B. Restorasi Gambar menggunakan TSVD
Bentuk kompak dari singular value decomposition SVD matriks �
banyak digunakan dalam berbagai aplikasi terutama dalam restorasi gambar. Selain itu, algoritma restorasi gambar dengan SVD dilakukan
dengan membuang unsur-unsur yang mewakili nilai singular kecil. Untuk menunjukkan bagaimana SVD digunakan, misalkan
� mewakili matriks pengaburan yang digunakan untuk mendekati derau yang terjadi pada
gambar, dan
� = Λ maka � dapat ditulis sebagai
� = σ
1 1 1
+ σ
2 2 2
+ +
σ
karena σ
1
σ
2
σ 0 maka semua nilai singular adalah positif dan
� adalah matriks persegi, dimana invers dari matriks � diberikan
sebagai �
−1
= Λ
−1
. Karena
Λ adalah matriks diagonal maka inversnya Λ
−1
juga diagonal, dengan entri 1
σ untuk = 1,2, … , , sehingga
�
−1
= 1
σ
=1
. 4.1
Seperti telah dijelaskan pada bab sebelumnya bahwa model gambar kabur diberikan sebagai persamaan
� = � dan penyelesaiannya adalah =
�
−1
�. Sehingga apabila �
−1
di persamaan 4.1 disubstitusikan pada
penyelesaian akan diperoleh
= �
−1
� = Λ
−1
� = 1
σ
=1
� = �
σ
=1
.
Pada kasus ini derau yang terjadi pada gambar direkonstruksikan dengan bentuk
�
−1
�. Pendekatan SVD dapat digunakan untuk meredam efek yang disebabkan oleh pembagian nilai-nilai singular kecil, khususnya nilai
singular yang mendekati nilai nol. Sementara itu, penyebab dari perubahan nilai-nilai singular dan vektor singular terjadi karena pengaruh derau.
Untuk mengurangi efek derau tersebut yang perlu dilakukan adalah membuang nilai-nilai singular kecil dengan sebuah parameter pemotongan
. Karena informasi mengenai galat yang besar terjadi ketika dilakukan pembagian dengan nilai singular kecil
σ , maka komponen yang menyebabkan galat besar tersebut dapat dibuang. Untuk itu digunakanlah
Truncated Singular Value Decomposition TSVD yang didefinisikan
sebagai
� = Λ =
σ
i =1
4.2
dimana Λ = diag σ
1
, σ
2
, … , σ , 0, … ,0 ℝ
×
atau
Λ = σ
1
⋱ 0 0 0 σ
.
Matriks Λ sama seperti Λ namun perbedaanya terletak pada nilai singular
terkecil − yang diganti oleh nol, dengan
. Pemotongan nilai singular ini dimaksudkan untuk mendapatkan bilangan kondisi yang kecil
dengan cara memilih . Apabila yang dipilih tepat, maka perhitungan bilangan kondisi σ
1
σ dari � akan menjadi kecil. Dari � yang
diperoleh dapat dibentuk �
+
sebagai pseudo-invers dari � ;
�
+
= Λ
−1
= 1
σ
=1
dimana Λ
−1
= diag σ
1 −1
, σ
2 −1
, … , σ
−1
, 0, … ,0 ℝ
×
atau
Λ
−1
= σ
1 −1
⋱ σ
−1
.
sehingga penyelesaian dari TSVD didefinisikan sebagai
= �
+
� = Λ
−1
� = �
σ
=1
4.3
Setelah memahami bagaimana metode TSVD digunakan dalam menyelesaikan masalah
� = �. Selanjutnya metode tersebut akan diaplikasikan untuk restorasi gambar digital. Seperti dijelaskan pada bab