Sebaran prior merefleksikan pengetahuan atau keyakinan peneliti tentang θ
, yang pada umumnya informasi ini tersedia Moore, 1997. Sedangkan
π θ
|x merupakan
refleksi dari perbaikan nilai θ
setelah dilakukan observasi contoh x. Atau dengan
perkataan lain, sebaran posterior merupakan kombinasi antara informasi awal tentang θ
dengan informasi tentang θ
yang dibawa oleh contoh x.
Pada bab ini akan dicoba menelaah pendekatan Bayes untuk pendugaan parameter model acak persamaan 4.1 dan 4.2.
5.2. Penentuan Prior
Sebaran prior secara garis besar dapat ditentukan melalui dua cara, yaitu secara subyektif dan secara empiris. Pada umumnya, sebaran posterior
| x
θ π
dan sebaran marginal
x m
tidak mudah ditentukan. Ada kelas sebaran prior yang membuat sebaran posterior
| x
θ π
dapat ditentukan dengan mudah yang disebut sebagai conjugate prior
. Sebaran conjugate prior pada berbagai fungsi kemungkinan sebaran keluarga eksponen disajikan pada Tabel 17.
Dengan adanya prior conjugate, untuk mendapatkan sebaran posterior
| x
θ π
, kita tidak perlu menghitung sebaran marginal
x m
. Secara umum, sebaran posterior
| x
θ π
dapat ditentukan melalui kaidah berikut Gill, 2002: |
| x
L p
x θ
θ θ
π ∝
dimana θ
p adalah sebaran prior bagi
θ , dan
| x
L θ
merupakan fungsi kemungkinan
θ .
Untuk ukuran pemusatan, prior yang paling umum digunakan adalah sebaran normal. Sebaran normal sangat umum digunakan, baik pada pendekatan-pendekatan
Bayesian maupun Non-Bayesian. Beberapa alasan yang mendasarinya antara lain Gill, 2002: 1 secara alamiah data empriris kebanyakan mengikuti pola sebar an normal,
yang diperkuat juga dengan adanya dalil limit pusat; 2 Banyak kelas sebaran posterior dapat dimodelkan dengan mengkombinasikan asumsi fungsi kemungkinan normal
dengan prior yang berbeda; 3 Pada banyak model Bayesian lebih sulit dalam mendapatkan penduga secara numerik, tetapi sebaran normal memberikan sebaran
posterior yang mudah ditelusuri secara analitik. Sedangkan untuk ukuran keragaman parameter ragam, sebaran prior yang paling umum digunakan adalah Inverse Gamma.
Tabel 17 Beberapa bentuk sebaran keluarga eksponen dan conjugate prior Gill, 2002
Sebaran fungsi kemungkinan Sebaran conjugate prior
Hyperparameter Bernoulli
Beta
, β
α
Binomial Beta
, β
α Multinomial
Dirichlet
∑
= ,
θ θ
θ
j j
Negative Binomial Beta
, β
α Poisson
Gamma ,
β α
Exponential Gamma
, β
α Gamma
Gamma ,
β α
Normal untuk µ
Normal ,
2
∈ σ µ
R Normal untuk
2
σ
Inverse Gamma
, β
α
Pareto untuk
α
Gamma
, β
α
Pareto untuk β
Pareto ,
β α
Uniform Pareto
, β
α
Pada keadaan tertentu, prior yang kita tentukan tidak dapat memberikan informasi secara spesifik tentang parameter
θ . Sebagai contoh, untuk parameter lokasi
µ hanya
dapat menyebutkan ∞
∞ −
µ ; atau untuk parameter ragam
2
σ
hanya dapat menyebutkan
2
σ . Prior untuk kasus yang demikian disebut sebagai
noninformative prior, yang berarti prior yang tidak mengandung informasi tentang
θ Berger, 1985.
Metode yang paling umum digunakan untuk menentukan noninformative prior adalah metode yang dikemukakan oleh Jeffreys 1961 dalam Berger 1985 , yaitu
mengambil nilai akar kuadrat nilai harapan dari informasi Fisher
θ I
sebagai noninformative prior
seperti berikut:
[ ]
2 1
θ θ
π I
= .
