� � = det − �� .
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan � � = det − ��
tersebut disebut sebagai persamaan karakteristik dari matriks .
Contoh 2.4.3
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks =
1 1
4 1
Penyelesaian: Polinomial karakteristik dari matriks adalah
det − �� = det
1 1
4 1 −
� 0 �
= det 1
− � 1
4 1
− � =
1 − �
2
− 4. Dan persamaan karakteristik dari matriks adalah
�
2
− 2� − 3 = 0, dengan memfaktorkan
�
2
− 2� − 3 = 0, diperoleh � − 3 � + 1 = 0
sehingga penyelesaian dari persamaan ini adalah �
1
= 3 dan �
2
= −1.
Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks tersebut adalah �
1
= 3 dan �
2
= −1.
2.5 Dekomposisi Nilai Singular Singular Value Decomposition
Dekomposisi nilai singular merupakan suatu teknik pemfaktoran matriks yang berkaitan erat dengan nilai singular dari sebuah matriks yang
merupakan karakteristik dari matriks tersebut.
Teorema 2.5.1
Misalkan adalah matriks
× dan � = min , . Maka terdapat
basis ortonormal
1
,
2
, … ,
untuk ℝ ,
1
,
2
, … , untuk ℝ dan
skalar-skalar �
1
�
2
�
�
0, sehingga mempunyai suatu
dekomposisi nilai singular, =
Λ , dengan
Λ adalah matriks × yang berbentuk
Λ = σ
1
⋱ σ
⋱ jika
= �, atau
Λ = σ
1
⋱ σ
⋱ jika � =
,
atau
Λ = σ
1
σ
2
⋱ σ
�
jika = = �,
=
1
,
2
, … ,
adalah matriks ortogonal ×
, dan =
1
,
2
, … , adalah matriks ortogonal × dan Λ merupakan
matriks diagonal yang entrinya nilai-nilai singular.
Bukti:
adalah matriks simetris berukuran × , yaitu matriks persegi yang
elemen-elemennya simetri terhadap diagonal utama. Misalkan � adalah
nilai eigen dari dan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan
�.
Dengan menggunakan Teorema 2.3.1.4,
2
=
2
=
2
= =
= �
karena � merupakan suatu skalar, berlaku
2
= � = �
= �
2
akibatnya � =
2 2
0. Asumsikan bahwa kolom-kolom dari
tersusun terurut sehingga nilai-nilai eigen yang bersesuaian memenuhi
�
1
�
2
� 0.
dan nilai-nilai singular dari matriks diberikan oleh � = � , = 1,2, … , .
Misalkan � merupakan rank dari . Karena matriks
simetris maka ranknya ditentukan dari banyaknya nilai eigen taknol dari
. Jadi �
1
�
2
�
�
0 dan �
�+1
= �
�+2
= =
� = 0 sehingga matriks
juga mempunyai rank �. Dan hubungan yang sama
juga berlaku bagi nilai-nilai singularnya �
1
�
2
�
�
0 dan �
�+1
= �
�+2
= =
� = 0 Sekarang, misalkan
1
=
1
,
2
, … ,
�
dan
2
=
�+1
,
�+2
, … ,
dan
Λ
1
= σ
1
σ
2
⋱ 0 σ
�
