Solusi Q-instanton SU2 ‘t Hooft

38

BAB IV SOLUSI MULTI-INSTANTON

In this day and age Mathematicians so blind But gauges have flaws The physicist sage Follow slowly behind God hems and haws Writes page after page With their clever minds As the curtain He draws On the current rage A theorem they’ll find O’er His physical laws The gauge Only written and signed It may be a lost cause I. Sing e r Sejauh ini telah diturunkan solusi eksak satu instanton. Selanjutnya dalam bab ini akan diulas solusi instanton untuk sembarang Q. Solusi banyak multi instanton 8 , pertama kali ditemukan oleh ‘t Hooft pada tahun 1976 [1], setelah dirinya menemukan ansatz yang dapat melinearisasi persamaan gerak YM. Solusi lain ditemukan oleh Witten [7], namun dalam bab ini yang akan dibahas hanya solusi ‘t Hooft karena lebih umum dan mudah dibanding solusi Witten.

4.1 Solusi Q-instanton SU2 ‘t Hooft

Solusi instanton BPST dalam bentuk awalnya 3.5.28, tidak melinearisasi persamaan gerak Yang-Mills. Namun, solusi tersebut dapat dituliskan menjadi: [ ] [ ] 2 2 l jkl k j j 2 2 2 j 2 2 j j 4 2 2 2 4 λ r x x UU λ r r A r x UU λ r r A + σ ∈ + σ = ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = λ + σ − = ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + + 4.1.1 8 Secara umum dipercaya bahwa tidak ada solusi eksak yang menggambarkan satu instanton dan satu anti-instanton. 39 Dalam representasi SU2, yaitu: A Tr A A 2 1 A a a a a σ = → σ = µ µ µ µ , 4.1.2 pers. 4.1.1 teralihkan menjadi: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ + δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ + ε − = λ + − = λ + σ σ − = 2 2 4 ja 2 2 m jam a j 2 2 a 2 2 a j j a 4 r x 2 r x 2 A , r x 2 r Tr x A 4.1.3 Di sini indeks: a, j, k, l, m, berjalan dari 1 sampai 3 Untuk menunjukkan bahwa potensial di atas adalah solusi dari suatu persamaan gerak tertentu, pernyataan komponen medan gauge menurut 4.1.3, ditulis ulang sebagai berikut: ϕ ϕ ∂ δ − ϕ ϕ ∂ ε = ϕ ϕ ∂ = 4 ja m jam a j a a 4 A A 4.1.4 dimana: 2 2 r C λ + = ϕ , 2 2 r x 2 λ + − = ϕ ϕ ∂ µ µ 4.1.5 Untuk 2 1 8 C λ = maka dapat diperlihatkan bahwa φ merupakan solusi dari persamaan ڤ 3 = λϕ + ϕ , dengan λ ≠ 0. Di pihak lain, solusi BPST 3.5.28 dapat ditransformasikan dengan menggunakan matriks invers. U -1 , sehingga potensial barunya adalah: [ ] [ ] U U i x U U i U U U i U x x A 2 2 2 2 2 2 + µ + µ + µ + µ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ λ + λ = ∂ − ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ λ + = 4.1.6 Secara eksplisit, komponen A µ serupa dengan ansatz pers. 4.1.4 yaitu: 40 φ φ ∂ δ + φ φ ∂ ε = φ φ ∂ − = 4 ja n jam a j a a 4 A A 4.1.7 namun, dimana 2 2 r 1 λ + = φ , 2 2 2 2 r r x 2 λ + λ − = φ φ ∂ µ µ . 4.1.8 Karena ڤ 1r 2 = 0, maka fungsi skalar φ memenuhi persamaan gerak: ڤφ = 0 4.1.9 Pers. 4.1.7, dengan φ diberikan oleh 4.1.8, adalah solusi instanton yang setara gauge dengan pers. 4.1.4 4.1.5. Tampak bahwa φ singular pada r = 0, namun hal ini tidaklah menjadi masalah karena singularitas ini tak nyata. Karena ketika r 2 → 0 potensial A µ , menurut pers.4.1.6, menjadi gauge murni. Solusi pers. 4.1.7 dan 4.1.8 menggambarkan 1-instanton dengan ukuran | λ| berpusat pada titik asal. Pers. 4.1.9 menyarankan bahwa pers. 4.1.7 dapat dipilih sebagai ansatz untuk Q-instanton. Dapat diperlihatkan bahwa pers. 4.1.9 tetap dipenuhi, sehingga diperoleh solusi umum ∑ = − λ + = φ Q 1 n 2 n n a x 1 4.1.10 yang menggambarkan Q buah instanton dengan ukuran λ = λ n yang berbeda-beda dan begitu pula dengan titik pusatnya x = a n dalam ruang E 4 . Medan YM yang bersesuaian, menurut pers. 4.1.7 adalah self-dual dan non-singular serta mempunyai muatan topologi Q tidak akan dibahas. Parameter λ n disini merupakan ukuran dari instanton ini, dan oleh karena itu bernilai positif. Dengan sedikit perhitungan diperoleh potensial gauge: ln i A φ ∂ Σ = ν µν µ , 4.1.11 dimana µν Σ adalah komponen dari suatu matriks yang dibangun dari matriks Pauli yakni: 41 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ σ σ σ − σ − σ σ − σ σ − σ − σ − σ = Σ µν 2 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 3 . 4.1.12 Secara kompak pers. 4.1.12, dapat ditulis dalam bentuk: 2 i j σ η = Σ µν µν ; j = 1, 2, 3 4.1.13 dimana ⎩ ⎨ ⎧ = ν δ − = ν µ ε = η − = η µ µν νµ µν 1 untuk 3 2, , 1 , untuk i i i i 4.1.14

4.2 Parameter total solusi Q-instanton