah invarian konformal. Dengan kata lain, fungsi ini, dan solusi n-instanton dari teori YM yang berkaitan, appearance berubah dibawah transformasi konformal. Mereka memperoleh fungsi skalar yang invarian konformal ∑ = − = φ Q n 2 n n a x b . Fungsi ini invarian di bawah grup konformal Euclidean penuh. Solusi fungsi ini dapat diubah menjadi solusi ‘t Hooft pers. 4.1.10 dengan mengambil limit ∞ → b ; ∞ → 2 a dengan 1 a b 2 2 = . 10 Penurunan yang jauh lebih tepat dari jumlah parameter p = 8Q – 3 diberikan oleh Schwartz [3], Atiyah dkk. [10], Pekerjaan mereka berdasarkan atas teorema yang sangat mendasar dalam matematika yang dikenal sebagai teorema indeks Atiyah-Singer. 42 ke-3 parameter orientasi SU2 ini tidak memiliki arti fisis, karena transformasi SU2 global tidak dapat mempunyai efek fisis. Dengan demikian, tersisa 8Q - 3 buah parameter. Perhatikan bahwa ansatz pers. 4.1.7 tidak mempunyai kebebasan dalam orientasi SU2 untuk setiap instanton. Pada dasarnya, orientasinya ditentukan oleh posisi dari semua instanton. Oleh karena itu, ke-3Q – 3 buah parameter orientasi dapat dilenyapkan sehingga meninggalkan 5Q buah parameter dalam solusi ‘t Hooft 11 .

4.2 Konstruksi Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin ADHM

Untuk sembarang bilangan instanton Q, solusi instanton tidak dapat dituliskan secara eksplisit. Akan tetapi, ada kemungkinan untuk menuliskannya secara implisist dengan menggunakan formalisme yang ditemukan oleh Atiyah, Drinfeld, Hitchin dan Manin ADHM [13]. Deskripsi mereka dikenal sebagai konstruksi ADHM 12 . Mereka menunjukkan bagaimana cara membangun solusi self-dual umum dari teori Yang-Mills dengan sembarang grup kompak. Konstruksi mereka memberikan solusi eksak untuk semua Q-instanton dengan jari-jari, posisi dan orientasi sembarang serta memungkinkan dicakupnya secara lengkap ke-8Q – 3 buah parameter maksimal yang disyaratkan. Dengan metoda ADHM, permasalahan kalkulus diferensial, untuk mencari solusi instanton, teralihkan menjadi masalah aljabar. Prosedur konstruktif umum ini mereduksi persamaan self-dualitas menjadi kondisi aljabar murni yang lebih mudah diselesaikan. Solusi umum dan lengkap dari permasalahan aljabar ini secara eksplisit belum ditemukan. Meskipun demikian, konstruksi aljabar dari Atiyah dkk. merupakan cara terbaik untuk mendapatkan solusi lengkap dari permasalahan self-dualitas. 11 Solusi ‘t Hooft bukan merupakan solusi umum, sebab jumlah parameternya belum sesuai dengan parameter instanton. 12 Konstruksi ADHM semula diperoleh dengan menggunakan metoda twistor dan aljabar geometri. Twistor adalah tak lain daripada “spinor” representasi fudamental dari grup konformal dalam R 4 . 43 Berikut akan ditunjukkan bagaimana konstruksi ini bekerja untuk grup gauge SU2 13 . Untuk grup ini medan gauge A µ dan kuat medannya F µ ν dapat dituliskan dalam bilangan kuaternion lihat apendiks A3. Konstruksi ADHM dimulai dengan ansatz untuk potensial gauge SU2 yaitu: M iM A µ µ ∂ = + , 4.2.1 dimana M = Mx adalah vektor kolom kuaternion dengan n + 1 elemen kuaternion, yaitu: [ ] n 1 T M , , M , M M K = . 4.2.2 Vektor kuaternion M dibutuhkan untuk memenuhi kondisi normalisasi 2 n n 1 1 I M M M M M M M M = + + + = + + + + L 4.2.3 dimana I 2 adalah elemen satuan kuaternion. Karena kuaternion adalah matriks komples 2 2 × , maka M adalah matriks kompleks { } 2 2 k 2 × + , yaitu: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 22 n 21 n 12 n 11 n 22 1 21 1 12 1 11 1 22 21 12 11 T M M M M M M M M M M M M M L L 4.2.4 Ansatz ini terlihat seperti penjumlahan suku-suku gauge murni [akan tetapi kuaternion bukanlah elemen matriks SU2 kecuali kalau mereka unimodular]. Jika n = 0 maka 2 SU M ∈ , dan akan didapatkan potensial gauge murni. Untuk n 0, hal ini tidak akan menjadi masalah. Perhatikan bahwa kondisi normalisasi memberikan: M M M M M M = ∂ + ∂ = ∂ µ + + µ + µ 4.2.5 seperti halnya untuk elemen suatu matriks SU2. Oleh karena itu, A µ adalah Hermitian µ + µ = A A dan potensial gauge J A µ adalah real. Transformasi gauge U - SU2 dari potensial gauge A µ mengakibatkan perubahan berikut dalam M, 13 Untuk diskusi lebih lanjut mengenai konstruksi ADHM untuk berbagai grup gauge lihat paper Corrigan dkk. [6] dan Christ dkk. [19]. 44 [ ] T n 1 U M , , U M , U M MU M M K = = → 4.2.6 oleh karena itu, transformasi gauge mengubah elemen-elemen M dengan faktor unimodular biasa. Kuat medan gauge µν F didefinisikan dengan: [ ] M M M M M M M M A A iA A iA A i iF v v ν ↔ µ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ν ↔ µ − + − ∂ = ν ↔ µ − + ∂ − = − ν + + µ ν µ + ν + µ ν µ ν µ µ µ µν 4.2.7 atau M MM I M iF ν ↔ µ − ∂ − ∂ = − ν + + µ µν . 4.2.8 Perhatikan bahwa, P MM = + 4.2.9 merupakan suatu operator proyeksi lihat apendiks C3 terhadap M, dengan sifat- sifat: + + + = = = = M P M , M PM , P P , P P 2 , 4.2.10 dengan M adalah matriks kompleks, maka P adalah suatu matriks Hermitian 2 n 2 2 n 2 + × + dengan rank-2 yaitu: 2 TrP = . Dituliskan dalam P, kuat medan dalam pers. 4.2.8 menjadi: M P 1 P 1 M M P 1 M iF ν ↔ µ − ∂ − − ∂ = ν ↔ µ − ∂ − ∂ = − ν + µ ν + µ µν 4.2.11 Gunakan, M P 1 M P 1 P 1 M P 1 M µ µ µ + + µ ∂ − − = − ∂ − ∂ − = − ∂ 4.2.12 maka, [ ] ν ↔ µ − − ∂ − ∂ = − ν µ + µν M P 1 P 1 M iF 4.2.13 atau [ ] M P , P M iF ν µ + µν ∂ ∂ = − . 4.2.14 45 Perhatikan bahwa P 1 Q ˆ − = 4.2.15 juga merupakan suatu proyektor, sebab Q Q ˆ = + dan Q Q ˆ 2 = yang merupakan sifat-sifat dari P. Proyektor Q ˆ ini melenyapkan M, dengan M M PM M M P 1 M O ˆ = − = − = − = . 4.2.16 Dengan mengambil trace 4.2.15, dimana I sekarang adalah matriks satuan 2 n 2 2 n 2 + × + , diperoleh n 2 TrP TrI O ˆ Tr 2 n 2 = − = + . Jadi, Q ˆ merupakan matriks Hermitian 2 n 2 2 n 2 + × + dengan rank – 2n. Sehingga dituliskan dalam suku proyektor Q ˆ , kuat medan gauge 4.2.14 akan menjadi: [ ] M Q ˆ , Q ˆ M iF ν µ + µν ∂ ∂ = − . 4.2.17 Karena Q ˆ adalah operator proyeksi, jadi dapat dituliskan sebagai: + − + ∆ ∆ ∆ ∆ = 1 Q ˆ 4.2.18 dimana ∆ adalah matriks berelemen kompleks n 2 2 n 2 × + atau matriks berelemen kuaternion n 1 n × + . Lebih lanjut lagi, karena Q ˆ memusnahkan M, yaitu: [ ] M M Q ˆ 1 = ∆ ∆ ∆ ∆ → = + − + , 4.2.19 maka ∆ harus memenuhi M = ∆ + atau M = ∆ + . 