Solusi Q-instanton SU2 ADHM

48

4.3 Solusi Q-instanton SU2 ADHM

Untuk mengilustrasikan konstruksi ADHM, berikut diturunkan solusi Q-instanton untuk gauge SU2 solusi ‘t Hooft 14 . Mengikuti prosedur di atas, pertama dipilih: ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ λ σ λ σ λ = Q 2 1 4 n 4 2 4 1 a a a L M O M M L L L a 4.3.1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ − σ − σ − = 4 4 4 L M O M M L L L b 4.3.2 dimana a n = a nµ µ menentukan posisi instanton ke-n dan λ n = λ n I 2 adalah ukurannya. maka, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − σ λ σ λ σ λ = + = ∆ x a x a x a x Q 2 1 4 n 4 2 4 1 L M O M M L L L b a , 4.3.3 dan 14 Solusi SU2 yang lebih rumit dipelajari oleh Christ dkk. [19]. Secara khusus, mereka membahas permasalahan menemukan solusi Q-instanton untuk instanton dengan orientasi SU2 yang berubah-ubah. 49 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ λ σ λ σ λ = ∆ + + + + Q 4 1 2 4 1 1 4 1 y y y L M O M M M L L 4.3.4 dimana telah dituliskan: - 4 x = -x. Misalkan, y n = a n - x 4.3.5 maka ∆ + ∆ diberikan oleh ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + σ σ λ λ σ λ λ σ λ λ + σ σ λ λ σ λ λ σ λ λ + σ = ∆ ∆ + 2 Q 2 4 2 Q 4 2 Q 4 1 Q 4 Q 2 2 2 2 4 2 2 4 1 2 4 Q 1 4 2 1 2 1 2 4 2 1 y x y x y x L M O M M L L . 4.3.6 Karena, 2 n 2 n y y σ = 4.3.7 dimana: R a x a x y 2 4 n 4 2 1 n 1 2 n ∈ − + + − = L 4.3.8 maka, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ + λ σ λ λ σ λ λ σ λ λ σ + λ σ λ λ σ λ λ σ λ λ σ + λ = ∆ ∆ + 4 2 Q 2 Q 4 2 Q 4 1 Q 4 Q 2 4 2 2 2 2 4 1 2 4 Q 1 4 2 1 4 2 1 2 1 y y y L M O M M L L 4.3.9 adalah matriks kuaternion real k k × , yaitu setiap elemennya sebanding dengan 4 seperti yang dibutuhkan. Selanjutntya, dari kondisi M + ∆ = 0, yaitu: [ ] y y y M M M Q 2 1 4 Q 4 2 4 1 Q 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ λ σ λ σ λ + + + L M O M M L L L L 4.3.10 50 diperoleh y M M y M M y M M Q Q Q 2 2 2 1 1 1 = + λ = + λ = + λ + + + + + + M 4.3.11 atau, y M M n n n = + λ + + “tidak dijumlahkan” 4.3.12 Selanjutnya, pers. 4.3.12 dikalikan dengan + n y dari kanan menghasilkan: y y M y M n n n n n = + λ + + + + 4.3.13 karena, 4 2 n 2 n n n n n y y y y y y σ = = = + + 4.3.14 maka diperoleh: + + + λ − = n 2 n n n y M y M . 4.3.15 Kemudian, dari normalisasi M + M = 4 = 1, didapatkan: 4 Q 1 n n n 2 n i 4 Q 1 i n n M y M y M M M M M M σ = λ − σ = + ∑ ∑ = + + + = + + 4.3.16 Gunakan 4.3.12 untuk menggantikan M n dalam 4.3.16, menghasilkan: [ ] I y 1 M M I M M y M M I M M y M M Q 1 n 2 n 2 n Q 1 n 2 n 2 n Q 1 n n 2 n n = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ λ + = λ + = λ − λ − ∑ ∑ ∑ = + = + + = + + 4.3.17 maka diperoleh 4 1 M σ φ = , 4.3.18 51 dan φ ⋅ − λ = φ ⋅ − − λ = + 1 a x 1 a x a x M n n 2 n n n n 4.3.19 dimana: 2 Q Q 2 1 1 Q 1 n 2 n n a x a x 1 a x 1 − λ + + − λ + = − λ + = φ ∑ = L 4.3.20 yang tak lain adalah fungsi ansatz skalar untuk solusi ‘t Hooft pers. 4.1.10. Namun diperlukan pilihan yang lebih tepat untuk pers. 4.3.1 dan 4.3.2, agar diperoleh solusi umum multi-instanton SU2.

4.4 Interaksi Instanton