Pendugaan dengan Metode Kuadrat Terkecil Model Acak Satu Faktor

Ada beberapa alternatif tindakan untuk menghindari nilai dugaan yang negatif, yaitu: 1 Periksa apakah ada data yang aneh atau perhitungan yang salah, 2 Mengumpulkan data yang lebih banyak dengan harapan hasilnya dapat menjadi positif, dan 3 Menggunakan metode-metode alternatif yang dapat menghilangkan kemungkinan hasil yang negatif, seperti: metode kemungkinan maksimum MKM, metode kemungkinan maksimum terkendala REML, dan penduga Bayes Searle et al., 1992 ; atau menggunakan pendekatan yang ditawarkan oleh Khattree 1999. Ragam dan peragam bagi penduga komponen ragam 2 ˆ σ dan 2 ˆ α σ adalah sebagai berikut: 1 2 ˆ 4 2 − = = n a KTG ragam ragam σ σ       − + − + =       − = 1 1 2 ˆ 4 2 2 2 2 2 n a a n n n KTG KTA ragam ragam σ σ σ σ α α 1 2 ] , [ ˆ , ˆ 4 2 2 − − = − = − = n an n KTG ragam n KTG KTG KTA peragam peragam σ σ σ α . Sedangkan penduga tak bias bagi penduga ragam dan peragam bagi 2 ˆ σ dan 2 ˆ α σ adalah sebagai berikut Searle et al., 1992: 2 1 ˆ 2 ˆ ˆ 4 2 + − = n a am g ra σ σ       + − + − + = 2 1 ˆ 1 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 4 2 2 2 2 2 n a a n n am g ra σ σ σ σ α α 2 1 ˆ 2 ˆ , ˆ ˆ 4 2 2 + − − == n an gam a per σ σ σ α . Untuk kasus jumlah ulangan tidak sama, tabel analisis ragamnya dapat diperoleh melalui penguraian jumlah kuadrat berikut: ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ = = = = = = = = − + − = − + − = − a i n j a i n j i ij i a i n j i ij i a i n j ij i i i i y y y y y y y y y y 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 . .. . .] .. . [ .. atau dapat ditulis sebagai berikut:     − +       − = − ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ = = = = a i n j a i i i ij a i i i a i n j ij i i n y y N y n y N y y 1 1 1 2 . 2 1 2 .. 2 . 2 .. 2 , dengan ∑ = = a i i n N 1 . 1 .. i i i i n j ij i i n n y i ε α µ ε α µ + + = + + = ∑ = i i i i i i i n n n n y 2 . 2 2 2 . ε α µ + + = 2 2 2 2 . σ σ µ α + + =       i i i i n n n y E 2 2 2 1 2 . σ σ µ α a N N n y E a i i i + + =       ∑ = . Selanjutnya ∑∑ ∑ ∑∑ = = = = = + + = + + = = a i n j a i i i ij i a i n j ij i i n N y y 1 1 1 1 1 .. .. ε α µ ε α µ Dengan asumsi yang sama diperoleh: 2 1 2 2 2 2 .. σ σ µ α + + =       ∑ = a i i N n N N y E       −       = ∑ = N y E n y E JKA E a i i i 2 .. 1 2 . 2 2 1 2 1 σ σ α − +       − = ∑ = a N n N a i i 2 2 1 2 1 σ σ α + −       − = ∑ = a N n N KTA E a i i ∑∑ ∑ − = a i n j a i i i ij i n y y JKG 2 . 2 2 2 2 2 2 ij i ij i ij i ij y ε α µε µα ε α µ + + + + + = 2 2 2 2 σ σ µ α + + = ij y E 2 2 2 2 σ σ µ α N N N y E a i n j ij i + + = ∑∑ . Sehingga 2 2 2 2 2 2 σ σ µ σ σ µ α α a N N N N N JKG E + + − + + = 2 σ a N − = 2 2 σ σ = − − = a N a N KTG E . Secara ringkas hasil analisis ragam dan nilai harapan kuadrat tengah untuk kasus jumlah ulangan tidak sama disajikan pada Tabel 9. Tabel 9 Analisis ragam untuk model acak satu faktor dengan ulangan tidak sama Sumber db JK KT EKT Á a-1 ∑ = − a i i i n y n y 1 2 ... . 2 .. .. 1 − a JKA 2 1 2 2 1 α σ σ −     − + ∑ = a N n N a i i Galat N-ab ∑ ∑∑ = − a i i i a i n j ij n y y i 1 2 . 2 a N JKG − 2 σ Total N -1 N y y a i n j ij i 2 .. 2 − ∑∑ Catatan: N = ∑ i i n Dari tabel analisis ragam Tabel 9 di atas dapat diperoleh penduga bagi ragam 2 σ dan 2 α σ sebagai berikut: KTG ˆ 2 = σ 1 ˆ 1 2 2 −     − − = ∑ = a N n N KTG KTA a i i α σ . Sedangkan ragam dan peragam bagi penduga komponen ragam 2 ˆ σ dan 2 ˆ α σ untuk ulangan yang tidak sama adalah sebagai berikut Searle et al., 1992: a N KTG ragam ragam − = = 4 2 2 ˆ σ σ         − − + + + − − − − × − =         − − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 ˆ α α α σ σ σ σ σ i i i i i i i i i i i i i i n N N n N n n N n N a N a N N n N N a N n N KTG KTA ragam ragam 1 2 1 ] , [ ˆ , ˆ 2 4 2 2 2 − − − − = − − − = ∑ ∑ a N n N a N a N n N KTG KTG KTA peragam peragam i i i i σ σ σ α . Ketakseimbangan jumlah ulangan ternyata tidak berpengaruh terhadap ragam bagi 2 ˆ σ , tetapi berpengaruh terhadap ragam dari 2 ˆ α σ dan peragam 2 ˆ α σ , 2 ˆ σ . Nilai peragam 2 ˆ α σ , 2 ˆ σ akan semakin membesar jika derajat ketakseimbangan semakin tinggi. Pada model acak dengan jumlah ulangan tidak sama, untuk kasus 2 ˆ α σ 0, statistik uji F ternyata tidak dapat ditentukan karena KTA tidak menyebar 2 χ Searle et al., 1992. Model Acak Tersarang Dua Faktor Model acak tersarang dua faktor yang dituliskan pada persamaan 4.2 mengasumsikan bahwa i α , i j β , dan ijk ε merupakan peubah acak yang mengikuti pola sebaran normal dan saling bebas, dengan nilai tengah nol dan ragam masing-masing 2 α σ , 2 β σ , dan 2 σ . Untuk kasus i=1, 2, …, a; j=1, 2, …, b; dan k=1, 2, …, n, maka penguraian jumlah kuadratnya adalah sebagai berikut: ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = − + − + − = − − + − − + − − + − + − + − = − + − + − = − a i b j n k a i b j n k a i b j n k ij ijk i ij i a i b j n k ij ijk i ij a i b j n k a i b j n k ij ijk i i ij i a i b j n k a i b j n k a i b j n k ij ijk i ij i a i b j n k ij ijk i ij i a i b j n k ijk y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 . .. . ... .. .} .. . . ... .. .. . ... .. { 2 . .. . ... .. .] .. . ... .. [ ... JKTotal = JKá + JKâ + JKGalat. Persamaan tersebut di atas sering juga ditulis sebagai berikut:         − +         − +     − = − ∑∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑∑ = = = = = = a i b j ij a i b j n k ijk a i b j a i i ij a i i a i b j n k ijk n y y bn y n y abn y bn y abn y y 1 1 2 . 