51 dan
φ ⋅
− λ
= φ
⋅ −
− λ
=
+
1 a
x 1
a x
a x
M
n n
2 n
n n
n
4.3.19 dimana:
2 Q
Q 2
1 1
Q 1
n 2
n n
a x
a x
1 a
x 1
− λ
+ +
− λ
+ =
− λ
+ =
φ
∑
=
L
4.3.20
yang tak lain adalah fungsi ansatz skalar untuk solusi ‘t Hooft pers. 4.1.10. Namun diperlukan pilihan yang lebih tepat untuk pers. 4.3.1 dan 4.3.2, agar
diperoleh solusi umum multi-instanton SU2.
4.4 Interaksi Instanton
Karena sifat self-dualitas, solusi Q-instanton atau Q-anti-instanton memenuhi batas bawah pada aksi total, yaitu
Q g
8 S
2 2
π =
. 4.4.1 Untuk sembarang Q yang diberikan semua solusi instanton memiliki aksi yang
sama seperti pada persamaan di atas. Ini artinya bahwa, tidak terdapat interaksi antara instanton dalam teori medan gauge murni. Karena instanton memperoleh
nilai aksi yang diskrit, maka solusi instanton dengan Q yang berbeda, tidak dapat ditransformasikan ke solusi yang lain melalui deformasi kontinu dari potensial
gauge. Oleh karena itu aksinya tidak bergantung pada kedudukan instanton. Hal ini menyatakan bahwa, instanton tidak berinteraksi dengan instanton, demikian
juga anti-instanton dengan anti-instanton. Namun, pernyataan ini tidak berlaku, jika pusat dari kedua instanton dibuat berimpit. Maka, seperti terlihat pada pers.
4.3.20, dua instanton akan bergabung menjadi satu instanton dengan parameter ukuran baru, dan satuan muatan topologinya tinggal satu.
52 Terdapat interaksi logarithmic antara instanton dan anti-instanton. Penjelasannya
sebagai berikut. Tinjau satu instanton dan satu anti-instanton dengan jarak pisah yang besar R
R ukuran instanton. Potensial gauge yang menggambarkan
situasi ini adalah:
µ µ
µ
+ =
A A
Z
4.4.2 dimana
µ
A dan
µ
A
berturut-turut adalah potensial dari instanton dan anti- instanton. Z
µ
adalah solusi aproksimasi dari persamaan gerak. Kuat medan dihitung dari Z
µ
adalah
c b
c b
abc a
a a
A A
A A
g F
F Z
µ ν
ν µ
µν µν
µν
− ε
+ +
=
. 4.4.3
Selanjutnya, perhatikan kontribusi suku terakhir pada aksi total.
µ
A dan
µ
A
berturut-turut berkelakuan seperti
x 1
dan
R x
1 −
, instanton dilokasikan pada titik asal, dan di dalam menghitung aksinya didapat kontribusi
R ln
~ yang
berasal dari daerah x-yang kecil. Jelas bahwa interaksi logarithmic ini bersifat atraktif, yaitu ketika instanton dan anti-instanton saling mendekati, mereka
cenderung saling memusnahkan. Dan ketika pusatnya berimpit, serta memiliki ukuran yang sama, maka pemusnahannya akan sempurna dan menghasilkan gauge
murni muatan topologi totalnya adalah nol.
53
BAB V KONSTRUKSI ADHM UNTUK GRUP GAUGE UN
