7
2.1 Simetri global dan lokal Abelian
Untuk membahas generalisasi transformasi gauge global ke lokal ditinjau sebuah multiplet medan partikel yang terdiri atas n-komponen:
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
=
n 2
1
M
. 2.1.1
Untuk kejelasannya, berikut diambil sebagai sebuah medan spinor Dirac yang kerapatan Lagrangiannya adalah:
ψ ψ
− ψ
∂ γ
ψ =
µ µ
m i
L
; µ = 0, 1, 2, 3 2.1.2
dimana
µ
adalah matriks Dirac lihat apendiks A2
µν µ
ν ν
µ
η =
γ γ
+ γ
γ dengan
1 ,
1 ,
1 ,
1 diagonal
− −
− =
η
µν
2.1.3 dan
γ ψ
= ψ
+
sedangkan m adalah massa partikel. Dalam bahasan selanjutnya istilah Lagrangian dimaksudkan untuk rapat Lagrangian, kecuali ada penjelasan
tambahan.
Lagrangian di atas invarian di bawah transformasi fasa global: {
x e
x x
x e
x x
ig fasa
ig +
α −
+ +
α
ψ =
ψ →
ψ ψ
= ψ
→ ψ
2.1.4 dimana g adalah sebuah konstanta tak berdimensi, sedangkan
α adalah parameter transformasi, yang tak bergantung pada koordinat ruang-waktu. Perhatikan bahwa
dalam transformasi 2.1.4 semua komponen medan dikalikan dengan bilangan kompleks modulus satuan:
Λ = e
ig α
yang sama. Jenis transformasi ini disebut bersifat: Abelian. Akan diperlihatkan kelak bahwa g berkaitan dengan konstanta
kopling medan partikel dengan medan interaksi, sebagai misal: muatan listrik untuk kasus interaksi elektromagnetik.
8 Ide dasar dari gauging adalah merumuskan ulang Lagrangian di atas agar invarian
di bawah transformasi fasa lokal untuk mana α bukan sebuah parameter global
tetapi sebuah fungsi skalar yang bergantung pada koordinat ruang-waktu x
µ
, yaitu:
x e
x x
x e
x x
x ig
x ig
+ α
− +
+ α
ψ =
ψ →
ψ ψ
= ψ
→ ψ
. 2.1.5
Di bawah transformasi pers. 2.1.5 didapatkan
x ]
x ig
[ e
x
x ig
ψ α
∂ +
∂ →
ψ ∂
µ µ
α µ
sehingga
x x
x g
m i
α ∂
ψ γ
ψ −
= ψ
ψ −
ψ ∂
γ ψ
= →
µ µ
µ µ
L L
L .
2.1.6 Tampak bahwa Lagrangian
L
tak lagi invarian terhadap transformasi fasa lokal akibat adanya suku kedua pada pers. 2.1.6 yang mengandung
∂
µ
. Untuk memulihkan invariansi Langrangian
L
, operator turunan ∂
µ
diperluas dengan memperkenalkan operator turunan baru D
µ
yang di bawah transformasi fasa lokal bertransformasi secara kovarian sebagai berikut:
x D
e x
D x
D
x ig
ψ =
ψ →
ψ
µ α
µ µ
. 2.1.7
Operator D
µ
ini dinamakan turunan kovarian. Dengan demikian, dalam operator D
µ
, Lagrangian awal
L
teralihkan menjadi:
ψ ψ
− ψ
γ ψ
≡ →
µ µ
m D
i L
L
, 2.1.8
yang adalah invarian di bawah transformasi 2.1.5 dan 2.1.7. Operator D
µ
di atas didefinisikan melalui ansatz berikut:
x igA
D
µ µ
µ
+ ∂
= 2.1.9
dimana A
µ
x adalah sebuah medan kompensasi real yang diperkenalkan untuk menghilangkan suku kedua pada pers. 2.1.6.
Dari persyaratan kovariansi pers. 2.1.7, yang secara terurai adalah:
[ ]
[ ]
[ ]
{ }
[ ]
ψ +
ψ ∂
= ψ
+ ψ
∂ +
ψ α
∂ ψ
+ ∂
= ψ
+ ∂
µ µ
α α
µ µ
µ µ
µ α
α µ
µ
x igA
e e
x igA
x ig
x igA
e e
x igA
x ig
x ig
x ig
x ig
2.1.10 diperoleh sifat transformasi untuk A
µ
x sebagai berikut:
9
x g
x A
x A
α ∂
− =
µ µ
µ
. 2.1.11
Dengan demikian Lagrangian 2.1.8, dalam A
µ
x, adalah:
[ ]
x A
g m
x igA
i
baru µ
µ µ
µ µ
ψ γ
ψ −
= ψ
ψ −
ψ +
∂ γ
ψ =
L L
2.1.12 yang jelas invarian di bawah transformasi lokal simultan
1
:
x g
x A
x A
x A
e x
x
x ig
α ∂
− =
→ ψ
= ψ
→ ψ
µ µ
µ µ
α
. 2.1.13
Perhatikan kemunculan konstanta g dalam pers. 2.1.12 pada suku interaksi antara arus partikel
ψ γ
ψ
µ
dengan medan gauge A
µ
x yang memperlihatkan secara eksplisit perannya sebagai konstanta kopling.
Untuk merumuskan suku kinetik dari medan A
µ
x, yang mempertahankan invariansi gauge pers. 2.1.13, didefinisikan besaran tensor antisimetri berikut:
µ ν
ν µ
ν µ
µν
∂ −
∂ =
= A
A ]
D ,
D [
ig 1
F 2.1.14
yang adalah invarian terhadap transformasi gauge 2.1.13. Dengan demikian, Lagrangian baru untuk medan A
µ
berbentuk sebagai berikut:
µν µν
− =
F F
4 1
L 2.1.15
Faktor 14 berkaitan dengan definisi suku kinetik
A A
2 1
K
µ µ
∂ ∂
= L
. Perhatikan bahwa Lagrangian 2.1.15 sesuai dengan Lagrangian teori
elektromagnetik Maxwell lihat apendiks A1. Sekarang, dapat dibangun Lagrangian terpadu untuk interaksi antara medan
potensial elektromagnetik A
µ
berspin 1 dan medan spinor Dirac berspin ½, yakni:
4 4
4 3
4 4
4 2
1 43
42 1
DIRAC MAXWELL
m D
i F
F 4
1 ψ
ψ −
ψ γ
ψ +
− =
µ µ
µν µν
L
. 2.1.16
1
Pers. 2.1.13 membentuk transformasi gauge U1. Medan tak bermassa foton Aµ dikenal sebagai medan gauge untuk interaksi elektromagnetik yang harus diperkenalkan agar terhadap
transformasi persamaan tetap invarian.
10
2.2 Konstruksi invariansi gauge non-Abelian lokal
Kategori