2 1 1 1 2 .. 2 . 1 2 ... 2 .. 2 ... 2 Tabel 10 Tabel analisis ragam dan EKT -nya untuk model acak tersarang dua faktor untuk kasus level β dan jumlah ulangan sama Sumber db JK KT EKT á a-1 ∑ = − a i i abn y bn y 1 2 ... 2 .. 1 − a JK α 2 2 2 α β σ σ σ bn n + + â ab-1 ∑∑ ∑ = = = − a i b j a i i ij bn y n y 1 1 1 2 .. 2 . 1 − b a JK β 2 2 β σ σ n + Galat abn-1 ∑∑ ∑∑∑ = = − a i b j ij a i b j c k ijk n y y 1 1 2 . 2 1 − n ab G JK 2 σ Total abn-1 abn y y a i b j c k ijk 2 ... 2 − ∑∑∑ Dari tabel analisis ragam di atas dapat diperoleh penduga bagi ragam 2 σ , 2 β σ , dan 2 α σ sebagai berikut: KTG ˆ 2 = σ n KTG - KT ˆ 2 β σ β = bn KT - KT ˆ 2 β α σ α = . Jumlah taraf faktor β tidak harus sama untuk setiap i α , demikian juga jumlah ulangan untuk setiap i j β tidak harus selalu sama. Berikut ini akan diturunkan tabel analisis ragam untuk kasus ukuran β tidak sama, ulangan tidak sama, dan kasus baik ukuran β maupun ulangan tidak sama. Beberapa hasil penurunan tabel analisis ragam sama dengan yang diberikan oleh Searle et al. , 1992. Kasus ukuran â tidak sama Misalkan i=1, 2, …, a; j=1, 2, …, b i ; dan k=1, 2, …, n ∑∑∑ ∑∑ ∑ = = = = = = − + − + − = − a i b j n k ij ijk i ij i a i b j n k ijk i i y y y y y y y y 1 1 1 2 1 1 1 2 .] .. . .. .. [ ... ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = − + − + − = a i b j n k a i b j n k a i b j n k ij ijk i ij i i i i y y y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 . .. . .. .. . Atau dapat ditulis sebagai berikut:         − +         − +     − = − ∑∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑∑ = = = = = = a i b j ij a i b j n k ijk a i b j a i i i ij a i i i i a i b j n k ijk i i i i n y y nb y n y nb y nb y nb y y 1 1 2 . 2 1 1 1 2 .. 2 . 1 2 ... 2 .. 2 ... 2 . dimana ∑ = = a i i b b 1 . Perhitungan EKT .. 1 1 1 1 1 .. i b j n k b j ij i i i ijk ij i b j n k ijk i i i i n nb nb y y ε β α µ ε β α µ + + + = + + + = = ∑∑ ∑ ∑∑ = = = = = ∑∑ ∑ = ′ ≠ ′ = + + + + = i i i b j j i b j j ij i i i b j ij i i i i i i nb n nb nb n nb nb nb y 1 2 2 .. 1 2 2 2 2 .. β β ε β α µ } { 2 1 .. .. 1 .. 1 ∑ ∑ ∑ = = = + + + + + + i i i b j ij i i i b j ij i i b j ij i i n n n nb β ε ε α β α µε β µ µα . Sesuai dengan asumsi model di atas: = i E α ; = ij E β ; = ijk E ε ; = ij i E β α ; = ′ j i ij E β β untuk j j ′ ; = ijk ij E ε β . Dengan penggantian: 2 2 α σ α = i E , 2 2 β σ β = ij E , 2 2 σ ε = ijk E maka diperoleh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .. 1 σ σ σ µ σ σ σ µ β α β α + + + = + + + =       n nb nb nb nb b nb n nb nb nb y E i i i i i i i i i i 2 2 2 2 1 2 .. . . σ σ σ µ β α a an nb nb nb y E a i i i + + + =       ∑ = . Selanjutnya ∑∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = + + + = + + + = = a i b j ij a i b j n k a i i i ijk ij i a i b j n k ijk i i i n b n nb y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... . ... ε β α µ ε β α µ 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ... . . . . . . . σ σ σ µ β α nb nb nb b n nb b n nb nb y E a i i + + + =       ∑ = 2 2 1 2 2 2 . . σ σ σ µ β α + + + = ∑ = n b b n nb a i i . Sehingga       −       = ∑ = . 2 ... 1 2 .. nb y E nb y E JK E a i i i α 2 2 2 1 2 1 . . σ σ σ β α − + − +       − = ∑ = a n an b b n nb a i i 2 2 2 1 2 1 . . σ σ σ α β α + + −       − = ∑ = n a b b n nb KT E a i i ∑∑ ∑ = = = − = a i b j a i i i ij i nb y n y JK 1 1 1 2 .. 2 . β . 1 1 . ij ij i n k ijk ij i n k ijk ij n n n y y ε β α µ ε β α µ + + + = + + + = = ∑ ∑ = = 2 . . . 2 . 2 2 2 2 . ij ij ij i ij i ij ij i ij ij i ij n n n n n n n n y ε β ε α β α µε µβ µα ε β α µ + + + + + + + + + = . Dengan asumsi yang sama diperoleh: 2 2 2 2 2 . σ σ σ µ β α + + + =         n n n n y E ij 2 2 2 2 1 1 2 . . . . . σ σ σ µ β α b nb nb nb n y E a i b j ij i + + + =         ∑∑ = = . Sehingga ∑∑ ∑ = = =     −         = a i b j a i i i ij i nb y E n y E JK E 1 1 1 2 .. 2 . β 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . . . σ σ σ σ σ µ σ σ σ µ β β α β α a b a b n a an nb nb b nb nb nb − + − = + + + − + + + = 2 2 2 2 . . . . σ σ σ σ β β β + = − − + − − = n a b a b a b a b n KT E ∑∑∑ ∑∑ − = a i b j n k a i b j ij ijk i i n y y Galat JK 2 . 2 2 2 2 2 2 2 ijk ij ijk i ij i ijk ij i ijk ij i ijk y ε β ε α β α µε µβ µα ε β α µ + + + + + + + + + = 2 2 2 2 2 σ σ σ µ β α + + + = ijk y E 2 2 2 2 2 . . . . σ σ σ µ β α nb nb nb nb y E a i b j n k ijk i + + + = ∑∑∑ . Dengan demikian . . . . . . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 σ σ σ µ σ σ σ µ β α β α b nb nb nb nb nb nb nb Galat JK E + + + − + + + = 2 1 . σ − = n b 2 2 1 . 1 . σ σ = − − = n b n b Galat KT E . Tabel 11 Tabel analisis ragam dan EKT-nya untuk model acak tersarang dua faktor untuk kasus ukuran β tidak sama Sumber db JK KT EKT á a-1 ∑ = − a i i i nb y nb y 1 2 ... 2 .. . 1 − a JK α 2 1 2 2 2 1 . . α β σ σ σ             − − + + ∑ = a b b n nb n a i i â b.-a ∑∑ ∑ = = = − a i b j a i i i ij i nb y n y 1 1 1 2 .. 2 . a b JK − . β 2 2 β σ σ n + Galat b.n-1 ∑∑ ∑∑∑ = = − a i b j ij a i b j c k ijk n y y 1 1 2 . 2 1 . − n b G JK 2 σ Total nb.-1 . 2 ... 