Bukti:
i Berdasarkan definisi 2.3.4.1, sebuah matriks yang berukuran ×
adalah ortogonal jika dan hanya jika vektor-vektor kolom dari membentuk sebuah himpunan ortonormal, yaitu
, = =
dimana
= 1 jika =
0 jika ≠
.
Dan dari perhitungan , akan menghasilkan nilai-nilai untuk
entri , , = 1,2, . . dan = 1,2, … , dari
sehingga
= 1
1 1
⋱ 1
= � .
ii Berdasarkan sifat i
= � maka
= �
−1
, sehingga =
−1
.
iii , =
= =
� = =
, .
iv
2
= , =
= =
� =
= , =
2
.
2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Apabila sebuah matriks berukuran × dan sebuah vektor
ℝ , maka biasanya tidak ada hubungan geometris di antara vektor dan vektor
Gambar 2.1a. Akan tetapi, ada beberapa vektor taknol , sehingga dan
merupakan kelipatan satu sama lainnya Gambar 2.1b. Vektor- vektor tersebut muncul secara alami dalam telaah getaran, sistem elektris,
genetik, reaksi kimia, mekanika kuanturm, tekanan mekanis, ekonomi dan geometris. Pada bagian ini akan ditunjukkan bagaimana mencari vektor-
vektor ini.
a b
Gambar 2.1. Hubungan geometris di antara dan
Definisi 2.4.1
Misalkan adalah matriks berukuran × . Skalar
� disebut sebagai nilai eigen dari , jika terdapat vektor tak nol sehingga
=
� . Vektor
disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan
�.
Ax x
Ax
x
Contoh 2.4.2
Diberikan matriks =
3 8
−1 , maka
= 1
2 merupakan vektor eigen
dari matriks . Sebab merupakan kelipatan dari , yaitu
= 3
8 −1
1 2
= 3
6 = 3
1 2
= 3
Dari persamaan ini terlihat bahwa � = 3 merupakan nilai eigen dari
matriks . Untuk dapat mencari nilai eigen dari matriks persegi
, perlu diperhatikan kembali definisi nilai eigen dan vektor eigen, bahwa bentuk
=
� dapat ditulis sebagai
= ��
− �� = − �� = ,
dimana � adalah matriks identitas yang mempunyai bentuk
� = 1
1 1
⋱ 1
.
Agar � menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian tak nol dari
persamaan − �� = . Sehingga persamaan tersebut akan mempunyai
penyelesaian tak nol jika dan hanya jika det
− �� = 0.
Jika det
− �� = 0 diuraikan, akan didapatkan suatu polinomial berderajat ke- dalam peubah
�,
