Representasi Gambar Digital Gambar Digital

B. Restorasi Gambar menggunakan TSVD

Bentuk kompak dari singular value decomposition SVD matriks � banyak digunakan dalam berbagai aplikasi terutama dalam restorasi gambar. Selain itu, algoritma restorasi gambar dengan SVD dilakukan dengan membuang unsur-unsur yang mewakili nilai singular kecil. Untuk menunjukkan bagaimana SVD digunakan, misalkan � mewakili matriks pengaburan yang digunakan untuk mendekati derau yang terjadi pada gambar, dan � = Λ maka � dapat ditulis sebagai � = σ 1 1 1 + σ 2 2 2 + + σ karena σ 1 σ 2 σ 0 maka semua nilai singular adalah positif dan � adalah matriks persegi, dimana invers dari matriks � diberikan sebagai � −1 = Λ −1 . Karena Λ adalah matriks diagonal maka inversnya Λ −1 juga diagonal, dengan entri 1 σ untuk = 1,2, … , , sehingga � −1 = 1 σ =1 . 4.1 Seperti telah dijelaskan pada bab sebelumnya bahwa model gambar kabur diberikan sebagai persamaan � = � dan penyelesaiannya adalah = � −1 �. Sehingga apabila � −1 di persamaan 4.1 disubstitusikan pada penyelesaian akan diperoleh = � −1 � = Λ −1 � = 1 σ =1 � = � σ =1 . Pada kasus ini derau yang terjadi pada gambar direkonstruksikan dengan bentuk � −1 �. Pendekatan SVD dapat digunakan untuk meredam efek yang disebabkan oleh pembagian nilai-nilai singular kecil, khususnya nilai singular yang mendekati nilai nol. Sementara itu, penyebab dari perubahan nilai-nilai singular dan vektor singular terjadi karena pengaruh derau. Untuk mengurangi efek derau tersebut yang perlu dilakukan adalah membuang nilai-nilai singular kecil dengan sebuah parameter pemotongan . Karena informasi mengenai galat yang besar terjadi ketika dilakukan pembagian dengan nilai singular kecil σ , maka komponen yang menyebabkan galat besar tersebut dapat dibuang. Untuk itu digunakanlah Truncated Singular Value Decomposition TSVD yang didefinisikan sebagai � = Λ = σ i =1 4.2 dimana Λ = diag σ 1 , σ 2 , … , σ , 0, … ,0 ℝ × atau Λ = σ 1 ⋱ 0 0 0 σ . Matriks Λ sama seperti Λ namun perbedaanya terletak pada nilai singular terkecil − yang diganti oleh nol, dengan . Pemotongan nilai singular ini dimaksudkan untuk mendapatkan bilangan kondisi yang kecil dengan cara memilih . Apabila yang dipilih tepat, maka perhitungan bilangan kondisi σ 1 σ dari � akan menjadi kecil. Dari � yang diperoleh dapat dibentuk � + sebagai pseudo-invers dari � ; � + = Λ −1 = 1 σ =1 dimana Λ −1 = diag σ 1 −1 , σ 2 −1 , … , σ −1 , 0, … ,0 ℝ × atau Λ −1 = σ 1 −1 ⋱ σ −1 . sehingga penyelesaian dari TSVD didefinisikan sebagai = � + � = Λ −1 � = � σ =1 4.3 Setelah memahami bagaimana metode TSVD digunakan dalam menyelesaikan masalah � = �. Selanjutnya metode tersebut akan diaplikasikan untuk restorasi gambar digital. Seperti dijelaskan pada bab