Pendekatan Bayes untuk Model Acak Dua Faktor Tersarang
Pendekatan Bayes pada model acak dua faktor tersarang yang akan dibahas pada tulisan ini hanya pada kasus jumlah taraf tersarang dan jumlah ulangan yang sama
seimbang. Sedangkan kasus sebaran prior bagi parameter modelnya akan dibahas dua keadaan, yaitu a kasus semua parameter
µ
,
2
σ
,
2 β
σ dan
2 α
σ noninformative prio r,
dan b kasus ,
~
2
δ τ
µ N
, sedangkan
2
σ
,
2 β
σ dan
2 α
σ noninformative prior.
a. Kasus semua parameter
µ
,
2
σ
,
2 β
σ
dan
2 α
σ
noninformative prior
Dengan mengingat Tabel 14 bahwa
2 2
1
σ σ =
,
2 2
2 12
β
σ σ
σ n
+ =
, dan
2 2
2 2
123 α
β
σ σ
σ σ
bn n
+ +
= maka noninformative prior bagi
2
σ
,
2 β
σ
dan
2 α
σ akan setara
dengan noninformative prior bagi
2 1
σ
,
2 12
σ dan
2 123
σ . Di sisi lain, menurut Tiao
Box, 1967, sebaran bersama noninformative prior bagi µ
,
2 1
σ
,
2 12
σ dan
2 123
σ adalah:
2 123
2 12
2 1
2 123
2 12
2 1
, ,
, ,
,
− −
−
∝ σ
σ σ
σ σ
σ µ
π
.
Dengan demikian, dengan merujuk pada persamaan 4.7, maka fungsi kemungkinan bagi
µ ,
2 1
σ ,
2 12
σ dan
2 123
σ menjadi:
2 123
2 12
2 1
2 1
1 1
2 12
2 2
2 123
2 ..
1 2
123 2
12 2
1 2
123 2
12 2
1
1 1
1 2
1 exp
, ,
,
3 2
1 2
2 1
1 2
1
σ σ
σ σ
σ σ
µ σ
σ σ
σ σ
σ µ
×
+
+ −
− ×
∝
∑
+ −
− −
m v
m v
y bn
L
i v
v v
. Log dari fungsi kemungkinan ini menjadi:
2 123
2 12
2 1
2 1
1 1
2 12
2 2
2 123
2 ..
2 123
3 2
12 2
2 1
1 2
123 2
12 2
1
log log
log 2
1 log
2 1
log 2
1 log
2 1
, ,
, log
σ σ
σ σ
σ σ
µ σ
σ σ
σ σ
σ µ
− −
−
+
+ −
− −
− −
=
∑
m v
m v
y bn
v v
v L
i
. Turunan pertama terhadap
µ ,
2 1
σ ,
2 12
σ , dan
2 123
σ adalah sebagai berikut:
a
2 123
..
log σ
µ µ
∑
− =
∂ ∂
i
y bn
L
b
2 1
4 1
1 1
2 1
1 2
1
1 2
2 log
σ σ
σ σ
− +
− =
∂ ∂
m v
v L
c
2 12
4 12
2 2
2 12
2 2
12
1 2
2 log
σ σ
σ σ
− +
− =
∂ ∂
m v
v L
d
2 123
4 123
2 ..
2 123
3 2
123
1 2
2 1
log σ
σ µ
σ σ
− −
+ +
− =
∂ ∂
∑
i
y bn
v L
. Evaluasi keempat persamaan ini terhadap 0 menghasilkan
a
2 123
..
= −
∑
σ µ
i
y bn
...
ˆ y
= µ
b 1
2 2
2 1
4 1
1 1
2 1
1
= −
+ −
σ σ
σ m
v v
2 1
2 ˆ
2 2
2
1 1
1 2
1 1
2 1
1 2
1 2
1 1
1 1
2 1
+ −
= +
= =
+ =
− +
−
n ab
JKG v
m v
m v
v m
v v
σ σ
σ σ
σ
c 1
2 2
2 12
4 12
2 2
2 12
2
= −
+ −
σ σ
σ m
v v
2 2
2 2
2 2
2 2
12 2
2 2
12 2
12 2
2 12
2 2
2 12
2
+ =
= +
= −
+ −
v m
v m
v v
m v
v
σ σ
σ σ
σ
− +
= +
= +
n v
JKB v
m v
n 1
ˆ 2
ˆ 2
ˆ ˆ
2 2
2 2
2 2
2 2
σ σ
σ σ
β β
d 1
2 2
1
2 123
4 123
2 ..
2 123
3
= −
− +
+ −
∑
σ σ
µ σ
i
y bn
v
