Konstruksi invariansi gauge non-Abelian lokal

10

2.2 Konstruksi invariansi gauge non-Abelian lokal

Dalam pasal sebelumnya telah ditunjukkan bagaimana membangun Lagrangian yang invarian terhadap transformasi fasa gauge Abelian yang lokal. Sekarang prosedur yang sama dilakukan untuk grup simetri Lie yang non-Abelian. Tinjau kembali Lagrangian L yang secara terinci dituliskan sebagai berikut: c c c c m i ψ ψ − ψ ∂ γ ψ = µ µ L , 2.2.1 dimana: c = 1, 2,..., n adalah indeks komponen multiplet koordinat internal. Sekarang ditinjau transformasi fasa non-Abelian global, yang melibatkan komponen multiplet medan sebagai berikut: k c k c c U x x ψ = ψ → ψ , 2.2.2a atau secara intrinsik: ψ = ψ → ψ U x x , 2.2.2b dengan U U c k = adalah matriks n n × . Agar Lagrangian 2.2.1 invarian di bawah transformasi global 2.2.2 maka U harus memenuhi sifat uniter: 1 U U 1 U U UU − + + + = → = = 2.2.3 Dengan demikian, U adalah elemen grup uniter lihat apendiks B, UN yakni J J T ig i e e U ω α = 2.2.4 dimana T J adalah matriks Hermitian traceless sebanyak N 2 - 1 buah dari aljabar Lie SUN, sedangkan J , adalah parameter berkaitannya, dan α adalah parameter subgrup U1. Sekarang pers. 2.2.1 diperluas, untuk memasukkan invariansi di bawah transformasi lokal dalam bentuk pers. 2.2.2, yaitu, x x U x x ψ = ψ → ψ 2.2.5 dengan J J T x ig x i e e x U ω α = . 2.2.6 Karena U bergantung pada x, maka suku turunan ∂ µ ψ tak lagi bertransformasi secara kovarian, yakni: 11 x x U x x U x ] x U [ ] x x U [ ] x [ x ψ ∂ ≠ ψ ∂ + ψ ∂ = ψ ∂ = ψ ∂ → ψ ∂ µ µ µ µ µ µ . 2.2.7 Sebagai akibatnya, Lagrangian di atas tak lagi invarian. Sekarang bagaimana menggeneralisasi turunan ∂ µ ψ agar invariansi L dipertahankan. Sejalan dengan rumusan pada kasus Abelian, difinisikan turunan kovarian dengan syarat bahwa x D x U x x U D x D x U x D x D x U ] x D [ x D ψ = ψ ψ = ψ ψ = ψ → ψ µ µ µ µ µ µ µ 2.2.8 Dalam kasus ini perlu ditekankan bahwa D µ adalah matriks n n × sehingga dalam pernyataan komponen, pers. 2.2.8 adalah [ ] [ ] x D x U x D c c b b a a ψ → ψ µ µ . 2.2.9 Jadi, Lagrangian baru yang invarian secara lokal di bawah UN adalah: ψ ψ − ψ γ ψ = µ µ m D i L 2.2.10 Masalah berikutnya adalah merumuskan pernyataan eksplisit dari D µ . Karena D µ adalah generalisasi dari ∂ µ , maka seperti pada kasus Abelian, diambil ansatz: x igA I D µ µ µ + ∂ = 2.2.11 dimana A µ x adalah matriks Hermitian 2 N N × karena i ∂ µ adalah Hermitian. Jadi A µ x adalah elemen dari aljabar Lie UN, sehingga dapat ditulis sebagai berikut: J J T x A 1 x B x A µ µ µ + = . 2.2.12 Syarat kovariansi 2.2.8 mengimplikasikan bahwa 2 Kita perkenalkan medan vektor x A J µ sebanyak yang dibutuhkan untuk membangun rapat Lagrangian yang invarian di bawah transformasi gauge lokal yang ditentukan oleh sudut α J x. Maka, x A J µ akan memberikan analogi foton ketika medannya dikuantisasi, namun karena struktur grup non-Abelian yang lebih rumit kita akan mendapatkan bahwa akan ada lebih dari satu medan gauge boson yang diperlukan indeks J, dan itulah sifat dari “foton non-Abelian” yang kemungkinan akan sangat berbeda dari foton yang biasa. 12 [ ] [ ] [ ] ψ + ψ ∂ = ψ + ψ ∂ + ψ ∂ ψ + ∂ = ψ + ∂ µ µ µ µ µ µ µ µ µ x iA U x A U U x iA U U x iA . 2.2.13 Bandingkan ruas kiri dan kanan pers. 2.2.13, dan gunakan sifat uniter 2.2.3, diperoleh: [ ] x U x A x U x U x iU x A + µ + µ µ + ∂ − = . 2.2.14 Dapat diperiksa bahwa medan B µ x dan x A J µ bertransformasi secara terpisah. Dengan mengambil trace dari pers. 2.2.14, kita peroleh [ ] [ ] { } [ ] J J J J T x A 1 x B Tr x U x U iTr T x A 1 x B r T µ µ + µ µ µ + + ∂ − = + Tr T J = 0 sehingga, [ ] { } [ ] [ ] { } x NB x U x U iTr x NB 1 x B Tr ] x U [ x U iTr 1 x B Tr µ + µ µ µ + µ µ + ∂ − = + ∂ − = 2.2.15 atau x B ]} x U [ x U { Tr N i x B µ + µ µ + ∂ − = 2.2.16 Pers. 2.2.16 dapat ditulis ulang sebagai berikut: [ ] x B x x B x iN N i x B µ µ µ µ µ + α −∂ = + α ∂ − − = 2.2.17 yang tak lain adalah transformasi gauge Abelian U1 yang diperoleh pada pasal 2.1. Berikut tinjau “transformasi gauge” infinitesimal dari pers. 2.2.6 yakni: L + ω + = J J T i 1 x U 2.2.18 dengan J 2 ≈ 0. Hingga orde J , pers. 2.2.14 menjadi: 13 [ ] [ ] [ ] [ ] x A x A , T i T T x A x A T i x A T T i T x A T T T x A i x A T i x A T i T i T i 1 x A T i 1 T i 1 T i 1 i x A K K B B K K K K J K J K K K J K J K K J J K K J J K K J J K K J J µ µ µ µ µ µ 〈〈 µ µ µ 〈〈 µ µ µ µ µ µ µ + ω + ω ∂ − = − ω + + ω ∂ ω − ω ∂ − = ω ω + ω − ω + + ω ∂ − ω + = ω − ω + + ω − ∂ ω + − = 4 3 42 1 3 2 1 jadi [ ] 2 K K K K O x A , T i T x A x A x A ω + ω + ω ∂ − = − = δ µ µ µ µ µ 2.2.19 Kalikan pers. 2.2.19 dengan T L dan ambilkan tracenya memberikan [ ] [ ] { } [ ] { } 2 L K K K KL L K K 2 L K K K L K L K K L O T x A , T Tr i 2 1 T T Tr x A O T x A , T Tr i T T Tr T T x A T x B Tr ω + ω + ω ∂ δ − = δ ω + ω + ω ∂ − = δ + δ µ µ µ µ µ µ µ Gunakan sifat trace KL L K 2 1 T T Tr δ = , 2.2.20 maka didapatkan transformasi infinitesimal dari A µ sebagai berikut: [ ] { } 2 L K K L L O T x A , T Tr x i 2 x x A ω + ω + ω −∂ = δ µ µ µ . 2.2.21 Suku trace di ruas kanan dapat dihitung dengan menggunakan kenyataan bahwa T J memenuhi aljabar Lie SUN: [ ] L JKL K J T if T , T = , 2.2.22 dimana f JKL adalah konstanta struktur. Dengan menggunakan sifat siklis dari trace yakni: LJK Tr KLJ Tr JKL Tr = = , 2.2.23 maka [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } M N LKM N K L L K K L L K L K L K T T Tr f x iA T , T x A Tr T T x A T T x A Tr T T x A T x A T Tr T x A , T Tr µ µ µ µ µ µ µ = = − = − = 2.2.24 atau 14 [ ] { } LKM M L K f x A 2 i T x A , T Tr µ µ = . 