Penentuan Prior PENDEKATAN BAYES PADA MODEL ACAK

posterior yang mudah ditelusuri secara analitik. Sedangkan untuk ukuran keragaman parameter ragam, sebaran prior yang paling umum digunakan adalah Inverse Gamma. Tabel 17 Beberapa bentuk sebaran keluarga eksponen dan conjugate prior Gill, 2002 Sebaran fungsi kemungkinan Sebaran conjugate prior Hyperparameter Bernoulli Beta , β α Binomial Beta , β α Multinomial Dirichlet ∑ = , θ θ θ j j Negative Binomial Beta , β α Poisson Gamma , β α Exponential Gamma , β α Gamma Gamma , β α Normal untuk µ Normal , 2 ∈ σ µ R Normal untuk 2 σ Inverse Gamma , β α Pareto untuk α Gamma , β α Pareto untuk β Pareto , β α Uniform Pareto , β α Pada keadaan tertentu, prior yang kita tentukan tidak dapat memberikan informasi secara spesifik tentang parameter θ . Sebagai contoh, untuk parameter lokasi µ hanya dapat menyebutkan ∞ ∞ − µ ; atau untuk parameter ragam 2 σ hanya dapat menyebutkan 2 σ . Prior untuk kasus yang demikian disebut sebagai noninformative prior, yang berarti prior yang tidak mengandung informasi tentang θ Berger, 1985. Metode yang paling umum digunakan untuk menentukan noninformative prior adalah metode yang dikemukakan oleh Jeffreys 1961 dalam Berger 1985 , yaitu mengambil nilai akar kuadrat nilai harapan dari informasi Fisher θ I sebagai noninformative prior seperti berikut: [ ] 2 1 θ θ π I = . Secara umum, untuk parameter lokasi µ dan parameter regresi β , noninformative prior- nya adalah c p ∝ µ atau c p ∝ β . Sedangkan noninformative prior untuk parameter ragam 2 σ adalah 2 2 1 σ σ ∝ p Berger, 1985 dan Kass Wasserman, 1996. Khusus untuk model acak satu faktor persamaan 4.1, sebaran priornya berkaitan dengan parameter µ , 2 α σ , dan 2 σ . Pada kasus model ini akan dibahas untuk sebaran prior sebagai berikut: 1. Untuk parameter µ akan dicoba dua prior, yaitu noninformative prior dan prior normal, yaitu , ~ 2 δ τ µ N 2. Untuk parameter 2 α σ akan dicoba dua prior, yaitu noninformative prior dan prior normal, yaitu , ~ ˆ 2 2 γ σ α m N 3. Untuk parameter 2 σ akan dicoba menggunakan noninformative prior. Sedangkan untuk model acak dua faktor tersarang persamaan 4.2, sebaran priornya berkaitan dengan parameter µ , 2 α σ , 2 β σ dan 2 σ . Pada kasus model ini, ada dua sebaran prior untuk parameter µ akan dibahas, yaitu noninformative prior dan prior normal , ~ 2 δ τ µ N , sedangkan untuk parameter komponen ragam 2 σ , 2 β σ , dan 2 α σ menggunakan noninformative prior saja.

5.3. Pendekatan Bayes

Sub bab ini akan membahas pendekatan Bayes untuk kasus model acak persamaan 4.1 dan 4.2 yang telah dibahas pada Bab 4. Sedangkan sebaran priornya menggunakan kombinasi prior yang diungkapkan pa da Sub Bab 5.2. Secara umum, pada model acak satu faktor, jika diketahui prior untuk µ , 2 α σ , dan 2 σ yang masing-masing adalah 1 µ π , 2 2 α σ π , dan 2 3 σ π , maka fungsi sebaran posterior bagi 2 2 , , σ σ µ θ α = dapat dinyatakan sebagai , | | , , | 2 3 2 2 2 2 1 2 2 σ π σ π σ σ µ π σ σ µ θ π α α α y L y = . Pende katan Bayes untuk Model Acak Satu Faktor a. Kasus noninformative prior untuk µ , 2 α σ , dan 2 σ Dengan mengacu pada fungsi kemungkinan 4.5, maka log fungsi posterior untuk model acak satu faktor yang dimaksud di sini persamaan 4.1 adalah sebagai berikut: ∑ ∑ − − − − − − − ∝ i i i i i i y n JKE a N N y λ µ σ λ σ π θ π 2 2 log 2 1 log 2 1 2 log 2 | log 2 . 2 2 2 2 1 log 1 log σ σ α + + . dengan 2 2 α σ σ λ i i n + = . Penurunan fungsi ini terhadap µ menghasilkan ∑ − = ∂ ∂ i i i i y n λ µ µ π log . . Selanjutnya, dengan mengevaluasi fungsi ini terhadap 0 diperoleh 2 2 . = + − ∑ i i i i n y n α σ σ µ ∑ ∑ + + = i i i i i i i n n n y n 2 2 2 2 . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ α α σ σ σ σ µ . Untuk kasus jumlah ulangan sama , penduga µ ˆ akan diperoleh sama seperti penduga kuadrat terkecil dan penduga kemungkinan maksimum, yaitu .. ˆ y = µ . Sedangkan ragam dari µ ˆ dapat diperoleh dengan cara yang sama dengan penduga kemungkinan maksimum seperti yang telah dibahas pada Bab 4, sehingga diperoleh 1 2 2 ˆ ˆ ˆ −       + = ∑ i i i n n ragam α σ σ µ . Untuk kasus jumlah ulangan sama akan diperoleh ˆ µ ragam sama seperti penduga kemungkinan maksimum, yaitu an n ragam 2 2 ˆ ˆ ˆ α σ σ µ + = . Penduga bagi komponen ragam 2 α σ dan 2 σ tidak dapat diperoleh dalam bentuk closed form , oleh karena itu akan diturunkan dalam bentuk proses pendugaan