Pendekatan Bayes PENDEKATAN BAYES PADA MODEL ACAK
Pende katan Bayes untuk Model Acak Satu Faktor a. Kasus
noninformative prior untuk
µ
,
2 α
σ
, dan
2
σ Dengan mengacu pada fungsi kemungkinan 4.5, maka log fungsi posterior untuk
model acak satu faktor yang dimaksud di sini persamaan 4.1 adalah sebagai berikut:
∑ ∑
− −
− −
− −
− ∝
i i
i i
i i
y n
JKE a
N N
y λ
µ σ
λ σ
π θ
π 2
2 log
2 1
log 2
1 2
log 2
| log
2 .
2 2
2 2
1 log
1 log
σ σ
α
+ +
. dengan
2 2
α
σ σ
λ
i i
n +
= .
Penurunan fungsi ini terhadap µ
menghasilkan
∑
− =
∂ ∂
i i
i i
y n
λ µ
µ π
log
.
. Selanjutnya, dengan mengevaluasi fungsi ini terhadap 0 diperoleh
2 2
.
= +
−
∑
i i
i i
n y
n
α
σ σ
µ
∑ ∑
+ +
=
i i
i i
i i
i
n n
n y
n
2 2
2 2
.
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
α α
σ σ
σ σ
µ .
Untuk kasus jumlah ulangan sama , penduga
µ ˆ
akan diperoleh sama seperti penduga kuadrat terkecil dan penduga kemungkinan maksimum, yaitu
..
ˆ y
= µ
. Sedangkan ragam dari
µ ˆ dapat diperoleh dengan cara yang sama dengan penduga
kemungkinan maksimum seperti yang telah dibahas pada Bab 4, sehingga diperoleh
1 2
2
ˆ ˆ
ˆ
−
+ =
∑
i i
i
n n
ragam
α
σ σ
µ .
Untuk kasus jumlah ulangan sama akan diperoleh ˆ
µ ragam
sama seperti penduga kemungkinan maksimum, yaitu
an n
ragam
2 2
ˆ ˆ
ˆ
α
σ σ
µ +
= .
Penduga bagi komponen ragam
2 α
σ dan
2
σ tidak dapat diperoleh dalam bentuk
closed form , oleh karena itu akan diturunkan dalam bentuk proses pendugaan
menggunakan algoritma iteratif. Selanjutnya, penurunan penduga bagi
2
σ dan
2 α
σ sama dengan
2 b
σ pada fungsi berikut dapat diperoleh dari fungsi tujuan atau profil
posterior sebagai berikut:
b R
b q
q e
A e
N Q
b b
1 2
2 1
2 2
log 2
log 2
2 1
log 2
− −
′ −
− ′
− −
∝ σ
σ σ
σ
2 2
1 2
1 2
1 log
1 log
| |
log 2
1 σ
σ σ
σ +
+ +
′ −
− −
− −
b b
R Z
A Z
. Penurunan fungsi ini terhadap
2 b
σ dan
2
σ
menghasilkan:
2 1
1 1
2 1
2 4
4 2
2
1 }
{ 2
1 2
1 2
σ σ
σ σ
σ σ
σ −
′ +
′ +
′ +
− =
∂ ∂
− −
− −
− −
Z A
Z R
Z A
Z teras
Ae e
N Q
b 2
1 1
1 2
1 2
4 1
4 2
2
1 }
{ 2
1 2
1 2
b b
b b
b b
R R
Z A
Z teras
b R
b q
Q σ
σ σ
σ σ
σ σ
− +
′ +
′ +
− =
∂ ∂
− −
− −
− −
−
.
Dengan mengevaluasi pada nilai 0, diperoleh
1 }
{ 2
1 2
1 2
2 1
1 1
2 1
2 4
4 2
= −
′ +
′ +
′ +
−
− −
− −
− −
σ σ
σ σ
σ σ
Z A
Z R
Z A
Z teras
Ae e
N
b
} {
2 1
2 1
1 2
1 1
1 2
1 2
4 4
2 2
Z A
Z R
Z A
Z teras
Ae e
N
b −
− −
− −
−
′ +
′ +
′ =
+ σ
σ σ
σ σ
σ }
{ 2
1 2
1 2
1 1
1 2
1 2
2 2
Z A
Z R
Z A
Z teras
Ae e
N
b −
− −
− −
−
′ +
′ +
′ =
+ σ
σ σ
σ
} {
2 1
1 1
1 2
1 2
2
Z A
Z R
Z A
Z teras
Ae e
N
b −
− −
− −
−
′ +
′ +
′
+
= σ
σ σ
} {
2 1
2 1
2 }
{ 2
1 2
1 1
2 1
} {
2 1
2 1
2
1 1
1 2
1 2
1 2
2 1
1 1
2 1
2 4
1 4
2 2
2 1
1 1
2 1
2 4
1 4
2
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
− −
−
+ ′
+ ′
= +
+ ′
+ ′
= +
= −
+ ′
+ ′
+ −
R R
Z A
Z teras
b R
b q
R R
Z A
Z teras
b R
b q
R R
Z A
Z teras
b R
b q
b b
b b
b b
b b
b b
b b
b
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
} {
2 1
1 1
1 2
1 2
1 2
− −
− −
− −
−
+ ′
+ ′
+ =
R R
Z A
Z teras
b R
b q
b b
σ σ
σ .
Dengan demikian, algoritma untuk menduga
µ
, b , dan komponen ragam
2
σ dan
2 α
σ adalah sebagai berikut:
6. Tentukan nilai awal
2
σ ,
2 b
σ ,
µ dan b
Nilai awal bagi
2
σ
dan
2 b
σ dapat diambil dari penduga kuadrat terkecil,
sedangkan nilai awal untuk b dapat diambil = 0
7. Hitung:
∑ ∑
+ +
=
i i
i i
i i
i
n n
n y
n
2 2
2 2
.
α α
σ σ
σ σ
µ
.
Hitung vektor data terkoreksi Zb
y y
c
− −
= µ
1 dan hitung nilai b melalui persamaan
c
y Z
D Z
Z b
1 1
1 1
− −
− −
∑ ′
+ ∑
′ =
8. Hitung: Zb
y e
− −
= µ
1 9. Hitung nilai komponen ragam baru menggunakan:
} {
2 1
1 1
1 2
1 2
2
Z A
Z R
Z A
Z teras
Ae e
N
b −
− −
− −
−
′ +
′ +
′
+
= σ
σ σ
} {
2 1
1 1
1 2
1 2
1 2
− −
− −
− −
−
+ ′
+ ′
+ =
R R
Z A
Z teras
b R
b q
b b
σ σ
σ Dimana nilai
2
σ dan
2 b
σ sebelah kanan mengambil nilai pada iterasi
sebelumnya. 10. Ulangi 2-5 sampai konvergen.