28 Euclidean, maka nilai minimum aksi
YM E
S akan bergantung kepada sifat medan
gauge di tak hingga.
Dengan memberlakukan syarat batas pers. 3.1.5, maka di tak hingga, medan A
µ
mengambil konfigurasi gauge murni 3.1.2. Substitusikan pernyataan ini ke dalam W
µ
yang diberikan oleh pers. 2.2.45, menghasilkan:
} U
U U
U U
U 3
2 U
] U
U [
U U
U {
Tr ]
U U
U U
U U
3 2
U U
U U
U U
U U
[ Tr
W
+ σ
+ ρ
+ ν
+ σ
+ ρ
+ ν
µνρσ +
σ +
ρ +
ν =
+ σ
ρ +
ν +
σ ρ
+ ν
µνρσ µ
∂ ∂
∂ −
∂ ∂
− ∂
− =∈
∂ ∂
∂ −
∂ ∂
∂ −
∂ ∂
∂ −
=∈ 4
3 42
1
atau, ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ ∂
∂ ∂
=∈
+ σ
+ ρ
+ ν
µνρσ µ
U U
U U
U U
3 1
Tr W
3.2.6 dimana telah digunakan sifat antisimetri dari
ρ dan serta UU
+
= 1. Dengan demikian, pers. 3.2.6, menjadi
[ ]
+ σ
+ ρ
+ ν
µνρσ µ
∂ ∂
∂ ∈
σ ≥
∫
U U
U U
U U
Tr d
g 3
2 S
S 3
2 YM
E
3.2.7 yang bergantung seluruhnya kepada elemen grup Ux Hasil ini sungguh luar
biasa yang memperlihatkan bahwa nilai minimum dari fungsi aksi Yang-Mills Euclidean hanyalah bergantung pada sifat elemen grup Ux dan bukan pada
konfigurasi detail dari medan potensial gauge pada kedudukan berhingga.
3.3 Muatan topologi
Bahasan berikut akan dikhususkan pada kasus grup SU2 lihat apendiks B. Setiap elemen grup SU2, dalam representasi fundamental dapat dinyatakan
sebagai berikut:
j j
4 4
i G
σ ϕ
+ σ
ϕ =
, j = 1, 2, 3
3.3.1 dimana
4
= I adalah matriks satuan 2
2 × , dan
j
adalah ketiga matriks Pauli lihat apendiks A2.
29 Karena
, 2
SU G
∈ yakni
I G
G =
+
, maka keempat fungsi
µ
ϕ , µ = 1,...,4, memenuhi kendala:
1
2 3
2 2
2 1
= ϕ
+ ϕ
+ ϕ
3.3.2 yang menyatakan permukaan bola 3-dimensi,
3 g
S
g = grup. Dengan demikian, setiap elemen SU2 bergantung pada tiga buah parameter:
3 2
1
dan ,
, φ
φ φ
.
Untuk kasus medan Yang-Mills yang ditinjau di sini, ketiga parameter tadi diambil bergantung pada x. Pada pers. 3.2.7, integrasi permukaan diambil untuk
permukaan bola 3-dimensi S
3
, dengan jari-jari yang sangat besar ~ tak berhingga. Dengan demikian, U dapat dianggap sebagai pemetaan dari kedua
koordinat sudut ruang yang melabel permukaan bola 3-dimensi S
3
ke bola 3- dimensi
3 g
S
yang dilabel oleh ketiga parameter grup di atas:
3 g
3
S 2
SU S
: U
≈ →
. 3.3.3
Sembarang pemetaan ini dikarakterisasi oleh kelas homotopi, yang berkaitan dengan jumlah peliputan bola S
3
pada bola hasil pemetaan
3 g
S
. Singkatnya, kelas homotopi 1 berarti bahwa permukaan bola S
3
hanya sekali meliput permukaan bola
3 g
S
dari manifold grup SU2. Secara umum, kelas homotopi Q menyatakan peliputan sebanyak n kali dari permukaan bola S
3
pada pada bola hasil pemetaan
3 g
S
.
Kembali ke pers. 3.2.7, karena, U
U
j
φ =
, maka
+ µ
+ =
µ +
µ
∂ φ
∂ =
φ ∂
∂ ∂
φ ∂
= ∂
∑
U U
x U
j j
j 3
1 j
j
3.3.4 sehingga
[ ]
+ +
+ σ
ρ ν
µνρσ µ
∂ ∂
∂ φ
∂ φ
∂ φ
∂ ∈
σ ≥
∫
U U
U U
U U
Tr d
g 3
2 S
c b
a l
k j
S 3
2 YM
E
3.3.5 atau, dengan menggunakan sifat antisimetri dari simbol
∈,
30
[ ]
+ +
+ σ
ρ ν
µνρσ µ
∂ ∂
∂ φ
∂ φ
∂ φ
∂ ∈
σ ≥
∫
U U
U U
U U
Tr d
g 4
S
3 2
1 3
2 1
S 3
2 YM
E
. 3.3.6 Dalam pernyataan ini, terlihat jelas munculnya faktor Jacobian transformasi dari
variabel yang melabel permukaan S
3
dan parameter
i
φ yang melabel
3 g
S
.
