25 sedangkan evolusi dengan waktu imajiner, secara formal, menurut mekanika
kuantum, berkaitan dengan efek tunnelling. Akan diperlihatkan bahwa syarat Bogomolnyi, memberikan konfigurasi medan Yang-Mills dengan nilai fungsi aksi
yang minimum. Karena itu, solusi bersangkutan menyatakan tunnelling antara beberapa minima dari fungsi aksi, yang akan dijelaskan dalam bab VI. Solusi non-
singular ini, oleh ‘t Hooft dinamakan instanton.
3.1 Syarat batas untuk fungsi aksi S berhingga
Sebagaimana disebutkan pada pengantar di atas, instanton adalah solusi persamaan medan Yang-Mills dengan fungsi aksi:
∫
µν µν
− =
F F
xTr d
g 2
1 S
4 2
YM M
3.1.1 bernilai hingga. Salah satu cara untuk memperoleh fungsi aksi berhingga ini
adalah dengan meninjau ruang-waktu Euclidean. Dalam hal ini, kooordinat ruang Euclidean
6
4-dimensi dinyatakan oleh x
µ
µ = 1, 2, 3, 4, yang dapat dipandang sebagai koordinat ruang-waktu Minkowski dengan kooordinat waktu x
bernilai imajiner:
4
ix x
→ .
Untuk mendapatkan solusi instanton ini perlu diidentifikasikan terlebih dahulu syarat batas yang harus dipenuhi oleh sembarang konfigurasi medan Yang-Mills
agar memberikan fungsi aksi S yang berhingga.
Sebagai langkah pertama, tinjau konfigurasi dengan aksi nol. Dari pers. 3.1.1 terlihat bahwa S = 0 jika dan hanya jika F
µ ν
= 0. Hal ini memberikan tak terhingga kemungkinan untuk medan A
µ
yang dapat diperlihatkan sebagai berikut. Perhatikan bahwa syarat F
µ ν
= 0 adalah invarian gauge. Dengan demikian, kondisi
6
Mulai dari bab ini indeks ruang-waktu µ, ν, ρ, berjalan dari 1 sampai 4, kecuali ada beberapa
pemberitahuan lebih lanjut.
26 ini tak hanya dipenuhi oleh A
µ
= 0, tetapi juga oleh sembarang medan hasil transformasi gauge yang diperoleh dari A
µ
= 0. Medan ini dinamakan gauge murni
, yang diberikan oleh [lihat pers.2.2.14]
[ ]
, x
U Ux
i A
~
µ µ
+
∂ −
= 3.1.2
dimana x
U , untuk setiap x, merupakan salah satu elemen dari grup SUN.
Bahwa pers. 3.1.2 menghasilkan F
µ ν
= 0, dapat diperlihatkan sebagai berikut. Substitusikan
µ
A ~
ke dalam persamaan kuat medan 2.2.32 menghasilkan:
[ ] [
][ ]
UU i
UU i
i UU
i A
~ A
~ i
A ~
A ~
F ν
↔ µ
− ∂
∂ +
∂ ∂
= ν
↔ µ
− +
∂ =
+ µ
+ ν
+ ν
µ ν
µ ν
µ µ
µν
3.1.3 Gunakan sifat berikut:
U U
U U
+ µ
µ +
µ ν
ν µ
∂ −
= ∂
∂ ∂
= ∂
∂ 3.1.4
maka terbukti: A
~ F
=
µ µν
. 3.1.5
Sebaliknya pun berlaku, bahwa F
µ ν
= 0 dipenuhi oleh
µ µ
= A ~
A dalam pers.
3.1.2.
Berikut, ditinjau konfigurasi dengan aksi berhingga. Jelas terlihat pada pers. 3.1.1 bahwa syarat keberhinggan ini terpenuhi bila F
µ ν
adalah nol pada batas ruang Euclidean-4, yaitu pada permukaan bola dimensi-3 S
3
dengan
∞ →
r
dimana
2 1
2 4
2 3
2 2
2 1
x x
x x
x r
+ +
+ =
≡
adalah jari-jari dalam ruang Euclidean berdimensi empat. Pada titik tak hingga
r ∞
→ kita menginginkan F
µ ν
berkurang secara asimtotik menuju nol, yakni: x
F
x B
∞ →
µν
→ 3.1.6
Dengan demikian, pada kedudukan di tak hingga, medan A
µ
mengambil konfigurasi gauge murni menurut pers. 3.1.2 di atas.
27
3.2 Konstruksi fungsi aksi minimum
