Selanjutnya, penurunan penduga bagi
2
σ dan
2 α
σ sama dengan
2 b
σ pada fungsi
berikut akan diperoleh dari fungsi tujuan atau profil posterior sebagai berikut:
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
2 2
2
2 1
log |
| log
2 1
2 1
log 2
2 1
log 2
m R
Z A
Z b
R b
q Ae
e N
Q
b b
b b
− −
+ +
′ −
′ −
− ′
− −
∝
− −
− −
− −
σ γ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
Penurunan fungsi ini terhadap
2 b
σ dan
2
σ menghasilkan:
2 1
1 1
2 1
2 4
4 2
2
1 }
{ 2
1 2
1 2
σ σ
σ σ
σ σ
σ −
′ +
′ +
′ +
− =
∂ ∂
− −
− −
− −
Z A
Z R
Z A
Z teras
Ae e
N Q
b
1 }
{ 2
1 2
1 2
2 2
1 1
1 2
1 2
4 1
4 2
2
m R
R Z
A Z
teras b
R b
q Q
b b
b b
b b
− −
+ ′
+ ′
+ −
= ∂
∂
− −
− −
− −
−
σ γ
σ σ
σ σ
σ σ
Dengan mengevaluasi pada nilai 0, diperoleh
1 }
{ 2
1 2
1 2
2 1
1 1
2 1
2 4
4 2
= −
′ +
′ +
′ +
−
− −
− −
− −
σ σ
σ σ
σ σ
Z A
Z R
Z A
Z teras
Ae e
N
b
} {
2 1
2 1
2 }
{ 2
1 2
1 1
2
1 1
1 2
1 2
2 2
1 1
1 2
1 2
4 4
2 2
Z A
Z R
Z A
Z teras
Ae e
N Z
A Z
R Z
A Z
teras Ae
e N
b b
− −
− −
− −
− −
− −
− −
′ +
′ +
′ =
+ ′
+ ′
+ ′
= +
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
} {
2 1
1 1
1 2
1 2
2
Z A
Z R
Z A
Z teras
Ae e
N
b −
− −
− −
−
′ +
′ +
′
+
= σ
σ σ
} {
2 1
2 1
2
2 2
2 1
1 1
2 1
2 4
1 4
2
= +
− +
′ +
′ +
−
− −
− −
− −
−
γ γ
σ σ
σ σ
σ σ
m R
R Z
A Z
teras b
R b
q
b b
b b
b
1 }
{ 2
1 2
1 2
2 2
1 1
1 2
1 2
4 1
4 2
m R
R Z
A Z
teras b
R b
q
b b
b b
b
− −
+ ′
+ ′
=
− −
− −
− −
−
σ γ
σ σ
σ σ
σ
m R
R Z
A Z
teras b
R b
q
b b
b b
b
+ +
′ +
′ +
− =
− −
− −
− −
−
} {
2 2
2
1 1
1 2
1 2
4 2
1 4
2 2
2 2
σ σ
σ γ
σ γ
σ γ
σ
…….
5.1
atau
2 }
{ 1
2 2
4 1
1 1
2 1
2 1
2
m R
R Z
A Z
teras b
R b
q
b b
b b
− −
+ ′
+ ′
=
− −
− −
− −
−
σ γ
σ σ
σ σ
……. 5. 2 Dengan demikian, algoritma pendugaan
2 b
σ dan
2
σ sama dengan kasus-a, tetapi
hanya mengganti rumus
2 b
σ dengan persamaan 5.1 atau 5.2.
c. Kasus noninformative prior untuk
2 α
σ
dan
2
σ
, sedangkan
, ~
2
δ τ
µ N
Log fungsi posterior untuk kasus ini adalah sebagai berikut:
∑ ∑
− −
− −
− −
− ∝
i i
i i
i i
y n
JKE a
N N
y λ
µ σ
λ σ
π θ
π 2
2 log
2 1
log 2
1 2
log 2
| log
2 .
2 2
2 2
2 2
1 log
1 log
2 1
σ σ
τ µ
δ
α
+ +
− −
. Penurunan fungsi ini terhadap
µ menghasilkan
2 .
δ τ
µ λ
µ µ
π −
− −
= ∂
∂
∑
i i
i i
y n
2 2
.
δ τ
δ µ
λ µ
λ +
− −
=
∑ ∑
i i
i i
i i
i
n y
n .
Dengan mengevaluasi fungsi ini terhadap 0 dan memasukkan nilai
2 2
α
σ σ
λ
i i
n +
= maka diperoleh
1
2 2
2 2
2 2
.
= +
+ +
− +
∑ ∑
δ τ
δ σ
σ µ
σ σ
α α
i i
i i
i i
i
n n
n y
n
2 2
2 2
2 2
.
1 ˆ
δ σ
σ δ
τ σ
σ µ
α α
+ +
+ +
=
∑ ∑
i i
i i
i i
i
n n
n y
n …………………………………………… 5. 3
Selanjutnya, turunan kedua dari log fungsi posteriornya menghasilkan:
2 2
1 δ
λ µ
µ π
− −
= ∂
∂ ∂
∑
i i
i
n .
Dengan demikian, ragam dari µ
ˆ adalah
1 2
2 2
1 ˆ
ˆ ˆ
−
+ +
=
∑
i i
i
n n
ragam δ
σ σ
µ
α
. Penduga bagi komponen ragam
2 α
σ dan
2
σ akan diturunkan dalam bentuk proses
pendugaan menggunakan algoritma iteratif. Selanjutnya, penurunan penduga bagi
2
σ dan
2 α
σ sama dengan
2 b
σ pada fungsi berikut akan diperoleh dari fungsi
tujuan atau profil likelihood sebagai berikut: b
R b
q q
e A
e N
Q
b b
1 2
2 1
2 2
log 2
log 2
2 1
log 2
− −
′ −
− ′
− −
∝ σ
σ σ
σ
2 2
1 2
1 2
1 log
1 log
| |
log 2
1 σ
σ σ
σ +
+ +
′ −
− −
− −
b b
R Z
A Z
.
Penurunan fungsi ini terhadap
2 b
σ dan
2
σ menghasilkan:
2 1
1 1
2 1
2 4
4 2
2
1 }
{ 2
1 2
1 2
σ σ
σ σ
σ σ
σ −
′ +
′ +
′ +
− =
∂ ∂
− −
− −
− −
Z A
Z R
Z A
Z teras
Ae e
N Q
b 2
1 1
1 2
1 2
4 1
4 2
2
1 }
{ 2
1 2
1 2
b b
b b
b b
R R
Z A
Z teras
b R
b q
Q σ
σ σ
σ σ
σ σ
− +
′ +
′ +
− =
∂ ∂
− −
− −
− −
−
.
Dengan mengevaluasi pada nilai 0, diperoleh sama dengan kasus-a. Dengan demikian, algoritma perhitungan bagi penduga parameter
µ ,
2
σ dan
2 α
σ mirip
dengan butir a, tetapi hanya berbeda pada bagian penentuan penduga bagi
µ
menggunakan persamaan 5.3.
d. Kasus noninformative prior untuk
2
σ
, sedangkan
, ~
2
δ τ
µ N
dan
, ~
ˆ
2 2
γ σ
α
m N
Log fungsi posterior untuk kasus ini adalah sebagai berikut:
∑ ∑
− −
− −
− −
− ∝
i i
i i
i i
y n
JKE a
N N
λ µ
σ λ
σ π
π 2
2 log
2 1
log 2
1 2
log 2
log
2 .
2 2
2 2
2 2
2
1 log
2 1
2 1
σ γ
σ τ
µ δ
α
+
−
− −
− m
. Penurunan fungsi ini terhadap
µ
menghasilkan
2 .
δ τ
µ λ
µ µ
π −
− −
= ∂
∂
∑
i i
i i
y n
2 2
.
δ τ
δ µ
λ µ
λ +
− −
=
∑ ∑
i i
i i
i i
i
n y
n .
Dengan mengevaluasi fungsi ini terhadap 0 akan diperoleh penduga bagi µ
sama dengan kasus-c. Ragam bagi
µ ˆ juga akan sama dengan kasus-c.
Proses perhitungan untuk komponen ragam
2
σ dan
2 α
σ akan sama dengan kasus -b,
dengan demikian algoritma pendugaan bagi parameter µ
,
2
σ dan
2 α
σ mirip
dengan kasus-b, tetapi hanya berbeda pada bagian penentuan penduga bagi µ
menggunakan persamaan 5.3.
Pendekatan Bayes untuk Model Acak Dua Faktor Tersarang
Pendekatan Bayes pada model acak dua faktor tersarang yang akan dibahas pada tulisan ini hanya pada kasus jumlah taraf tersarang dan jumlah ulangan yang sama
seimbang. Sedangkan kasus sebaran prior bagi parameter modelnya akan dibahas dua keadaan, yaitu a kasus semua parameter
µ
,
2
σ
,
2 β
σ dan
2 α
σ noninformative prio r,
dan b kasus ,
~
2
δ τ
µ N
, sedangkan
2
σ
,
2 β
σ dan
2 α
σ noninformative prior.
a. Kasus semua parameter
µ
,
2
σ
,
2 β
σ
dan
2 α
σ
noninformative prior
Dengan mengingat Tabel 14 bahwa
2 2
1
σ σ =
,
2 2
2 12
β
σ σ
σ n
+ =
, dan
2 2
2 2
123 α
β
σ σ
σ σ
bn n
+ +
= maka noninformative prior bagi
2
σ
,
2 β
σ
dan
2 α
σ akan setara
dengan noninformative prior bagi
2 1
σ
,
2 12
σ dan
2 123
σ . Di sisi lain, menurut Tiao
Box, 1967, sebaran bersama noninformative prior bagi µ
,
2 1
σ
,
2 12
σ dan
2 123
σ adalah:
2 123
2 12
2 1
2 123
2 12
2 1
, ,
, ,
,
− −
−
∝ σ
σ σ
σ σ
σ µ
π
.
Dengan demikian, dengan merujuk pada persamaan 4.7, maka fungsi kemungkinan bagi
µ ,
2 1
σ ,
2 12
σ dan
2 123
σ menjadi:
2 123
2 12
2 1
2 1
1 1
2 12
2 2
2 123
2 ..
1 2
123 2
12 2
1 2
123 2
12 2
1
1 1
1 2
1 exp
, ,
,
3 2
1 2
2 1
1 2
1
σ σ
σ σ
σ σ
µ σ
σ σ
σ σ
σ µ
×
+
+ −
− ×
∝
∑
+ −
− −
m v
m v
y bn
L
i v
v v
. Log dari fungsi kemungkinan ini menjadi:
2 123
2 12
2 1
2 1
1 1
2 12
2 2
2 123
2 ..
2 123
3 2
12 2
2 1
1 2
123 2
12 2
1
log log
log 2
1 log
2 1
log 2
1 log
2 1
, ,
, log
σ σ
σ σ
σ σ
µ σ
σ σ
σ σ
σ µ
− −
−
+
+ −
− −
− −
=
∑
m v
m v
y bn
v v
v L
i
. Turunan pertama terhadap
µ ,
2 1
σ ,
2 12
σ , dan
2 123
σ adalah sebagai berikut:
a
2 123
..
log σ
µ µ
∑
− =
∂ ∂
i
y bn
L