Dengan menyatakan U dalam pernyataan eksponensial terfaktorisasi:
3 3
2 2
1 1
Q 2
i 2
i 2
i
e e
e U
σ φ
− σ
φ −
σ φ
−
= 3.3.7
dimana Q = 0, 1, 2,..., maka dengan perhitungan langsung, menggunakan sifat matriks Pauli, diperoleh:
[ ]
∫ ∫
∫
φ =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
σ σ
σ φ
∂ φ
∂ φ
∂ ∈
σ =
∂ ∂
∂ φ
∂ φ
∂ φ
∂ ∈
σ
σ ρ
ν µνρσ
µ +
+ +
σ ρ
ν µνρσ
µ
3 g
S 3
3 2
1 3
3 3
2 1
S 3
3 2
1 3
2 1
S 3
d 4
Q Q
2 i
Tr d
U U
U U
U U
Tr d
3.3.8
Karena volume bola 3-dimensi
3 g
S
adalah 16 π
2
, akhirnya diperoleh hasil menarik berikut:
[ ]
+ +
+ σ
ρ ν
µνρσ µ
∂ ∂
∂ φ
∂ φ
∂ φ
∂ ∈
σ π
=
∫
U U
U U
U U
Tr d
4 1
Q
3 2
1 3
2 1
S 3
2
3.3.9 yang menyatakan muatan topologi untuk pemetaan kelas homotopi Q.
Berkaitan dengan pernyataan pers. 3.2.4 selanjutnya tersimpulkan bahwa
µν µν
µ µ
∫ ∫
π =
σ π
= F
~ F
Tr x
d 8
1 W
d 4
1 Q
4 2
S 3
2
. 3.3.10
Perhatikan bahwa ruas kanan adalah tak lain daripada indeks Pontryagin atau kelas Chern kedua
winding number. Jadi dapat disimpulkan bahwa muatan topologi medan Yang-Mills Euclidean adalah tak lain daripada kelas Chern kedua.
Batas bawah fungsi aksi medan Yang-Mills Euclidean ditentukan oleh muatan topologi Q, yakni:
Q g
8 S
2 2
YM E
π ≥
3.3.11 dimana Q merupakan suatu bilangan bulat.
31 Dari pers. 3.2.3 dan 3.2.5 dapat dilihat bahwa batas bawah
Q g
8 S
2 2
YM E
π =
tercapai ketika,
µν µν
µν µν
µν µν
µν µν
µν µν
µν µν
− =
→ =
− =
→ −
= −
∫ ∫
∫ ∫
F F
~ F
F ~
xTr d
F F
xTr d
F F
~ F
F ~
xTr d
F F
xTr d
4 4
4 4
3.3.12 yang memberikan
µν µν
± = F
F ~
. 3.3.13 Persamaan 3.3.13 merupakan persamaan self-dual dan antiself-dual. Apabila
tanda positif yang dipilih, F
µ ν
dikatakan solusi self-dual sedangkan tanda negatif, antiself-dual. Oleh karena itu, melalui prinsip Hamilton medan self-dual atau
antiself-dual mengekstrimasi aksi dan merupakan solusi dari persamaan Yang- Mills dalam setiap kelas Q. Sekarang permasalahan dalam mencari solusi eksak di
atas tersederhanakan, sehingga hanya perlu untuk memandang solusi khusus yang memenuhi persamaan self-dualitas 3.3.13, dimana
µν
F ~
didefenisikan sebagai:
ρσ µνρσ
µν
∈ =
F 2
1 F
~ 3.3.14
µνρσ
∈ adalah standar tensor antisimetrik dan
1
1234
= ∈
. Solusi dari pers. 3.3.13 memenuhi dengan baik pers. 3.3.11. Solusi ini disebut instanton. Solusi untuk
persamaan antiself-dual disebut anti-instanton.
Jika pers. 3.3.14 dipenuhi, maka persamaan medan akan otomatis dipenuhi sebab
F ~
D F
D =
± =
µν µ
µν µ
identitas Bianchi 3.3.15
Dapat dibuktikan bahwa pers. 3.3.15 memenuhi persamaan Euler-Lagrange.
32
3.4 Self-dual dan antiself-dual