10
2.2 Konstruksi invariansi gauge non-Abelian lokal
Dalam pasal sebelumnya telah ditunjukkan bagaimana membangun Lagrangian yang invarian terhadap transformasi fasa gauge Abelian yang lokal. Sekarang
prosedur yang sama dilakukan untuk grup simetri Lie yang non-Abelian. Tinjau kembali Lagrangian
L
yang secara terinci dituliskan sebagai berikut:
c c
c c
m i
ψ ψ
− ψ
∂ γ
ψ =
µ µ
L
, 2.2.1
dimana: c = 1, 2,..., n adalah indeks komponen multiplet koordinat internal. Sekarang ditinjau transformasi fasa non-Abelian global, yang melibatkan
komponen multiplet medan sebagai berikut:
k c
k c
c
U x
x ψ
= ψ
→ ψ
, 2.2.2a
atau secara intrinsik: ψ
= ψ
→ ψ
U x
x ,
2.2.2b dengan
U U
c k
= adalah matriks
n n
× . Agar Lagrangian 2.2.1 invarian di bawah transformasi global 2.2.2 maka U harus memenuhi sifat uniter:
1
U U
1 U
U UU
− +
+ +
= →
= =
2.2.3 Dengan demikian, U adalah elemen grup uniter lihat apendiks B, UN yakni
J J
T ig
i
e e
U
ω α
= 2.2.4
dimana T
J
adalah matriks Hermitian traceless sebanyak N
2
- 1 buah dari aljabar Lie SUN, sedangkan
J
, adalah parameter berkaitannya, dan α adalah parameter
subgrup U1. Sekarang pers. 2.2.1 diperluas, untuk memasukkan invariansi di bawah transformasi lokal dalam bentuk pers. 2.2.2, yaitu,
x x
U x
x ψ
= ψ
→ ψ
2.2.5 dengan
J J
T x
ig x
i
e e
x U
ω α
=
. 2.2.6
Karena U bergantung pada x, maka suku turunan ∂
µ
ψ tak lagi bertransformasi secara kovarian, yakni:
11
x x
U x
x U
x ]
x U
[ ]
x x
U [
] x
[ x
ψ ∂
≠ ψ
∂ +
ψ ∂
= ψ
∂ =
ψ ∂
→ ψ
∂
µ µ
µ µ
µ µ
. 2.2.7
Sebagai akibatnya, Lagrangian di atas tak lagi invarian.
Sekarang bagaimana menggeneralisasi turunan ∂
µ
ψ agar invariansi
L
dipertahankan. Sejalan dengan rumusan pada kasus Abelian, difinisikan turunan kovarian dengan syarat bahwa
x D
x U
x x
U D
x D
x U
x D
x D
x U
] x
D [
x D
ψ =
ψ ψ
= ψ
ψ =
ψ →
ψ
µ µ
µ µ
µ µ
µ
2.2.8
Dalam kasus ini perlu ditekankan bahwa D
µ
adalah matriks n
n × sehingga dalam
pernyataan komponen, pers. 2.2.8 adalah
[ ]
[ ]
x D
x U
x D
c c
b b
a a
ψ →
ψ
µ µ
. 2.2.9
Jadi, Lagrangian baru yang invarian secara lokal di bawah UN adalah:
ψ ψ
− ψ
γ ψ
=
µ µ
m D
i L
2.2.10 Masalah berikutnya adalah merumuskan pernyataan eksplisit dari D
µ
. Karena D
µ
adalah generalisasi dari ∂
µ
, maka seperti pada kasus Abelian, diambil ansatz: x
igA I
D
µ µ
µ
+ ∂
= 2.2.11
dimana A
µ
x adalah matriks Hermitian
2
N N
×
karena i ∂
µ
adalah Hermitian. Jadi A
µ
x adalah elemen dari aljabar Lie UN, sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
J J
T x
A 1
x B
x A
µ µ
µ
+ =
. 2.2.12
Syarat kovariansi 2.2.8 mengimplikasikan bahwa
2
Kita perkenalkan medan vektor
x A
J µ
sebanyak yang dibutuhkan untuk membangun rapat Lagrangian yang invarian di bawah transformasi gauge lokal yang ditentukan oleh sudut
α
J
x. Maka,
x A
J µ
akan memberikan analogi foton ketika medannya dikuantisasi, namun karena struktur grup non-Abelian yang lebih rumit kita akan mendapatkan bahwa akan ada lebih dari satu
medan gauge boson yang diperlukan indeks J, dan itulah sifat dari “foton non-Abelian” yang kemungkinan akan sangat berbeda dari foton yang biasa.
12
[ ]
[ ]
[ ]
ψ +
ψ ∂
= ψ
+ ψ
∂ +
ψ ∂
ψ +
∂ =
ψ +
∂
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ
x iA
U x
A U
U x
iA U
U x
iA .
2.2.13 Bandingkan ruas kiri dan kanan pers. 2.2.13, dan gunakan sifat uniter 2.2.3,
diperoleh:
[ ]
x U
x A
x U
x U
x iU
x A
+ µ
+ µ
µ
+ ∂
− =
. 2.2.14
Dapat diperiksa bahwa medan B
µ
x dan
x A
J µ
bertransformasi secara terpisah. Dengan mengambil trace dari pers. 2.2.14, kita peroleh
[ ]
[ ]
{ }
[ ]
J J
J J
T x
A 1
x B
Tr x
U x
U iTr
T x
A 1
x B
r T
µ µ
+ µ
µ µ
+ +
∂ −
= +
Tr T
J
= 0 sehingga,
[ ]
{ } [
] [
] {
}
x NB
x U
x U
iTr x
NB 1
x B
Tr ]
x U
[ x
U iTr
1 x
B Tr
µ +
µ µ
µ +
µ µ
+ ∂
− =
+ ∂
− =
2.2.15 atau
x B
]} x
U [
x U
{ Tr
N i
x B
µ +
µ µ
+ ∂
− =
2.2.16 Pers. 2.2.16 dapat ditulis ulang sebagai berikut:
[ ]
x B
x x
B x
iN N
i x
B
µ µ
µ µ
µ
+ α
−∂ =
+ α
∂ −
− =
2.2.17 yang tak lain adalah transformasi gauge Abelian U1 yang diperoleh pada pasal
2.1.
Berikut tinjau “transformasi gauge” infinitesimal dari pers. 2.2.6 yakni: L
+ ω
+ =
J J
T i
1 x
U 2.2.18
dengan
J 2
≈ 0. Hingga orde
J
, pers. 2.2.14 menjadi:
13
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
x A
x A
, T
i T
T x
A x
A T
i x
A T
T i
T x
A T
T T
x A
i x
A T
i x
A T
i T
i T
i 1
x A
T i
1 T
i 1
T i
1 i
x A
K K
B B
K K
K K
J K
J K
K K
J K
J K
K J
J K
K J
J K
K J
J K
K J
J
µ µ
µ µ
µ µ
〈〈 µ
µ µ
〈〈 µ
µ µ
µ µ
µ µ
+ ω
+ ω
∂ −
= −
ω +
+ ω
∂ ω
− ω
∂ −
= ω
ω +
ω −
ω +
+ ω
∂ −
ω +
= ω
− ω
+ +
ω −
∂ ω
+ −
=
4 3
42 1
3 2
1
jadi
[ ]
2 K
K K
K
O x
A ,
T i
T x
A x
A x
A ω
+ ω
+ ω
∂ −
= −
= δ
µ µ
µ µ
µ
2.2.19 Kalikan pers. 2.2.19 dengan T
L
dan ambilkan tracenya memberikan
[ ]
[ ]
{ }
[ ]
{ }
2 L
K K
K KL
L K
K 2
L K
K K
L K
L K
K L
O T
x A
, T
Tr i
2 1
T T
Tr x
A O
T x
A ,
T Tr
i T
T Tr
T T
x A
T x
B Tr
ω +
ω +
ω ∂
δ −
= δ
ω +
ω +
ω ∂
− =
δ +
δ
µ µ
µ µ
µ µ
µ
Gunakan sifat trace
KL L
K
2 1
T T
Tr δ
= ,
2.2.20 maka didapatkan transformasi infinitesimal dari A
µ
sebagai berikut:
[ ]
{ }
2 L
K K
L L
O T
x A
, T
Tr x
i 2
x x
A ω
+ ω
+ ω
−∂ =
δ
µ µ
µ
. 2.2.21
Suku trace di ruas kanan dapat dihitung dengan menggunakan kenyataan bahwa T
J
memenuhi aljabar Lie SUN:
[ ]
L JKL
K J
T if
T ,
T =
, 2.2.22
dimana f
JKL
adalah konstanta struktur. Dengan menggunakan sifat siklis dari trace yakni:
LJK Tr
KLJ Tr
JKL Tr
= =
, 2.2.23
maka
[ ]
{ }
[ ]
[ ]
[ ]
{ }
M N
LKM N
K L
L K
K L
L K
L K
L K
T T
Tr f
x iA
T ,
T x
A Tr
T T
x A
T T
x A
Tr T
T x
A T
x A
T Tr
T x
A ,
T Tr
µ µ
µ µ
µ µ
µ
= =
− =
− =
2.2.24
atau
14
[ ]
{ }
LKM M
L K
f x
A 2
i T
x A
, T
Tr
µ µ
= .
2.2.25 Jadi, diperoleh:
2 LKM
M K
L L
O f
x A
x x
x A
ω +
ω −
ω −∂
= δ
µ µ
µ
. 2.2.26
Variasi
x A
L µ
δ
di atas dapat dituliskan dalam pernyataan turunan kovarian di bawah transformasi SUn, yakni:
] ,
A [
i D
ω +
ω ∂
= ω
µ µ
µ
. 2.2.27 Diuraikan dalam generatornya pers. 2.2.27 menjadi:
[ ]
[ ]
L KML
M K
L L
KML M
K L
L M
K M
K L
L M
M K
K L
L L
T f
A T
f iA
T T
, T
iA T
T ,
T A
i T
] D
[
ω +
ω ∂
= ω
+ ω
∂ =
ω +
ω ∂
= ω
+ ω
∂ =
ω
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ
2.2.28
Bandingkan ekspresi pers. 2.2.26 dan 2.2.28 diperoleh
ω −
≅ δ
µ µ
D x
A
2.2.29 yang menunjukkan bahwa meskipun A
µ
x tidak bertransformasi di bawah SUN oleh karena suku U
∂
µ
U
+
, namun perubahan infinitesimal iya sebab dapat dinyatakan dalam suku turunan kovarian.
Sejauh ini Lagrangian telah diperluas supaya memiliki simetri UN lokal. Persyaratannya adalah diperkenalkannya N
2
medan vektor baru A
µ
x untuk membangun turunan kovarian. Agar memberikan eksistensi untuk medan ini, suku
kinetik A
µ
x dan B
µ
x harus dimasukkan, dimana diharapkan tidak merusak simetri lokal awal. Kiat dalam membangun suku kinetik yang invarian di bawah
pers. 2.2.14, sejalan dengan kasus Abelian, adalah dengan memperkenalkan besaran tensor antisimetri
] D
, D
[ ig
1 F
ν µ
µν
≡ 2.2.30
yang bertransformasi kovarian seperti halnya D
µ
, yaitu
15 x
U x
F x
U x
F x
F
+ µν
µν µν
= →
. 2.2.31
Dengan menggunakan ekspresi D
µ
dalam representasi fundamental pers. 2.2.11 dan mengabaikan medan B
µ
x, akan diperoleh
{ }
ψ +
∂ −
∂ =
ψ −
∂ −
∂ =
ν ↔
µ −
− ψ
∂ +
ψ ∂
+ ψ
∂ +
ψ ∂
∂ =
ψ +
∂ +
∂ =
ψ
ν µ
µ ν
ν µ
ν µ
µ ν
ν µ
ν µ
ν µ
µ ν
ν µ
ν µ
ν ν
µ µ
µν
] A
, A
[ ig
A A
]} A
, A
[ g
A A
ig {
ig 1
} A
A g
igA ]
A A
[ ig
{ ig
1 ]
igA ,
igA [
ig 1
F
2 2
Dari sini terbaca bahwa
3
: ]
A ,
A [
ig A
A F
ν µ
µ ν
ν µ
µν
+ ∂
− ∂
= 2.2.32
Karena F
µ ν
x adalah matriks Hermitian ,
N N
× maka dengan menggunakan
ekspansi medan A
µ
menurut pers. 2.2.12 diperoleh:
[ ] [
] [ ]
J J
L L
K K
J J
J J
T F
1 B
T x
A ,
T x
A i
T x
A 1
B T
x A
1 B
F
µν µν
ν µ
µ µ
ν ν
ν µ
µν
+ =
+ +
∂ −
+ ∂
= 2.2.33
dengan
µ ν
ν µ
µν
∂ −
∂ =
B B
B 2.2.34a
x A
x A
gf x
A x
A F
L K
JKL J
J J
ν µ
µ ν
ν µ
µν
− ∂
− ∂
=
. 2.2.34b
Tensor F
µ ν
adalah generalisasi Yang-Mills untuk tensor kuat medan elektromagnetik.
Untuk bahasan selanjutnya akan ditinjau kasus grup gauge SUN untuk mana B
=
µ
. Dalam hal ini ada beberapa catatan mengenai tensor F
µ ν
, yaitu: a
Walaupun F
µ ν
sendiri bukan invarian gauge, tetapi besaran
µν µν
µν µν
= =
J J
F F
F F
Tr 2
I
adalah invarian gauge.
3
Jika definisi turunan kovarian diambil D
µ
= ∂
µ
– igA
µ
, maka F
µ ν
= ∂
µ
A
ν
- ∂
ν
A
µ
– ig[Aµ,A ν].
