Kernel dari matriks Ruang bagian Definisi .1
2.2.4 Ruang Baris dan Ruang Kolom Definisi 2.2.4.1
Jika adalah matriks × , maka ruang bagian dari
ℝ yang direntang
oleh vektor-vektor baris dari disebut ruang baris dari , sedangkan
ruang bagian dari ℝ yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari
disebut ruang kolom dari .
Contoh 2.2.4.2
Misalkan =
1 1
, maka tentukan ruang baris dan ruang kolom dari .
Penyelesaian: Ruang baris dari adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
1,0,0 + 0,1,0 = , , 0 dan ruang kolom dari adalah himpunan semua vektor yang berbentuk
1 +
1 +
= .
Misalkan adalah matriks × , vektor
� ℝ berada di dalam ruang kolom dari jika dan hanya jika
� = untuk
ℝ . Maka, ruang kolom dari dapat dinyatakan sebagai
, = � ℝ � =
untuk ℝ ,
dan ruang kolom dari dinyatakan sebagai
= ℝ =
untuk ℝ .
Ruang kolom dari sesungguhnya sama dengan ruang baris dari .
Jadi jika dan hanya jika
berada di dalam ruang baris dari . Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa
dan adalah ruang
bagian dari ℝ .
i Jika �
dan suatu skalar, maka untuk
ℝ
� = = sehingga
� . Jika �
1
dan �
2
adalah elemen-elemen dari , maka untuk
1
+
2
ℝ
�
1
+
�
2
=
1
+
2
=
1
+
2
akibatnya �
1
+ �
2
. Karena � dan �
1
+ �
2
, berarti adalah ruang bagian dari
ℝ
.
ii Jika
dan suatu skalar, maka untuk
ℝ =
=
sehingga . Jika
1
dan
2
adalah elemen-elemen dari , maka untuk
1
+
2
ℝ
1
+
2
=
1
+
2
=
1
+
2
akibatnya
1
+
2
. Karena dan
1
+
2
, berarti adalah ruang bagian dari
ℝ
.
Teorema 2.2.4.3
Dua matriks yang ekivalen baris memiliki ruang baris yang sama.
Bukti:
Jika matriks ekivalen baris dengan matriks , maka dapat dibentuk dari dengan operasi baris yang berhingga banyaknya. Ini berarti vektor-
vektor baris dari harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari . Akibatnya, ruang baris dari harus merupakan ruang bagian
dari ruang baris . Karena matriks ekivalen baris dengan matriks , maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari adalah ruang bagian
dari ruang baris .
Definisi 2.2.4.4 Rank
dari suatu matriks adalah dimensi dari ruang baris .
Contoh 2.2.4.5
Misalkan =
1 −2
3 2
−5 1
1 −4 −7
Dengan mereduksi menjadi bentuk eselon baris, diperoleh =
1 −2 3
1 5