2.2.25 Jadi, diperoleh: 2 LKM M K L L O f x A x x x A ω + ω − ω −∂ = δ µ µ µ . 2.2.26 Variasi x A L µ δ di atas dapat dituliskan dalam pernyataan turunan kovarian di bawah transformasi SUn, yakni: ] , A [ i D ω + ω ∂ = ω µ µ µ . 2.2.27 Diuraikan dalam generatornya pers. 2.2.27 menjadi: [ ] [ ] L KML M K L L KML M K L L M K M K L L M M K K L L L T f A T f iA T T , T iA T T , T A i T ] D [ ω + ω ∂ = ω + ω ∂ = ω + ω ∂ = ω + ω ∂ = ω µ µ µ µ µ µ µ µ µ 2.2.28 Bandingkan ekspresi pers. 2.2.26 dan 2.2.28 diperoleh ω − ≅ δ µ µ D x A 2.2.29 yang menunjukkan bahwa meskipun A µ x tidak bertransformasi di bawah SUN oleh karena suku U ∂ µ U + , namun perubahan infinitesimal iya sebab dapat dinyatakan dalam suku turunan kovarian. Sejauh ini Lagrangian telah diperluas supaya memiliki simetri UN lokal. Persyaratannya adalah diperkenalkannya N 2 medan vektor baru A µ x untuk membangun turunan kovarian. Agar memberikan eksistensi untuk medan ini, suku kinetik A µ x dan B µ x harus dimasukkan, dimana diharapkan tidak merusak simetri lokal awal. Kiat dalam membangun suku kinetik yang invarian di bawah pers. 2.2.14, sejalan dengan kasus Abelian, adalah dengan memperkenalkan besaran tensor antisimetri ] D , D [ ig 1 F ν µ µν ≡ 2.2.30 yang bertransformasi kovarian seperti halnya D µ , yaitu 15 x U x F x U x F x F + µν µν µν = → . 2.2.31 Dengan menggunakan ekspresi D µ dalam representasi fundamental pers. 2.2.11 dan mengabaikan medan B µ x, akan diperoleh { } ψ + ∂ − ∂ = ψ − ∂ − ∂ = ν ↔ µ − − ψ ∂ + ψ ∂ + ψ ∂ + ψ ∂ ∂ = ψ + ∂ + ∂ = ψ ν µ µ ν ν µ ν µ µ ν ν µ ν µ ν µ µ ν ν µ ν µ ν ν µ µ µν ] A , A [ ig A A ]} A , A [ g A A ig { ig 1 } A A g igA ] A A [ ig { ig 1 ] igA , igA [ ig 1 F 2 2 Dari sini terbaca bahwa 3 : ] A , A [ ig A A F ν µ µ ν ν µ µν + ∂ − ∂ = 2.2.32 Karena F µ ν x adalah matriks Hermitian , N N × maka dengan menggunakan ekspansi medan A µ menurut pers. 2.2.12 diperoleh: [ ] [ ] [ ] J J L L K K J J J J T F 1 B T x A , T x A i T x A 1 B T x A 1 B F µν µν ν µ µ µ ν ν ν µ µν + = + + ∂ − + ∂ = 2.2.33 dengan µ ν ν µ µν ∂ − ∂ = B B B 2.2.34a x A x A gf x A x A F L K JKL J J J ν µ µ ν ν µ µν − ∂ − ∂ = . 2.2.34b Tensor F µ ν adalah generalisasi Yang-Mills untuk tensor kuat medan elektromagnetik. Untuk bahasan selanjutnya akan ditinjau kasus grup gauge SUN untuk mana B = µ . Dalam hal ini ada beberapa catatan mengenai tensor F µ ν , yaitu: a Walaupun F µ ν sendiri bukan invarian gauge, tetapi besaran µν µν µν µν = = J J F F F F Tr 2 I adalah invarian gauge. 3 Jika definisi turunan kovarian diambil D µ = ∂ µ – igA µ , maka F µ ν = ∂ µ A ν - ∂ ν A µ – ig[Aµ,A ν]. 