b
2 1
4 1
1 1
2 1
1 2
1
1 2
2 log
σ σ
σ σ
− +
− =
∂ ∂
m v
v L
c
2 12
4 12
2 2
2 12
2 2
12
1 2
2 log
σ σ
σ σ
− +
− =
∂ ∂
m v
v L
d
2 123
4 123
2 ..
2 123
3 2
123
1 2
2 1
log σ
σ µ
σ σ
− −
+ +
− =
∂ ∂
∑
i
y bn
v L
. Evaluasi keempat persamaan ini terhadap 0 menghasilkan
a
2 123
..
= −
∑
σ µ
i
y bn
...
ˆ y
= µ
b 1
2 2
2 1
4 1
1 1
2 1
1
= −
+ −
σ σ
σ m
v v
2 1
2 ˆ
2 2
2
1 1
1 2
1 1
2 1
1 2
1 2
1 1
1 1
2 1
+ −
= +
= =
+ =
− +
−
n ab
JKG v
m v
m v
v m
v v
σ σ
σ σ
σ
c 1
2 2
2 12
4 12
2 2
2 12
2
= −
+ −
σ σ
σ m
v v
2 2
2 2
2 2
2 2
12 2
2 2
12 2
12 2
2 12
2 2
2 12
2
+ =
= +
= −
+ −
v m
v m
v v
m v
v
σ σ
σ σ
σ
− +
= +
= +
n v
JKB v
m v
n 1
ˆ 2
ˆ 2
ˆ ˆ
2 2
2 2
2 2
2 2
σ σ
σ σ
β β
d 1
2 2
1
2 123
4 123
2 ..
2 123
3
= −
− +
+ −
∑
σ σ
µ σ
i
y bn
v
2 ˆ
ˆ ˆ
3 2
1 2
2 1
3 3
2 2
2 3
3 3
2 123
2 ..
2 123
3 2
123 2
123 2
.. 3
2 123
+ =
+ +
+ =
− =
+ +
= −
− +
+ −
∑ ∑
a m
v bn
n v
m v
y bn
v y
bn v
i i
α β
σ σ
σ σ
µ σ
σ σ
µ σ
bn n
a m
v
2 2
3 3
2
ˆ ˆ
2 ˆ
β α
σ σ
σ −
− +
=
bn n
a JKA
2 2
ˆ ˆ
2
β
σ σ −
− +
=
.
Ragam bagi µ
ˆ dapat diperoleh melalui turunan kedua dari fungsi L
log di atas sebagai berikut:
2 123
2 2
log σ
µ abn
L −
= ∂
∂ .
Dengan demikian abn
bn n
ragam
2 2
2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
α β
σ σ
σ µ
+ +
= .
b. Kasus
, ~
2
δ τ
µ N
dan komponen ragamnya noninformative prior
Fungsi kemungkinan untuk kasus ini adalah
2 123
2 12
2 1
2 2
2 1
1 1
2 12
2 2
2 123
2 ..
1 2
123 2
12 2
1 2
123 2
12 2
1
1 1
1 1
2 1
exp ,
, ,
3 2
1 2
2 1
1 2
1
σ σ
σ τ
µ δ
σ σ
σ µ
σ σ
σ σ
σ σ
µ ×
− +
+ +
− −
× ∝
∑
+ −
− −
m v
m v
y bn
L
i v
v v
. Log dari fungsi kemungkinan ini menjadi:
2 123
2 12
2 1
2 2
2 1
1 1
2 12
2 2
2 123
2 ..
2 123
3 2
12 2
2 1
1 2
123 2
12 2
1
log log
log 1
2 1
log 2
1 log
2 1
log 2
1 ,
, ,
log σ
σ σ
τ µ
δ σ
σ σ
µ σ
σ σ
σ σ
σ µ
− −
−
−
+ +
+ −
− −
− −
=
∑
m v
m v
y bn
v v
v L
i
. Turunan pertama terhadap
µ ,
2 1
σ ,
2 12
σ , dan
2 123
σ adalah sebagai berikut:
a τ
µ δ
σ µ
µ −
− −
= ∂
∂
∑
2 2
123 ..
1 log
i
y bn
L
b
2 1
4 1
1 1
2 1
1 2
1
1 2
2 log
σ σ
σ σ
− +
− =
∂ ∂
m v
v L
c
2 12
4 12
2 2
2 12
2 2
12
1 2
2 log
σ σ
σ σ
− +
− =
∂ ∂
m v
v L
d
2 123
4 123
2 ..
2 123
3 2
123
1 2
2 1
log σ
σ µ
σ σ
− −
+ +
− =
∂ ∂
∑
i
y bn
v L
. Evaluasi persamaan a terhadap 0 menghasilkan
+ =
= +
− −
= −
− −
∑
abn y
abn abn
y abn
y bn
i
2 123
2 2
123 ...
2 2
2 123
2 123
... 2
2 123
..
ˆ ˆ
ˆ 1
σ δ
τ σ
µ δ
τ δ
µ σ
µ σ
τ µ
δ σ
µ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2
2 2
...
abn bn
n y
δ σ
σ σ
τ µ
α β
+ +
+ =
. Sedangkan evaluasi persamaan ini b, c dan d terhadap 0 menghasilkan penduga
bagi
2
σ ,
2 β
σ
, dan
2 α
σ sama dengan kasus-a.
Ragam bagi
µ ˆ
dapat diperoleh melalui turunan kedua dari fungsi
L log
di atas sebagai berikut:
2 2
123 2
2
1 log
δ σ
µ −
− =
∂ ∂
abn L
.
Dengan demikian
1 2
2 2
2
1 ˆ
ˆ ˆ
ˆ
−
+ +
+ =
δ σ
σ σ
µ
α β
bn n
abn ragam
.