16 b
Suku massa untuk medan A
µ
, yakni TrA
µ
A
µ
tak diperkenankan karena tidak invarian terhadap terhadap transformasi gauge lokal.
c Komponen
µν
F tidak semuanya bebas karena memenuhi identitas Bianchi: F
D F
D F
D =
+ +
µρ σ
σµ ρ
ρσ µ
, 2.2.35
dimana D
µ
bekerja pada F
µ ν
. Identitas ini dapat dipahami karena dari pers. 2.2.27, F
µ ν
bertransformasi menurut transformasi adjoin dari SUN, sehingga berlaku identitas Jacobi untuk turunan kovarian:
]] D
, D
[ ,
D [
]] D
, D
[ ,
D [
]] D
, D
[ ,
D [
= +
+
ρ µ
σ µ
σ ρ
σ ρ
µ
. 2.2.36
Jadi, dapat disimpulkan bahwa rapat Lagrangian yang invarian di bawah transformasi gauge non-Abelian lokal, yang memiliki suku kinetik yang sesuai
untuk A
µ
x, adalah:
µν µν
µν µν
− =
− =
J J
2 2
YM
F F
g 4
1 F
F Tr
g 2
1 L
2.2.37
dimana telah digunakan pers. 2.2.20 untuk matriks T
J
.
Lagrangian di atas menggeneralisasi Lagrangian Maxwell, dan dapat dilihat bahwa g tak berdimensi. Dengan menggunakan jabaran
J
F
µν
dalam
J
A
µ
menurut pers. 2.2.34 maka Lagrangian 2.2.37 secara terurai adalah:
N M
L K
JMN JKL
2 J
L K
JKL J
J J
J 2
A A
A A
f f
4 g
A A
A gf
A A
2 1
A A
2 1
L g
ν µ
ν µ
ν µ
ν µ
µ ν
ν µ
ν µ
ν µ
− ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
− =
2.2.38
Dua suku yang pertama dikenal memiliki tipe yang sama seperti Lagrangian Maxwell kecuali untuk penjumlahan. Akan tetapi, 2 suku selanjutnya
menunjukkan bahwa medan vektor memiliki interaksi kubik dan kuadratik nontrivial diantara mereka.
17 Dari Lagrangian medan Dirac 2.1.2 dan medan Yang-Mills 2.2.37, Lagrangian
total untuk interaksi medan Yang-Mills dan Dirac diberikan oleh: 4
4 3 4
4 2 1
4 4 3
4 4 2
1
DIRAC MILLS
YANG 2
D i
F F
Tr g
2 1
ψ ψ
ψ γ
ψ +
− =
µ µ
− µν
µν
m -
L . 2.2.39
Selain besaran invarian I = TrF
µ ν
F
µ ν
pada poin a di atas, terdapat pula kuantitas invarian lainnya, yakni:
ρσ µν
µνρσ
∈ =
F F
Tr II
2.2.40 sebagai kandidat untuk suku kinetik. Bahwa II tak diambil sebagai suku kinetik
adalah karena ia merupakan suatu divergensi murni. Untuk melihat hal ini, tuliskan:
A A
A iA
2 A
A Tr
4 ]
A iA
A A
iA A
[ Tr
4 II
σ ρ
ν µ
σ ρ
ν µ
µνρσ σ
ρ σ
ρ ν
µ ν
µ µνρσ
+ ∂
∂ ∈
= +
∂ +
∂ ∈
= 2.2.41
dimana suku A
µ
A
ν
A
ρ
A telah dieliminasi dengan menggunakan sifat siklik dari trace. Sekarang
A A
A Tr
3 1
A A
A Tr
σ ν
µ µνρσ
ρ σ
ρ ν
µ µνρσ
∈ ∂
= ∂
∈ 2.2.42
sehingga ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
∂ ∈
∂ =
ν µ
σ ν
µ σ
µνρσ ρ
A A
A 3
i 2
A A
4 II
2.2.43 gunakan
A =
∂ ∂
∈
ν µ
ρ µιρσ
. Maka akan sampai pada
ρ ρ
ρσ µν
µνρσ
∂ =
∈ W
4 F
F Tr
2.2.44 dengan
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ∂
=∈
ν µ
σ ν
µ σ
µνρσ ρ
A A
A 3
i 2
A A
Tr W
. 2.2.45
Ini berarti dengan mengambil II sebagai suku kinetik dari Lagrangian, maka tidak dapat diturunkan persamaan gerak untuk potensial vektor A
µ
karena II hanya mempengaruhi aksi pada titik-titik ujungnya.
18
2.3 Persamaan gerak dan muatan Noether medan Yang-Mills