Pendugaan dengan Metode Kemungkinan maksimum Model Acak Satu Faktor

Dua suku terakhir dari persamaan 4.4 di atas jika diekspresikan dalam bentuk JKA dan JKG menjadi sebagai berikut:         − + −       + − + − =         − + −       + − + − =       − + − − + − −       − + − + − + − − =       − + − − − + − + − − =       − + − − + − − = + − + − − ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ i i i i i j i i i i i ij i j i i i j i i ij i j i i i i ij i i ij i j i i i i ij i i i j ij y y y n n n JKG y y y n n n JKG y n n n y n y y y n n y y y y n n y y y y y y y n n y y y n y n y } { 1 2 1 1 2 1 { 2 1 { 2 1 } 2 { 2 1 2 1 2 2 2 .. 2 .. . 2 2 2 2 2 .. .. . 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 . 2 . 2 2 . 2 2 2 2 2 . 2 . 2 2 . 2 2 2 2 . . 2 . 2 . 2 2 . 2 2 2 2 2 . . 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 µ σ σ σ σ µ σ σ σ σ µ σ σ σ µ σ µ σ σ σ µ σ µ σ σ σ µ µ σ µ σ σ σ µ σ σ σ σ µ σ σ µ α α α α α α α α α α α α α α       − + + + − = ] [ 2 1 2 .. 2 2 2 2 µ σ σ σ σ α y an JKA n JKG . Karena penduga kemungkinan maksimum dari suatu fungsi parameter sama dengan fungsi dari penduga kemungkinan maksimum dari parameter, kita dapat menyederhanakan notasi dengan menuliskan: 2 2 α σ σ λ n + = Sehingga persamaan 4.4 menjadi: λ µ λ σ λ σ π 2 2 2 log 2 1 log 1 2 1 2 log 2 log 2 .. 2 2 − − − − − − − − = y an JKA JKG a n a N L . Dengan menurunkan secara parsial terhadap µ , 2 σ dan λ diperoleh: λ µ µ log .. − = ∂ ∂ y an L 4 2 2 2 2 1 log σ σ σ JKG n a L + − − = ∂ ∂ 2 2 .. 2 2 2 2 log λ µ λ λ λ − + + − = ∂ ∂ y an JKA a L . Evaluasi ketiga persamaan ini pada nilai 0, memberikan penduga kemungkinan maksimum sebagai berikut: .. ˆ y = µ KTG = 2 ˆ σ dan n KTG KTA a − − = 1 1 ˆ 2 α σ dimana 1 − = a JKA KTA dan 1 − = n a JKG KTG . Sedangkan turunan kedua untuk ketiga persamaan tersebut di atas masing-masing terhadap µ , 2 σ dan λ diperoleh: λ µ an L − = ∂ ∂ 2 2 log 6 4 2 2 2 2 1 log σ σ σ JKG n a L − − = ∂ ∂ 3 2 .. 3 2 2 2 2 log λ µ λ λ λ − − − = ∂ ∂ y an JKA a L . Dengan memasukkan penduga kemungkinan maksimum bagi µ , 2 σ dan λ di atas kedalam ketiga persamaan turunan kedua fungsi kemungkinan ini akan menghasilkan nilai yang negatif. Dengan demikian penduga kemungkinan maksimum tersebut terbukti merupakan titik maksimum dari fungsi kemungkinannya. Penduga 2 ˆ σ ternyata merupakan penduga yang tak bias terhadap 2 σ , sedangkan 2 ˆ α σ merupakan penduga yang berbias terhadap 2 α σ karena 2 2 ˆ σ σ = E sedangkan 2 2 2 1 1 1 ˆ σ σ σ α α an a E − − = . Penduga 2 ˆ σ dan ragam 2 ˆ σ yang dihasilkan oleh metode kuadrat terkecil ANOVA dan metode kemungkinan maksimum ternyata sama , sedangkan penduga 2 ˆ α σ yang dihasilkan oleh kedua metode tersebut berbeda. Pada beberapa kasus dimungkinkan diperolehnya penduga komponen ragam 2 ˆ α σ yang negatif. Oleh karena itu, untuk memperoleh nilai harapan penduga kemungkinan maksimumnya lebih sulit karena tergantung dari nilai 2 ˆ α σ apakah positif atau negatif Searle et al., 1992. Selanjutnya, untuk menghindari mendapatkan penduga yang negatif, Searle et al. 1992 memberikan penduga kemungkinan maksimum bagi 2 ˆ σ dan 2 ˆ α σ sebagai berikut:    ≥ − − − = selainnya 1 1 untuk ; ] 1 1 [ ˆ 2 KTG KTA a n KTG KTA a α σ dan     ≥ − = . selainnya untuk ; 1 1 untuk ; ˆ 2 an JKT KTG KTA a KTG σ Ragam dari masing-masing penduga µ ˆ , 2 ˆ σ , dan 2 ˆ α σ dapat diperoleh melalui nilai harapan dari turunan kedua log fungsi kemungkinannya sebagai berikut:                 − =                 − =           − a n a an a n a an ragam 2 4 1 2 4 2 2 1 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ λ σ λ λ σ λ λ σ µ Dengan demikian: an n ragam 2 2 ˆ ˆ ˆ α σ σ µ + =                   − + − − − − − ≅       1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ˆ ˆ 4 2 2 4 2 2 n a a n n an n an n a ragam σ λ σ σ σ α Kasus jumlah ulangan tidak sama Penurunan penduga kemungkinan maksimum untuk kasus ulangan tidak sama akan mengacu pada log fungsi kemungkinan yang dituliskan pada persamaan 4.3. Dengan menotasikan kembali 2 2 α σ σ λ i i n + = dan mengeks-presikan fungsi tersebut dalam bentuk JKG dan JKA, maka diperoleh persamaan sebaga i berikut: ∑ ∑ − − − − − − − = i i i i i i y n JKG a N N L λ µ σ λ σ π 2 2 log 2 1 log 2 1 2 log 2 log 2 . 2 2 ….. 4.5 Dengan menurunkan secara parsial terhadap µ , 2 σ dan λ diperoleh: ∑ − = ∂ ∂ i i i i y n L λ µ µ log . ∑ ∑ − + + − − − = ∂ ∂ i i i i i i y n JKG a N L 2 2 . 4 2 2 2 2 1 2 1 2 log λ µ σ λ σ σ ∑ ∑ − + − = ∂ ∂ i i i i i i y n n L 2 2 . 2 2 2 1 log λ µ λ λ Dengan mengevaluasi fungsi turunan terhadap µ di atas terhadap 0, diperoleh penduga kemungkinan maksimum bagi µ sebagai berikut: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = + + = = i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y y y n n n y n n y n var 1 var ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ . . . 2 2 2 2 . . α α σ σ σ σ λ λ µ dimana: i i n y ragam ˆ ˆ 2 2 . σ σ α + = . Sedangkan untuk kasus ulangan tidak sama, solusi secara analitik bagi penduga kemungkinan maksimum 2 σ dan 2 α σ tidak dapat diperoleh Searle et al., 1992. Ragam dari masing-masing penduga ini dapat diperoleh melalui nilai harapan dari turunan ke dua log fungsi kemungkinannya sebagai berikut: . 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ 1 2 2 2 2 2 4 2 −                   + − =           ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i i i i i i i i i i n n n a N n ragam λ λ λ λ σ λ λ σ µ Dengan demikian 1 2 2 1 ˆ − −       + =       = ∑ ∑ i i i i i i n n n ragam α σ σ λ µ             + − − − ≅       ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i i i i i i i i a N n n n D ragam 2 4 2 2 2 2 2 2 1 2 ˆ ˆ λ σ λ λ λ σ σ α Dimana 2 2 2 2 2 2 2 4 1       − + − = ∑ ∑ ∑ ∑ i i i i i i i i i i i n n n a N D λ λ λ λ σ . Untuk jumlah ulangan tidak sama, penduga parameter bagi komponen ragam pada umumnya tidak dapat diperoleh melalui rumus jadi closed form Searle et al., 1992. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk memperoleh penduga bagi komponen ragamnya untuk kasus ulangan tidak sama adalah algoritma iterative backfitting seperti yang digunakan oleh Pawitan 2001. Pada bagian ini akan diuraikan metode pendugaan bagi 2 σ dan 2 α σ menggunakan algoritma iteratif yang dikembangkan dari Pawitan 2001 . Secara umum, model 4.1 jika dituliskan dalam bentuk matriks akan menjadi: e Zb y + + = µ 1 Dengan asumsi , ~ D N b dan , ~ ∑ N e , sedangkan , 1 ~ V N y µ dimana Z ZD V ′ + ∑ = Log fungsi kemungkinan pada parameter fixed , θ µ dimana 2 2 , α σ σ θ = adalah 1 1 2 1 | | log 2 1 , log 1 µ µ θ µ − ′ − − − = − y V y V L Pada nilai θ yang tetap, turunan pertama fungsi ini terhadap µ dan mengevaluas inya pada nilai 0 menghasilkan penduga µ sebagai berikut: y V V 1 1 1 1 1 1 ˆ − − − ′ ′ = µ Profil likelihood dari parameter θ adalah 1 ˆ 1 ˆ 2 1 | | log 2 1 log 1 µ µ θ − ′ − − − = − y V y V L ………………………. 4.6 Log-likelihood seluruh parameter model θ µ , , b dengan 2 2 , α σ σ θ = dapat ditentukan berdasarkan sebaran bersama dari , b y , yaitu | , , b p b y p b L = θ µ Sebaran bersyarat y jika diketahui b adalah normal dengan nilai tengah Zb b y E + = 1 | µ dan ragam ∑ . Sedangkan b menyebar normal dengan nilai tengah 0 dan ragam D, sehingga b D b D Zb y Zb y b L 1 1 2 1 | | log 2 1 1 1 2 1 | | log 2 1 , , log − − ′ − − − − ∑ ′ − − − ∑ − = µ µ θ µ Penurunan fungsi ini terhadap µ dan b menghasilkan: 1 1 log 1 Zb y L − − ∑ ′ = ∂ ∂ − µ µ b D Zb y Z b L 1 1 1 log − − − − − ∑ ′ = ∂ ∂ µ Dengan mengevaluasi pada nilai 0, maka penduga bagi µ dan b dapat diperoleh melalui solusi dari persamaan tersebut sebagai berikut:     ∑ ′ ∑ ′ =         + ∑ ′ ∑ ′ ∑ ′ ∑ ′ − − − − − − − y Z y b D Z Z Z Z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 µ Dengan berpedoman bahwa Pawitan, 2001 : | | | | | | ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 1 1 1 ˆ 1 1 1 ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − − − − − − − + ∑ ′ − ∑ = ′ + − − ∑ ′ − − = − ′ − − − ∑ = − − ′ = ∑ ′ + ∑ ′ ∑ − ∑ = D Z Z V b D b b Z y b Z y y V y b Z y y V y V Z D b Z D Z Z Z V µ µ µ µ µ µ µ Maka persamaan 4.6 dapat dituliskan kembali menjadi: b D b D b Z y b Z y L 1 1 ˆ 2 1 | | log 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 | | log 2 1 log − − ′ − − − − ∑ ′ − − − ∑ − = µ µ θ | | log 2 1 1 1 − − + ∑ ′ − D Z Z | | log 2 1 ˆ , , ˆ log log 1 1 − − + ∑ ′ − = D Z Z b L L θ µ θ . Dari persamaan ini terlihat bahwa log θ L merupakan modifikasi ˆ , , ˆ log b L θ µ denga n menambahkan persamaan | | log 2 1 1 1 − − + ∑ ′ − D Z Z yang tidak lain merupakan informasi Fisher dari b . Selanjutnya, untuk mendapatkan penduga bagi µ , b , dan komponen ragam 2 σ dan 2 α σ dapat dilakukan melalui prosedur iteratif. Dengan mengasumsikan: A 2 σ = ∑ dan R D b 2 σ = Dimana A dan R merupakan matriks yang diketahui dan berpangkat N dan q pada banyak aplikasi, matriks A dan R merupakan matriks identitas. Dengan demikian, untuk memperoleh penduga parameter tersebut, fungsi tujuan yang harus dimaksimumkan adalah | | log 2 1 log 2 log 2 2 1 log 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 − − − − − − + ′ − ′ − − ′ − − = R Z A Z b R b q q e A e N Q b b b σ σ σ σ σ σ Dimana Zb y e − − = 1 µ Turunan Q terhadap 2 σ dan 2 α σ menghasilkan: } { 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 4 1 4 2 2 Z A Z R Z A Z teras q e A e N Q b − − − − − − − ′ + ′ + ′ + − = ∂ ∂ σ σ σ σ σ σ } { 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 4 1 4 2 2 − − − − − − − + ′ + ′ + − = ∂ ∂ R R Z A Z teras b R b q q Q b b b b b σ σ σ σ σ σ . Dengan mengevaluasi masing-masing pada nilai 0, dan mengisolasi nilai 2 σ dan 2 α σ maka diperoleh persamaan iteratif sebagai berikut: }] { [ 1 1 1 1 2 1 2 1 2 Z A Z R Z A Z teras e A e N b − − − − − − − ′ + ′ + ′ = σ σ σ }] { [ 1 1 1 1 2 1 2 1 2 − − − − − − − + ′ + ′ = R R Z A Z teras b R b q b b σ σ σ . Dengan demikian, prosedur iteratif untuk menduga µ , b , dan komponen ragam 2 σ dan 2 α σ adalah sebagai berikut: 1. Tentukan nilai awal 2 σ , 2 b σ , µ dan b Nilai awal bagi 2 σ dan 2 b σ dapat diambil dari penduga kuadrat terkecil , sedangkan nilai awal untuk = b 2. Hitung: ∑ ∑ + + = i i i i i i i n n n y n 2 2 2 2 . ˆ α α σ σ σ σ µ Hitung vektor data terkoreksi Zb y y c − − = 1 µ dan hitung nilai b melalui persamaan c y Z D Z Z b 1 1 1 1 − − − − ∑ ′ + ∑ ′ = 3. Hitung: Zb y e − − = 1 µ 4. Hitung nilai komponen ragam baru menggunakan: }] { [ 1 1 1 1 2 1 2 1 2 Z A Z R Z A Z teras e A e N b − − − − − − − ′ + ′ + ′ = σ σ σ }] { [ 1 1 1 1 2 1 2 1 2 − − − − − − − + ′ + ′ = R R Z A Z teras b R b q b b σ σ σ Dimana nilai 2 σ dan 2 b σ sebelah kanan mengambil nilai pada iterasi sebelumnya. 5. Ulangi 2-5 sampai konvergen. Algoritma iterative backfitting di dalam aljabar linier lebih dikenal dengan sebutan metode Jacobi atau Gauss -Seidel. Menurut Anton 1987, metode Jacobi atau Gauss-Seidel terkadang berjumpa dengan kondisi yang divergen atau tidak konvergen, sehingga metode ini tidak selalu memberikan solusi. Pemilihan ekspresi dari persamaan parameter yang akan diduga dapat membantu diperolehnya kondisi yang konvergen. Model Acak Tersarang Dua Faktor Kasus Jumlah Taraf dan Ulangan Sama Model 4.2 untuk jumlah taraf ulangan sama dapat dituliskan sebagai: ijk ij i ijk y ε β α µ + + + = , i=1, 2, …, a; j=1, 2, …, b; da n k=1, 2, …, n Dengan asumsi : , ~ 2 α σ α N i , , ~ 2 β σ β N ij , , ~ 2 σ ε N ijk . Sesuai dengan Tabel 10, rumus umum tabel analisis ragamnya dapat dituliskan seperti Tabel 14. Tabel 14 Tabel analisis ragam untuk model acak tersarang dua faktor dengan ulangan sama JK db KT EKT ∑ − = 2 ... .. 3 y y bn S i 3 v 3 3 3 v S m = 2 2 2 2 123 α β σ σ σ σ bn n + + = ∑∑ − = 2 .. . 2 i ij y y n S 2 v 2 2 2 v S m = 2 2 2 12 β σ σ σ n + = ∑∑∑ − = 2 . 1 ij ijk y y S 1 v 1 1 1 v S m = 2 2 1 σ σ = Keterangan: 1 1 − = n ab v , 1 2 − = b a v , 1 3 − = a v , KTG m = 1 , KTB m = 2 , KTA m = 3 Berdasarkan model dan tabel analisis ragam di atas, fungsi kemungkinan bagi µ , 2 1 σ , 2 12 σ , dan 2 123 σ adalah sebagai berikut Tiao Box, 1967 :                 + + − − × ∝ ∑ + − − − 2 1 1 1 2 12 2 2 2 123 2 .. 1 2 123 2 12 2 1 2 123 2 12 2 1 2 1 exp , , , 3 2 1 2 2 1 1 2 1 σ σ σ µ σ σ σ σ σ σ µ m v m v y bn L i v v v …………….. 4. 7 Log dari fungsi kemungkinan persamaan 4.7 ini menjadi:         + + − − + − − − = ∑ 2 1 1 1 2 12 2 2 2 123 2 .. 2 123 3 2 12 2 2 1 1 2 123 2 12 2 1 2 1 log 1 2 1 log 2 1 log 2 1 , , , log σ σ σ µ σ σ σ σ σ σ µ m v m v y bn v v v L i Turunan pertama fungsi ini terhadap µ , 2 1 σ , 2 12 σ , dan 2 123 σ adalah sebagai berikut: a 2 123 .. log σ µ µ ∑ − = ∂ ∂ i y bn L b 4 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 log σ σ σ m v v L + − = ∂ ∂ c 4 12 2 2 2 12 2 2 12 2 2 log σ σ σ m v v L + − = ∂ ∂ d 4 123 2 .. 2 123 3 2 123 2 2 1 log σ µ σ σ ∑ − + + − = ∂ ∂ i y bn v L . Evaluasi keempat persamaan ini terhadap 0 menghasilkan a 2 123 .. = − ∑ σ µ i y bn ... ˆ y = µ b 2 2 4 1 1 1 2 1 1 = + − σ σ m v v KTG m = = 1 2 ˆ σ c 2 2 4 12 2 2 2 12 2 = + − σ σ m v v 2 2 2 2 2 12 ˆ ˆ ˆ m n m = + = β σ σ σ n KTG KTB n m − = − = 2 2 2 ˆ ˆ σ σ β d 2 2 1 4 123 2 .. 