27
3.2 Konstruksi fungsi aksi minimum
Setelah diperoleh syarat batas untuk medan Yang-Mills dalam pasal 3.1, sekarang akan dibangun solusi dengan nilai fungsi aksi berhingga, mengikuti konstruksi
Belavin, Polyakov, Schwartz and Tyupkin BPST [2].
Pertama perhatikan bahwa dalam ruang Euclidean berlaku pertidaksamaan berikut:
. F
~ F
~ F
~ F
2 F
F xTr
d ]
F ~
F [
xTr d
4 2
4
≥ +
± ≥
±
µν µν
µν µν
µν µν
µν µν
∫ ∫
3.2.1 Gunakan
F F
xTr d
F ~
F ~
xTr d
4 4
µν µν
µν µν
∫ ∫
= ,
3.2.2 maka
F ~
F xTr
d F
F xTr
d
4 4
µν µν
µν µν
∫ ∫
≥ m .
3.2.3
Integral pada ruas kanan dari pertidaksamaan 3.2.3 dapat dituliskan sebagai integral divergensi total-4 yaitu,
µ µ
µν µν
∫ ∫
∂ =
W x
d 2
F ~
F xTr
d
4 4
, 3.2.4
dimana W
µ
diberikan oleh pers. 2.2.45.
Ruas kiri pers. 3.2.3 berkaitan dengan fungsi aksi
YM E
S medan Yang-Mills,
sehingga dengan demikian ia memiliki nilai batas bawah, yakni:
∫ ∫
µ µ
µ µ
σ =
∂ ≥
S 3
2 4
2 YM
E
W d
g 1
W x
d g
1 S
. 3.2.5 dimana telah digunakan pers. 3.1.1 dan pada ruas terkanan telah dilakukan
transformasi ke integral permukaan. Perhatikan bahwa pada pers. 3.2.5, d
3 µ
adalah elemen volume permukaan bola 3-dimensi S
3
, dengan jari-jari
∞ →
r
. Karena ruas kanan pers. 3.2.5 diintegrasikan pada permukaan di tak hingga
28 Euclidean, maka nilai minimum aksi
YM E
S akan bergantung kepada sifat medan
gauge di tak hingga.
Dengan memberlakukan syarat batas pers. 3.1.5, maka di tak hingga, medan A
µ
mengambil konfigurasi gauge murni 3.1.2. Substitusikan pernyataan ini ke dalam W
µ
yang diberikan oleh pers. 2.2.45, menghasilkan:
} U
U U
U U
U 3
2 U
] U
U [
U U
U {
Tr ]
U U
U U
U U
3 2
U U
U U
U U
U U
[ Tr
W
+ σ
+ ρ
+ ν
+ σ
+ ρ
+ ν
µνρσ +
σ +
ρ +
ν =
+ σ
ρ +
ν +
σ ρ
+ ν
µνρσ µ
∂ ∂
∂ −
∂ ∂
− ∂
− =∈
∂ ∂
∂ −
∂ ∂
∂ −
∂ ∂
∂ −
=∈ 4
3 42
1
atau, ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ ∂
∂ ∂
=∈
+ σ
+ ρ
+ ν
µνρσ µ
U U
U U
U U
3 1
Tr W
3.2.6 dimana telah digunakan sifat antisimetri dari
ρ dan serta UU
+
= 1. Dengan demikian, pers. 3.2.6, menjadi
[ ]
+ σ
+ ρ
+ ν
µνρσ µ
∂ ∂
∂ ∈
σ ≥
∫
U U
U U
U U
Tr d
g 3
2 S
S 3
2 YM
E
3.2.7 yang bergantung seluruhnya kepada elemen grup Ux Hasil ini sungguh luar
biasa yang memperlihatkan bahwa nilai minimum dari fungsi aksi Yang-Mills Euclidean hanyalah bergantung pada sifat elemen grup Ux dan bukan pada
konfigurasi detail dari medan potensial gauge pada kedudukan berhingga.
3.3 Muatan topologi
Kategori