4.2.20 ∆ harus dipilih sedemikian rupa sehingga µν F adalah self-dual 3.3.14. Untuk itu, substitusi Q ˆ dalam pers. 4.2.18 ke dalam persamaan kuat medan 4.2.17 memberikan: 46 [ ] [ ] M , M M , M iF 1 1 1 1 1 1 1 1 + ν − + + − + ν + − + ν + µ − + + − + µ + − + µ + + − + ν + − + µ + µν ∆ ∂ ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ ∂ ∆ + ∆ ∆ ∆ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ ∂ ∆ + ∆ ∆ ∆ ∆ ∂ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∂ ∆ ∆ ∆ ∆ ∂ = − 4.2.21 Dengan menggunakan sifat ortogonal 4.2.20, pers. 4.2.21 direduksi menjadi: [ ][ ] { } M M iF 1 1 ν ↔ µ − ∆ ∂ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∂ = − + ν − + + − + µ + µν , 4.2.22 atau [ ] M M iF 1 1 + µ − + ν + ν − + µ + µν ∆ ∂ ∆ ∆ ∆ ∂ − ∆ ∂ ∆ ∆ ∆ ∂ = − . 4.2.23 Perhatikan bahwa ∆ merupakan fungsi variabel kuaternion x, yang berkaitan dengan titik 4 R x ∈ µ lihat apendiks A3. Elemen-elemen kuaternion dari Mx harus ditentukan sedemikian rupa agar A µ merupakan solusi self-dual dari persamaan gerak Yang-Mills. Agar F µ ν dalam 4.2.23 adalah self-dual, maka dipilih ∆ harus linear dalam x, yaitu: bilangan b , x b a x = τ τ + τ = + = ∆ α µ µ α α µ µ b a 4.2.30 dimana a adalah matriks kuaternion n 1 n × + , b adalah matriks kuaternion n 1 n × + yang sebanding dengan 4 dan, b x berarti setiap elemen dari b dikalikan dengan x. Parameter konstan dalam a dan b merupakan parameter dari solusi. Dengan kata lain matriks-matriks ini yang akan menentukan solusinya. Matriks kuaternion a dan b tidak dapat dipilih sembarang, akan tetapi, agar mengikuti konstruksi aljabar hanya dimungkinkan jika ∆x memenuhi syarat: ∆ + x ∆x = Rx = R 4 , det Rx ≠ 0 4.2.31 dimana Rx merupakan matriks real n n × yaitu elemen-elemen dari R adalah bilangan real dikali matriks satuan 2-dimensi I 2 , sehingga komut dengan 4 yaitu 47 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ σ σ σ σ σ σ σ σ = 4 kk 4 2 k 4 1 k 4 k 2 4 22 4 21 4 k 1 4 12 4 11 R R R R R R R R R R L M O M M L L . 4.2.32 Substitusi 4.2.31 ke dalam pers. 4.2.23, diperoleh: [ ] [ ] [ ] M b R b b R b M M b R b M M R R M iF 1 1 1 1 1 + µ ν β α β − α + ν µ β α β − α + µ β β − µ α α + + µ − ν + ν − µ + µν τ τ τ τ σ − τ τ τ τ σ = ν ↔ µ − τ τ σ τ τ = ∆ ∂ σ ∆ ∂ − ∆ ∂ σ ∆ ∂ = − 4.2.33 dimana telah digunakan ∆ + ∆ -1 µ = µ ∆ + ∆ -1 yang menunjukkan mengapa ∆ + ∆ = R, harus berelemen real dan bukan kuaternion. Agar self-dual maka dipilih: , b , b , b , b b 3 2 1 = = = = α 4.2.34 dengan b adalah matriks n n × sehingga pers. 4.2.33 menghasilkan: [ ] M b R b M M b R b M iF dual self 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ τ τ − τ τ σ = ν ↔ µ − τ τ τ τ σ = − − + µ ν + ν µ − + + ν µ − + µν 4 4 3 4 4 2 1 4.2.35 yang menjamin bahwa pers. 4.2.1 adalah solusi self-dual dari persamaan medan. Pembangunan solusi eksplisit, dimulai dengan pemilihan matriks konstanta a dan b secara khusus sehingga kondisi pers. 4.2.31 dipenuhi. Kondisi M = ∆ + menentukan jumlah parameter bebas yang ada dalam solusi, dimana untuk SU2 ada 8n - 3 buah parameter. Jadi, n di sini adalah muatan topologi Q. Untuk mendapatkan potensial gauge, pers. 4.2.20 harus harus terlebih dahulu diselesaikan untuk memperoleh M. Namun, hal ini secara umum jauh lebih sulit. 48

4.3 Solusi Q-instanton SU2 ADHM