2 123 3 = − + + − ∑ σ µ σ i y bn v bn n a m v a m v bn n v m v v y y bn i 2 2 3 3 2 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 ... .. 2 123 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 ˆ β α α β σ σ σ σ σ σ σ − − = = + + + = + − = ∑ bn KTB a JKA bn n KTG KTB n KTG a JKA − =       − − − = 2 ˆ α σ . Permasalahan yang dihadapi dalam pendugaan komponen ragam pada mode l acak tersarang adalah adanya kemungkinan diperolehnya penduga ragam yang negatif. Oleh karena itu, Searle et al. 1992 memberikan penduga kemungkinan maksimum bagi komponen ragam tersebut seperti yang disajikan pada Tabel 15. Tabel 15 Penduga kemungkinan maksimum bagi 2 σ , 2 β σ , dan 2 α σ pada model acak tersarang dua faktor Nilai Penduga Kemungkinan Maksimum KM Kondisi yang dihadapi oleh solusi KM 2 ˆ α σ 2 ˆ β σ σ ˆ ˆ 2 ≥ α σ , ˆ 2 ≥ β σ bn KTB a JKA − n KTG KTB − KTG ˆ 2 ≥ α σ , ˆ 2 β σ bn a JKA 2 ˆ σ − 1 − + bn a JKB JKG ˆ 2 α σ , ˆ 2 ≥ β σ       − + KTG ab JKB JKA n 1 KTG ˆ 2 α σ , ˆ 2 β σ abn JKT Ragam bagi µ ˆ dapat diperoleh melalui turunan kedua dari fungsi L log di atas sebagai berikut: 2 123 2 2 log σ µ abn L − = ∂ ∂ . Dengan demikian abn bn n ragam 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ α β σ σ σ µ + + = . Kasus Jumlah Taraf dan Ulangan Tidak Sama Menurut Searle et al. 1992, tidak ada bentuk tertutup closed form persamaan penduga kemungkinan maksimum bagi komponen ragam pada model tersarang dua faktor model 4.2 untuk kasus jumlah ulangan yang tidak sama. Khusus untuk penduga bagi µ , Searle 1970 telah menurunkan penduga kemungkinan maksimumnya sebagai berikut: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = = = a i b j ij a i ij b j ij b j ij ij a i i ij b j ij ij a i i i i i i k y k m n q y m n q 1 1 1 . 1 1 1 . 1 1 1 1 ˆ µ .............................................. 4.8 dimana         + + + = ∑ j ij e ij e ij n n k 2 2 2 2 2 1 1 1 σ σ σ σ σ β α β . Sedangkan ragamnya adalah sebagai berikut: ∑ ∑ = = − = ′ = i b j ij ij a i i m n q V Var 1 1 1 1 1 1 1 1 ˆ µ Dimana: 2 2 e ij ij n m σ σ β + = ∑ = + = i c j ij ij i m n q 1 2 1 α σ .

4.4. Penerapan

Pada sub bab penerapan ini akan dicoba kan menerapkan pendekatan menggunakan metode kuadrat terkecil dan metode kemungkinan maksimum pada data sampling untuk pendugaan produktivitas komoditas hortikultura. Metode analisis akan dicobakan untuk kasus jumlah ulangan sama dan jumlah ulangan yang berbeda. Data yang digunakan adalah data hasil ujicoba penentuan produktivitas komoditas hortikultura yang telah dilakukan oleh Pusdatin Departemen Pertanian pada Tahun 2002 di Kabupaten Brebes. Jumlah plot contoh sebenarnya adalah 40 plot yang tersebar di dua kecamatan dan lima desa. Data ini akan digunakan analisis untuk kasus jumlah ulangan tidak sama. Sedangkan untuk kasus jumlah ulangan sama jumlah petani atau plot contoh per dusun sama, akan dilakukan dengan cara mereduksi data hasil ujicoba tersebut sehingga setiap dusun hanya ada enam petani saja seperti yang disajikan pada Tabel 16. Penerapan untuk ulangan sama menggunakan data yang disajikan pada Tabel 16. Hasil analisis ragam terhadap data tersebut adalah sebagai berikut: