Kasus di atas akan lebih rumit jika pada satu petani dapat dilakukan pengambilan plot contoh lebih dari satu plot. Sehingga model 4.1 akan menjadi model tersarang
nested sebagai berikut:
ijk i
j i
ijk
y ε
β α
µ +
+ +
=
, i=1, 2, …, a; j=1, 2, …, b
i
; dan k=1, 2, …, n
ij
……. 4.2
dimana:
ijk
y = respon hasil plot pada dusun ke-i, petani ke-j, dan plot ke-k
µ = rataan umum
i
α = pengaruh dusun ke -i
i j
β = pengaruh petani ke-j pada dusun ke-i
ijk
ε = galat pada dusun ke-i, petani ke-j, dan plot ke-k.
Dengan asumsi
i
α ,
i j
β dan
ij
ε saling bebas, maka untuk kasus model ini ragam dari
suatu observasi atau pengamata n menjadi:
2 2
2
σ σ
σ
β α
+ +
=
ijk
y V
Asumsi yang berlaku sama dengan model 4.1 dengan tambahan asumsi untuk faktor petani adalah
, ~
2 β
σ β
N
i j
. Untuk kasus dua faktor yang bersifat acak seperti ini, pendugaan parameter akan berfokus pada pendugaan terhadap
µ
dan komponen ragam
2 α
σ ,
2 β
σ , dan
2
σ . Metode yang umum digunakan untuk menduga parameter-
parameter ini adalah metode kuadrat terkecil ANOVA dan metode kemungkinan maksimum.
Pada bab ini akan dibahas tentang pendugaan parameter menggunakan metode kuadrat terkecil dan metode kemungkinan maksimum untuk kedua model di atas.
Pembahasan akan diawali untuk kasus jumlah ulangan sama, kemudian dilanjutkan dengan kasus ulangan dan jumlah level faktor yang berbeda.
4.2. Pendugaan dengan Metode Kuadrat Terkecil Model Acak Satu Faktor
Pendekatan metode kuadrat terkecil analisis ragam, ANOVA untuk model 4.1 beserta nilai harapan kuadrat tengahnya EKT untuk kas us jumlah ulangan sama
disajikan pada Tabel 8 Searle et al., 1992. Tabel 8 Analisis ragam untuk model acak satu faktor dengan ulangan sama
Sumber db
JK KT
EKT Á
a-1
∑
=
−
a i
i
an y
n y
1 2
.. 2
.
1 −
a JKA
2 2
α
σ σ
n +
Galat an-1
∑ ∑∑
=
−
a i
i a
i n
j ij
n y
y
1 2
. 2
1 −
n a
JKG
2
σ Total
an-1 an
y y
a i
n j
ij 2
.. 2
−
∑∑
Dari tabel analisis ragam Tabel 8 di atas dapat diperoleh penduga bagi ragam
2
σ dan
2 α
σ sebagai berikut:
KTG ˆ
2
= σ
n KTG
- KTA
ˆ
2
=
α
σ .
Kedua penduga ragam ini merupakan penduga yang tak bias, karena
2 2
ˆ σ
σ = E
dan
2 2
ˆ
α α
σ σ =
E . Namun demikian, dalam beberapa kasus dapat diperoleh penduga
2 α
σ bernilai negatif jika dijumpai KTAKTG. Penduga ragam yang negatif mungkin
memberikan indikasi kita menggunakan model yang salah, sehingga kita perlu mengganti model. Atau nilai negatif tersebut memberikan indikasi bahwa komponen
ragam tersebut sebenarnya bernilai 0
2
=
α
σ . Jika dijumpai nilai
2
ˆ
α
σ sangat besar dan
negatif , dan penduga ini tak bias, maka lebih baik diasumsikan
2
=
α
σ , sehingga model
dapat direduksi menjadi
ij ij
e y
+ = µ
. Dengan demikian penduga bagi
2
σ
menjadi 1
ˆ
2
− =
an JKT
σ .
Ada beberapa alternatif tindakan untuk menghindari nilai dugaan yang negatif, yaitu: 1 Periksa apakah ada data yang aneh atau perhitungan yang salah, 2
Mengumpulkan data yang lebih banyak dengan harapan hasilnya dapat menjadi positif, dan 3 Menggunakan metode-metode alternatif yang dapat menghilangkan
kemungkinan hasil yang negatif, seperti: metode kemungkinan maksimum MKM, metode kemungkinan maksimum terkendala REML, dan penduga Bayes Searle et al.,
1992 ; atau menggunakan pendekatan yang ditawarkan oleh Khattree 1999. Ragam dan peragam bagi penduga komponen ragam
2
ˆ σ
dan
2
ˆ
α
σ adalah sebagai
berikut: 1
2 ˆ
4 2
− =
= n
a KTG
ragam ragam
σ σ
− +
− +
=
−
= 1
1 2
ˆ
4 2
2 2
2 2
n a
a n
n n
KTG KTA
ragam ragam
σ σ
σ σ
α α
1 2
] ,
[ ˆ
, ˆ
4 2
2
− −
= −
= −
= n
an n
KTG ragam
n KTG
KTG KTA
peragam peragam
σ σ
σ
α
. Sedangkan penduga tak bias bagi penduga ragam dan peragam bagi
2
ˆ σ
dan
2
ˆ
α
σ adalah sebagai berikut Searle et al., 1992:
2 1
ˆ 2
ˆ ˆ
4 2
+ −
= n
a am
g ra
σ σ
+ −
+ −
+ =
2 1
ˆ 1
ˆ ˆ
2 ˆ
ˆ
4 2
2 2
2 2
n a
a n
n am
g ra
σ σ
σ σ
α α
2 1
ˆ 2
ˆ ,
ˆ ˆ
4 2
2
+ −
− ==
n an
gam a
per σ
σ σ
α
. Untuk kasus jumlah ulangan tidak sama, tabel analisis ragamnya dapat diperoleh
melalui penguraian jumlah kuadrat berikut:
∑∑ ∑∑
∑ ∑ ∑∑
= =
= =
= =
= =
− +
− =
− +
− =
−
a i
n j
a i
n j
i ij
i a
i n
j i
ij i
a i
n j
ij
i i
i i
y y
y y
y y
y y
y y
1 1
1 1
2 2
1 1
2 1
1 2
. ..
. .]
.. .
[ ..
atau dapat ditulis sebagai berikut:
