48
4.3 Solusi Q-instanton SU2 ADHM
Untuk mengilustrasikan konstruksi ADHM, berikut diturunkan solusi Q-instanton untuk gauge SU2 solusi ‘t Hooft
14
. Mengikuti prosedur di atas, pertama dipilih:
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
σ λ
σ λ
σ λ
=
Q 2
1 4
n 4
2 4
1
a a
a
L M
O M
M L
L L
a
4.3.1
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
σ −
σ −
σ −
=
4 4
4
L M
O M
M L
L L
b
4.3.2
dimana a
n
= a
nµ µ
menentukan posisi instanton ke-n dan λ
n
= λ
n
I
2
adalah ukurannya.
maka,
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− σ
λ σ
λ σ
λ =
+ =
∆ x
a x
a x
a x
Q 2
1 4
n 4
2 4
1
L M
O M
M L
L L
b a
, 4.3.3
dan
14
Solusi SU2 yang lebih rumit dipelajari oleh Christ dkk. [19]. Secara khusus, mereka membahas permasalahan menemukan solusi Q-instanton untuk instanton dengan orientasi SU2
yang berubah-ubah.
49 ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
σ λ
σ λ
σ λ
= ∆
+ +
+ +
Q 4
1 2
4 1
1 4
1
y y
y
L M
O M
M M
L L
4.3.4
dimana telah dituliskan: -
4
x = -x. Misalkan,
y
n
= a
n
- x 4.3.5
maka ∆
+
∆ diberikan oleh
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
+ σ
σ λ
λ σ
λ λ
σ λ
λ +
σ σ
λ λ
σ λ
λ σ
λ λ
+ σ
= ∆
∆
+ 2
Q 2
4 2
Q 4
2 Q
4 1
Q 4
Q 2
2 2
2 4
2 2
4 1
2 4
Q 1
4 2
1 2
1 2
4 2
1
y x
y x
y x
L M
O M
M L
L
. 4.3.6
Karena,
2 n
2 n
y y
σ =
4.3.7 dimana:
R a
x a
x y
2 4
n 4
2 1
n 1
2 n
∈ −
+ +
− =
L
4.3.8 maka,
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
σ +
λ σ
λ λ
σ λ
λ σ
λ λ
σ +
λ σ
λ λ
σ λ
λ σ
λ λ
σ +
λ =
∆ ∆
+ 4
2 Q
2 Q
4 2
Q 4
1 Q
4 Q
2 4
2 2
2 2
4 1
2 4
Q 1
4 2
1 4
2 1
2 1
y y
y
L M
O M
M L
L
4.3.9
adalah matriks kuaternion real
k k
×
, yaitu setiap elemennya sebanding dengan
4
seperti yang dibutuhkan.
Selanjutntya, dari kondisi M
+
∆ = 0, yaitu:
[ ]
y y
y M
M M
Q 2
1 4
Q 4
2 4
1 Q
1
= ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
σ λ
σ λ
σ λ
+ +
+
L M
O M
M L
L L
L
4.3.10
50 diperoleh
y M
M y
M M
y M
M
Q Q
Q 2
2 2
1 1
1
= +
λ =
+ λ
= +
λ
+ +
+ +
+ +
M 4.3.11
atau, y
M M
n n
n
= +
λ
+ +
“tidak dijumlahkan” 4.3.12
Selanjutnya, pers. 4.3.12 dikalikan dengan
+ n
y dari kanan menghasilkan: y
y M
y M
n n
n n
n
= +
λ
+ +
+ +
4.3.13 karena,
4 2
n 2
n n
n n
n
y y
y y
y y
σ =
= =
+ +
4.3.14 maka diperoleh:
+ +
+
λ −
=
n 2
n n
n
y M
y M
. 4.3.15
Kemudian, dari normalisasi M
+
M =
4
= 1, didapatkan:
4 Q
1 n
n n
2 n
i 4
Q 1
i n
n
M y
M y
M M
M M
M M
σ =
λ −
σ =
+
∑ ∑
= +
+ +
= +
+
4.3.16
Gunakan 4.3.12 untuk menggantikan M
n
dalam 4.3.16, menghasilkan:
[ ]
I y
1 M
M I
M M
y M
M I
M M
y M
M
Q 1
n 2
n 2
n Q
1 n
2 n
2 n
Q 1
n n
2 n
n
= ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ λ
+ =
λ +
= λ
− λ
−
∑ ∑
∑
= +
= +
+ =
+ +
4.3.17
maka diperoleh
4
1 M
σ φ
=
, 4.3.18
51 dan
φ ⋅
− λ
= φ
⋅ −
− λ
=
+
1 a
x 1
a x
a x
M
n n
2 n
n n
n
4.3.19 dimana:
2 Q
Q 2
1 1
Q 1
n 2
n n
a x
a x
1 a
x 1
− λ
+ +
− λ
+ =
− λ
+ =
φ
∑
=
L
4.3.20
yang tak lain adalah fungsi ansatz skalar untuk solusi ‘t Hooft pers. 4.1.10. Namun diperlukan pilihan yang lebih tepat untuk pers. 4.3.1 dan 4.3.2, agar
diperoleh solusi umum multi-instanton SU2.
4.4 Interaksi Instanton