Persamaan gerak dan muatan Noether medan Yang-Mills

18

2.3 Persamaan gerak dan muatan Noether medan Yang-Mills

Dalam pasal ini akan diturunkan persamaan gerak dan muatan Noether 4 dari fungsi aksi medan Yang-Mills SUN, yang berdasarkan Lagrangian 2.2.37 adalah: ∫ µν µν − = F F xTr d g 2 1 S 4 2 . 2.3.1 Pertama, akan diturunkan persamaan gerak dengan menggunakan metoda prinsip aksi ekstrim, S = 0. Variasi S adalah: [ ] µν µν µν µν µν µν δ − = δ + δ − = δ ∫ ∫ F F Tr x d g 1 F F F F Tr x d g 2 1 S 4 2 4 2 2.3.2 dimana A igA A A ig A F ν ↔ µ − δ + δ + δ ∂ = δ ν µ ν µ ν µ µν . 2.3.3 Substitusikan pers. 2.3.3 ke dalam pers. 2.3.2 dan gunakan sifat antisimetri dari F µ ν , diperoleh [ ] { } A igA A A ig F xTr d A F xTr d g 2 S 4 4 2 ν µ ν µ µν ν µ µν δ + δ + δ ∂ − = δ ∫ ∫ . 2.3.4 Selanjutnya, integrasikan suku pertama secara parsial, dan membuang suku divergensi total, karena setelah ditransformasikan ke integral permukaan nilainya nol mengingat A ν = 0, maka pers. 2.3.4 menjadi: ν µ µν ν µ µν ν µν µ δ + δ + δ ∂ − − = δ ∫ A A igF A A igF A F xTr d g 2 S 4 2 . 2.3.5 Dengan memanfaatkan sifat siklis dari trace 2.2.22 diperoleh: [ ] ν µ µν ν νµ µ ν µν µ δ − δ − δ ∂ − − = δ ∫ A A igF A F igA A F xTr d g 2 S 4 2 2.3.6 atau, 4 Teorema Noether mengatakan bahwa untuk setiap transformasi global yang membuat rapat Lagrangian invarian, terdapat sebuah kuantitas kekal, yaitu observabel yang nilainya tidak berubah terhadap waktu yang sering disebut sebagai muatan. 19 [ ] { } ν µν µ µν µ δ − ∂ = δ ∫ A F , A ig F xTr d g 2 S 4 2 . 2.3.7 Dari syarat S = 0, karena A ν sembarang, maka berlaku: [ ] F , A ig F = + ∂ µν µ µν µ 2.3.8 yang merupakan persamaan gerak medan Yang-Mills yang dicari. Persamaan gerak ini dapat dinyatakan secara ringkas dalam turunan kovarian sebagai berikut: F D = µν µ , 2.3.9 yang menunjukkan bahwa ia kovarian. Medan F µ ν juga memenuhi identitas Bianchi, sama halnya dengan F µ ν dalam teori elektromagnetik, yakni: F ~ D = µν µ , 2.3.10 dimana ρσ µνρσ µν ∈ = F 2 1 F ~ 2.3.11 adalah dual dari F µ ν . Perhatikan bahwa pers. 2.3.10 bukanlah persamaaan gerak, yakni bersifat kinematik, karena dapat diselesaikan secara trivial dengan menyatakan F µ ν dalam suku potensial A µ sebagaimana diberikan dalam pers. 2.2.34b. Dari persamaaan gerak 2.3.8 dapat didefinisikan arus j ν berikut: [ ] µν µ µν µ ν = −∂ = F , A ig F j . 2.3.12 Karena F = ∂ ∂ µν ν µ , maka arus j ν memenuhi persamaan kontinuitas: j = ∂ ν ν . 2.3.13 Persamaan di atas dapat dituliskan secara terurai menjadi: j t j j j k k = ⋅ ∇ − ∂ ∂ = ∂ + ∂ r 20 j s d x d j dt d j x d x d t j s 3 3 3 = ⋅ − = ⋅ ∇ − ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫ r r r . Dengan menganggap arus terbatas, maka berlaku syarat batas: r j → r r untuk ∞ → r r 2.3.14 maka dengan mengambil jari-jari permukaan s suku permukaan menjadi nol, sehingga kekal Q dt Q d x d j dt d 3 = → = = ∫ 2.3.15 Dengan demikian, terdapat muatan kekal disini dalam bentuk matriks T Q J J , F d F x d xj d Q i i 2 i i 3 3 σ − = ∂ − = ≡ ∫ ∫ ∫ 2.3.16 dimana integral yang terakhir meliputi permukaan pada ruang tak terhingga. Jelas, arus ν j tak bertransformasi secara kovarian di bawah transformasi gauge. Muatan Q , seperti dapat dilihat dari pers. 2.3.16, bertransformasi sebagai berikut: + σ − = → ∫ U UF d Q Q i i 2 , 2.3.17 dimana U berada pada permukaan batas di tak hingga. Untuk kasus U bernilai matriks konstan dalam ruang spasial di tak hingga, maka U dapat dikeluarkan dari dalam integral, sehingga jelas tampak bahwa Q bertransformasi secara kovarian. Dapat diperlihatkan bahwa arus j µ adalah arus Noether yang diperoleh melalui metoda kanonik. Sistem Yang-Mills dapat dikopel dengan medan materi lain melalui penambahan suku berikut: 21 µ µ ∫ J A Tr x d g 2 4 2.3.18 pada fungsi aksi medan Yang-Mills 2.3.1, dimana E E T x J x J µ µ = adalah sumber eksternal dari materi. Dengan menerapkan prinsip aksi ekstrim, diperoleh persamaaan gerak berikut: ν µν µ = J F D . 2.3.19 Dari persamaan ini, terlihat bahwa ν J harus bertransformasi secara kovarian: + µ µ → U UJ J , 2.3.20 agar mempertahankan kovariansi dari persamaan gerak. Karena D µ D ν F µ ν = 0, maka µ J memenuhi persamaan kontinuitas kovarian: [ ] J , A i J J D = + ∂ = µ µ µ µ µ µ . 2.3.21 Perhatikan bahwa arus Noether bukanlah µ J tetapi gabungan arus berikut: µ ρµ ρ µ + −∂ = J F j . 2.3.22 memenuhi persyaratan arus Noether. Suku tambahan pers. 2.3.18 pada umumnya tidak invarian di bawah transformasi gauge. Andaikan µ J bertransformasi secara kovarian, yakni: ] , J [ i J J ω + → µ µ µ , maka berlaku: µ µ µ µ µ µ ∂ ω − = ω ∂ = δ ∫ ∫ ∫ J Tr d J Tr d J A Tr d 4 4 4 2.3.23 yang berarti bahwa invariansi dapat dipulihkan jika sumber luar J µ adalah kekal. Dalam teori Maxwell persyaratan ini tak menimbulkan masalah, karena µ J tidak bertransformasi dibawah perubahan gauge. Tetapi dalam teori Yang-Mills pernyataan µ µ ∂ J tidaklah kovarian. Ini berati bahwa kopling 2.3.18 merusak invariansi. Invariansi gauge ini terpulihkan dengan menambahkan suku kinetik yang kovarian gauge, untuk medan yang membangkitkan arus µ J , mengikuti konstruksi awal pada pasal 2.2 untuk kasus interaksi medan Yang-Mills dan Dirac. 22

2.4 Rangkuman