16 b Suku massa untuk medan A µ , yakni TrA µ A µ tak diperkenankan karena tidak invarian terhadap terhadap transformasi gauge lokal. c Komponen µν F tidak semuanya bebas karena memenuhi identitas Bianchi: F D F D F D = + + µρ σ σµ ρ ρσ µ , 2.2.35 dimana D µ bekerja pada F µ ν . Identitas ini dapat dipahami karena dari pers. 2.2.27, F µ ν bertransformasi menurut transformasi adjoin dari SUN, sehingga berlaku identitas Jacobi untuk turunan kovarian: ]] D , D [ , D [ ]] D , D [ , D [ ]] D , D [ , D [ = + + ρ µ σ µ σ ρ σ ρ µ . 2.2.36 Jadi, dapat disimpulkan bahwa rapat Lagrangian yang invarian di bawah transformasi gauge non-Abelian lokal, yang memiliki suku kinetik yang sesuai untuk A µ x, adalah: µν µν µν µν − = − = J J 2 2 YM F F g 4 1 F F Tr g 2 1 L 2.2.37 dimana telah digunakan pers. 2.2.20 untuk matriks T J . Lagrangian di atas menggeneralisasi Lagrangian Maxwell, dan dapat dilihat bahwa g tak berdimensi. Dengan menggunakan jabaran J F µν dalam J A µ menurut pers. 2.2.34 maka Lagrangian 2.2.37 secara terurai adalah: N M L K JMN JKL 2 J L K JKL J J J J 2 A A A A f f 4 g A A A gf A A 2 1 A A 2 1 L g ν µ ν µ ν µ ν µ µ ν ν µ ν µ ν µ − ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = 2.2.38 Dua suku yang pertama dikenal memiliki tipe yang sama seperti Lagrangian Maxwell kecuali untuk penjumlahan. Akan tetapi, 2 suku selanjutnya menunjukkan bahwa medan vektor memiliki interaksi kubik dan kuadratik nontrivial diantara mereka. 17 Dari Lagrangian medan Dirac 2.1.2 dan medan Yang-Mills 2.2.37, Lagrangian total untuk interaksi medan Yang-Mills dan Dirac diberikan oleh: 4 4 3 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1 DIRAC MILLS YANG 2 D i F F Tr g 2 1 ψ ψ ψ γ ψ + − = µ µ − µν µν m - L . 2.2.39 Selain besaran invarian I = TrF µ ν F µ ν pada poin a di atas, terdapat pula kuantitas invarian lainnya, yakni: ρσ µν µνρσ ∈ = F F Tr II 2.2.40 sebagai kandidat untuk suku kinetik. Bahwa II tak diambil sebagai suku kinetik adalah karena ia merupakan suatu divergensi murni. Untuk melihat hal ini, tuliskan: A A A iA 2 A A Tr 4 ] A iA A A iA A [ Tr 4 II σ ρ ν µ σ ρ ν µ µνρσ σ ρ σ ρ ν µ ν µ µνρσ + ∂ ∂ ∈ = + ∂ + ∂ ∈ = 2.2.41 dimana suku A µ A ν A ρ A telah dieliminasi dengan menggunakan sifat siklik dari trace. Sekarang A A A Tr 3 1 A A A Tr σ ν µ µνρσ ρ σ ρ ν µ µνρσ ∈ ∂ = ∂ ∈ 2.2.42 sehingga ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∈ ∂ = ν µ σ ν µ σ µνρσ ρ A A A 3 i 2 A A 4 II 2.2.43 gunakan A = ∂ ∂ ∈ ν µ ρ µιρσ . Maka akan sampai pada ρ ρ ρσ µν µνρσ ∂ = ∈ W 4 F F Tr 2.2.44 dengan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ =∈ ν µ σ ν µ σ µνρσ ρ A A A 3 i 2 A A Tr W . 2.2.45 Ini berarti dengan mengambil II sebagai suku kinetik dari Lagrangian, maka tidak dapat diturunkan persamaan gerak untuk potensial vektor A µ karena II hanya mempengaruhi aksi pada titik-titik ujungnya. 18

2.3 Persamaan gerak dan muatan Noether medan Yang-Mills