2 nb y y a i b j c k ijk i − ∑∑∑ Kasus jumlah ulangan tidak sama Misalkan i=1, 2, …, a; j=1, 2, …, b ; dan k=1, 2, …, n ij ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = = = = = = = = − + − + − = − + − + − = − a i b j n k a i b j n k a i b j n k ij ijk i ij i a i b j n k ij ijk i ij i a i b j n k ijk ij ij ij ij ij y y y y y y y y y y y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 . .. . .. .. .] .. . .. .. [ ... atau dapat ditulis sebagai berikut:         − +         − +       − = − ∑∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑∑ = = = = = = a i b j ij ij a i b j n k ijk a i b j a i i i ij ij a i i i a i b j n k ijk n y y n y n y n y n y n y y ij ij 1 1 2 . 2 1 1 1 . 2 .. 2 . 1 2 ... . 2 .. 2 ... 2 .. .. ∑ ∑∑ = = = + + + = + + + = b j i ij ij i i i b j n k ijk ij i i n n n y ij 1 .. . . 1 1 .. ε β α µ ε β α µ             + + + + + + + + + + = ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ = = = = ≠ ′ ′ ′ = . 1 .. .. 1 1 .. . 1 . 1 . 2 .. . 2 2 2 . 2 . . 2 .. 2 i b j i ij ij i i b j ij ij b j i i ij ij i i b j b j j i j i ij j i ij b j i i i ij ij i i i i i n n n n n n n n n n n n n n y ε β ε α β α µε β µ µα β β ε β α µ Dimana ∑ = = b j ij i n n 1 . dan ∑∑ = = = a i b j ij n n 1 1 .. . Sesuai dengan asumsi model di atas diperoleh: 2 1 2 . 2 2 . 2 . . 2 .. σ σ σ µ β α + + + =       ∑ = b j i ij i i i i n n n n n y E 2 1 1 2 . 2 2 .. 2 .. 1 . 2 .. σ σ σ µ β α a n n n n n y E a i b j i ij a i i i + + + =       ∑∑ ∑ = = = . Selanjutnya ∑∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = + + + = + + + = = a i b j ij ij a i b j n k a i i i ijk ij i a i b j n k ijk n n n y y ij ij 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 ... .. ... ε β α µ ε β α µ Dengan asumsi yang sama diperoleh: 2 1 1 2 .. 2 1 2 .. 2 . 2 .. .. 2 ... σ σ σ µ β α + + + =     ∑∑ ∑ = = = a i b j ij a i i n n n n n n y E . Sehingga       −       = ∑ = .. 2 ... 1 . 2 .. n y E n y E JK E a i i i α 2 2 1 1 1 1 .. 2 . 2 2 1 .. 2 . .. 1 σ σ σ β α − +         − +       − = ∑∑ ∑∑ ∑ = = = = = a n n n n n n n a i b j a i b j ij i ij a i i 2 2 1 1 1 1 .. 2 . 2 2 1 .. 2 . .. 1 1 σ σ σ α β α + −         − + −       − = ∑∑ ∑∑ ∑ = = = = = a n n n n a n n n KT E a i b j a i b j ij i ij a i i . 1 1 . ij ij ij i ij ij n k ijk ij i n k ijk ij n n n y y ij ij ε β α µ ε β α µ + + + = + + + = = ∑ ∑ = = 2 . . . 2 . 2 2 2 2 . ij ij ij i ij i ij ij ij ij i ij ij ij ij ij i ij ij ij ij n n n n n n n n y ε β ε α β α µε µβ µα ε β α µ + + + + + + + + + = . Dengan asumsi yang sama diperoleh: 2 2 2 2 2 . σ σ σ µ β α + + + =         ij ij ij ij ij n n n n y E 2 2 2 2 1 1 2 . .. .. .. σ σ σ µ β α ab n n n n y E a i b j ij ij + + + =         ∑∑ = = . Sehingga ∑∑ ∑ = = =     −         = a i b j a i i i ij ij n y E n y E JK E 1 1 1 . 2 .. 2 . β 2 2 1 1 . 2 .. σ σ β a ab n n n a i b j i ij − +         − = ∑∑ = = 2 2 1 1 . 2 .. σ σ β β + −         − = ∑∑ = = a ab n n n KT E a i b j i ij ∑∑∑ ∑∑ − = a i b j n k a i b j ij ij ijk ij n y y Galat JK 2 . 2 2 2 2 2 2 2 ijk ij ijk i ij i ijk ij i ijk ij i ijk y ε β ε α β α µε µβ µα ε β α µ + + + + + + + + + = 2 2 2 2 2 σ σ σ µ β α + + + = ijk y E 2 2 2 2 2 .. .. .. .. σ σ σ µ β α n n n n y E a i b j n k ijk ij + + + = ∑∑∑ . Dengan demikian .. .. .. .. .. .. .. 2 2 2 2 2 2 2 2 σ σ σ µ σ σ σ µ β α β α ab n n n n n n n Galat JK E + + + − + + + = 2 .. σ ab n − = 2 2 .. .. σ σ = − − = ab n ab n Galat KT E . Tabel 12 Tabel analisis ragam dan EKT-nya untuk model acak tersarang dua faktor untuk kasus jumlah ulangan tidak sama Sumber db JK KT EKT á a-1 ∑ = − a i i i n y n y 1 2 ... . 2 .. .. 1 − a JK α 2 2 2 3 1 2 1 .. 1 α β σ σ σ − − + − − + a a n a a a â ab-a ∑∑ ∑ = = = − a i b j a i i i ij ij n y n y 1 1 1 . 2 .. 2 . a ab JK − β 2 1 2 .. β σ σ a ab a n − − + Galat n..-ab ∑∑ ∑∑∑ = = − a i b j ij ij a i b j n k ijk n y y ij 1 1 2 . 2 ab n G JK − .. 2 σ Total n..-1 .. 2 ... 2 n y y a i b j n k ijk ij − ∑∑∑ Dimana: ∑∑ = = = a i b j i ij n n a 1 1 . 2 1 ; ∑ = = a i i n n a 1 2 . 2 .. ; ∑∑ = = = a i b j ij n n a 1 1 .. 2 3 Kasus ukuran â dan jumlah ulang an tidak sama Misalkan i=1, 2, …, a; j=1, 2, …, b i ; dan k=1, 2, …, n ij ∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑ = = = = = = = = = = = = = = = − + − + − = − + − + − = − a i b j n k a i b j n k a i b j n k ij ijk i ij i a i b j n k ij ijk i ij i a i b j n k ijk i ij i ij i ij i ij i ij y y y y y y y y y y y y y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 . .. . .. .. .] .. . .. .. [ ... Atau dapat ditulis sebagai berikut:         − +         − +     − = − ∑∑ ∑∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑∑ = = = = = = a i b j ij ij a i b j n k ijk a i b j a i i i ij ij a i i i a i b j n k ijk i i ij i i ij n y y n y n y n y n y n y y 1 1 2 . 2 1 1 1 . 2 .. 2 . 1 .. 2 ... . 2 .. 2 ... 2 .. ∑ ∑∑ = = = + + + = + + + = i i ij b j i ij ij i i i b j n k ijk ij i i n n n y 1 .. . . 1 1 .. ε β α µ ε β α µ             + + + + + + + + + + = ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ = = = = ≠ ′ ′ ′ = . 1 .. .. 1 1 .. . 1 . 1 . 2 .. . 2 2 2 . 2 . . 2 .. 2 i b j i ij ij i i b j ij ij b j i i ij ij i i b j b j j i j i ij j i ij b j i i i ij ij i i i i i n n n n n n n n n n n n n n y i i i i i i ε β ε α β α µε β µ µα β β ε β α µ Sesuai dengan asumsi model di atas diperoleh: 2 1 2 . 2 2 . 2 . . 2 .. σ σ σ µ β α + + + =       ∑ = i b j i ij i i i i n n n n n y E 2 1 1 2 . 2 2 .. 2 .. 1 . 2 .. σ σ σ µ β α a n n n n n y E a i b j i ij a i i i i + + + =       ∑∑ ∑ = = = . Selanjutnya ∑∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑ = = = = = = = = = + + + = + + + = = a i b j ij ij a i b j n k a i i i ijk ij i a i b j n k ijk i ij ij n n n y y 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 ... .. ... ε β α µ ε β α µ Dengan asumsi yang sama diperoleh 2 1 1 2 .. 2 1 2 .. . 2 .. .. 2 ... σ σ σ µ β α + + + =       ∑∑ ∑ = = = a i b j ij a i i i n n n n n n y E . Sehingga       −       = ∑ = .. 2 ... 1 . 2 .. n y E n y E JK E a i i i α 2 2 1 1 1 1 .. 2 . 2 2 1 .. 2 . .. 1 σ σ σ β α − +         − +     − = ∑∑ ∑∑ ∑ = = = = = a n n n n n n n a i b j a i b j ij i ij a i i i i 2 2 1 1 1 1 .. 2 . 2 2 1 .. 2 . .. 1 1 σ σ σ α β α + −         − + −     − = ∑∑ ∑∑ ∑ = = = = = a n n n n a n n n KT E a i b j a i b j ij i ij a i i i i . 1 1 . ij ij ij i ij ij n k ijk ij i n k ijk ij n n n y y ij ij ε β α µ ε β α µ + + + = + + + = = ∑ ∑ = = 2 . . . 2 . 2 2 2 2 . ij ij ij i ij i ij ij ij ij i ij ij ij ij ij i ij ij ij ij n n n n n n n n y ε β ε α β α µε µβ µα ε β α µ + + + + + + + + + = . Dengan asumsi yang sama diperoleh: 2 2 2 2 2 . σ σ σ µ β α + + + =         ij ij ij ij ij n n n n y E 2 2 2 2 1 1 2 . . .. .. .. σ σ σ µ β α b n n n n y E a i b j ij ij i + + + =         ∑∑ = = . Sehingga ∑∑ ∑ = = =     −         = a i b j a i i i ij ij i n y E n y E JK E 1 1 1 . 2 .. 2 . β 2 2 1 1 . 2 . .. σ σ β a b n n n a i b j i ij i − +         − = ∑∑ = = 2 2 1 1 . 2 . .. σ σ β β + −         − = ∑∑ = = a b n n n KT E a i b j i ij i ∑∑∑ ∑∑ − = a i b j n k a i b j ij ij ijk i ij i n y y Galat JK 2 . 2 2 2 2 2 2 2 ijk ij ijk i ij i ijk ij i ijk ij i ijk y ε β ε α β α µε µβ µα ε β α µ + + + + + + + + + = 2 2 2 2 2 σ σ σ µ β α + + + = ijk y E 2 2 2 2 2 .. .. .. .. σ σ σ µ β α n n n n y E a i b j n k ijk i ij + + + = ∑∑∑ . Dengan demikian . .. .. .. .. .. .. .. 2 2 2 2 2 2 2 2 σ σ σ µ σ σ σ µ β α β α b n n n n n n n Galat JK E + + + − + + + = 2 . .. σ b n − = 2 2 . .. . .. σ σ = − − = b n b n Galat KT E . Tabel 13 Tabel analisis ragam dan EKT-nya untuk model acak tersarang dua faktor untuk kasus jumlah level β dan jumlah ulangan tidak sama Sumber db JK KT EKT á a-1 ∑ = − a i i i n y n y 1 2 ... . 2 .. .. 1 − a JK α 2 2 2 3 1 2 1 .. 1 α β σ σ σ − − + − − + a a n a a a â b.-a ∑∑ ∑ = = = − a i b j a i i i ij ij i n y n y 1 1 1 . 2 .. 2 . a b JK − . β 2 1 2 .. β σ σ a ab a n − − + Galat n..- b. ∑∑ ∑∑∑ = = − a i b j ij ij a i b j n k ijk i i ij n y y 1 1 2 . 2 . .. b n G JK − 2 σ Total n..-1 .. 2 ... 2 n y y a i b j n k ijk i ij − ∑∑∑ Dimana: ∑∑ = = = a i b j i ij i n n a 1 1 . 2 1 ; ∑ = = a i i n n a 1 2 . 2 .. ; ∑∑ = = = a i b j ij i n n a 1 1 .. 2 3

4.3. Pendugaan dengan Metode Kemungkinan maksimum Model Acak Satu Faktor

Penduga kemungkinan maksimum bagi parameter , , 2 2 α σ σ µ θ = model 4.1 dapat diperoleh dari fungsi kemungkinannya sebagai berikut: 2 1 2 1 | | 2 ] 1 1 exp[ 1 2 1 V y V y L N π µ µ θ − − − = − Dimana ∏ = − + = a i i n n V i 1 2 2 1 2 | | α σ σ σ dan i i n i n J n I V 2 2 2 2 2 1 α α σ σ σ σ σ + − = − Searle et al., 1992. Dengan demikian fungsi kemungkinan di atas dapat dituliskan menjadi: ∏ ∑∑ ∑ = − +               − + − − − = a i i a N N i j i i i i ij n n y n y L 1 2 2 ] [ 2 2 . 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 exp α α α σ σ σ π µ σ σ σ µ σ θ . Sehingga log dari fungsi kemungkinannya menjadi: ∑ + − − − − = i i n a N N L log 2 1 log 2 1 2 log 2 log 2 2 2 α σ σ σ π 2 . 2 2 2 2 2 2 2 1 2 µ σ σ σ σ σ µ α α i i i i i j ij n y n y − + + − − ∑ ∑∑ ……………. 4.3 Kasus jumlah ulangan sama Untuk kasus ulangan sama berarti n n i = untuk setiap i, dengan demikian log fungsi kemungkinan 4.3 menjadi: 2 2 log 2 1 log 1 2 1 2 log 2 log 2 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 α α α σ σ σ µ σ σ µ σ σ σ π n y n y n a n a N L i i i j ij + − + − − + − − − − = ∑ ∑∑ ………….…… 4.4 Dua suku terakhir dari persamaan 4.4 di atas jika diekspresikan dalam bentuk JKA dan JKG menjadi sebagai berikut:         − + −       + − + − =         − + −       + − + − =       − + − − + − −       − + − + − + − − =       − + − − − + − + − − =       − + − − + − − = + − + − − ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ i i i i i j i i i i i ij i j i i i j i i ij i j i i i i ij i i ij i j i i i i ij i i i j ij y y y n n n JKG y y y n n n JKG y n n n y n y y y n n y y y y n n y y y y y y y n n y y y n y n y } { 1 2 1 1 2 1 { 2 1 { 2 1 } 2 { 2 1 2 1 2 2 2 .. 2 .. . 2 2 2 2 2 .. .. . 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 . 2 . 2 2 . 2 2 2 2 2 . 2 . 2 2 . 2 2 2 2 . . 2 . 2 . 2 2 . 2 2 2 2 2 . . 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 µ σ σ σ σ µ σ σ σ σ µ σ σ σ µ σ µ σ σ σ µ σ µ σ σ σ µ µ σ µ σ σ σ µ σ σ σ σ µ σ σ µ α α α α α α α α α α α α α α       − + + + − = ] [ 2 1 2 .. 2 2 2 2 µ σ σ σ σ α y an JKA n JKG . Karena penduga kemungkinan maksimum dari suatu fungsi parameter sama dengan fungsi dari penduga kemungkinan maksimum dari parameter, kita dapat menyederhanakan notasi dengan menuliskan: 2 2 α σ σ λ n + = Sehingga persamaan 4.4 menjadi: λ µ λ σ λ σ π 2 2 2 log 2 1 log 1 2 1 2 log 2 log 2 .. 2 2 − − − − − − − − = y an JKA JKG a n a N L . Dengan menurunkan secara parsial terhadap µ , 2 σ dan λ diperoleh: λ µ µ log .. − = ∂ ∂ y an L 4 2 2 2 2 1 log σ σ σ JKG n a L + − − = ∂ ∂