Kernel dari matriks Ruang bagian Definisi .1

2.2.4 Ruang Baris dan Ruang Kolom Definisi 2.2.4.1 Jika adalah matriks × , maka ruang bagian dari ℝ yang direntang oleh vektor-vektor baris dari disebut ruang baris dari , sedangkan ruang bagian dari ℝ yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari disebut ruang kolom dari . Contoh 2.2.4.2 Misalkan = 1 1 , maka tentukan ruang baris dan ruang kolom dari . Penyelesaian: Ruang baris dari adalah himpunan semua vektor yang berbentuk 1,0,0 + 0,1,0 = , , 0 dan ruang kolom dari adalah himpunan semua vektor yang berbentuk 1 + 1 + = . Misalkan adalah matriks × , vektor � ℝ berada di dalam ruang kolom dari jika dan hanya jika � = untuk ℝ . Maka, ruang kolom dari dapat dinyatakan sebagai , = � ℝ � = untuk ℝ , dan ruang kolom dari dinyatakan sebagai = ℝ = untuk ℝ . Ruang kolom dari sesungguhnya sama dengan ruang baris dari . Jadi jika dan hanya jika berada di dalam ruang baris dari . Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa dan adalah ruang bagian dari ℝ . i Jika � dan suatu skalar, maka untuk ℝ � = = sehingga � . Jika � 1 dan � 2 adalah elemen-elemen dari , maka untuk 1 + 2 ℝ � 1 + � 2 = 1 + 2 = 1 + 2 akibatnya � 1 + � 2 . Karena � dan � 1 + � 2 , berarti adalah ruang bagian dari ℝ . ii Jika dan suatu skalar, maka untuk ℝ = = sehingga . Jika 1 dan 2 adalah elemen-elemen dari , maka untuk 1 + 2 ℝ 1 + 2 = 1 + 2 = 1 + 2 akibatnya 1 + 2 . Karena dan 1 + 2 , berarti adalah ruang bagian dari ℝ . Teorema 2.2.4.3 Dua matriks yang ekivalen baris memiliki ruang baris yang sama. Bukti: Jika matriks ekivalen baris dengan matriks , maka dapat dibentuk dari dengan operasi baris yang berhingga banyaknya. Ini berarti vektor- vektor baris dari harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari . Akibatnya, ruang baris dari harus merupakan ruang bagian dari ruang baris . Karena matriks ekivalen baris dengan matriks , maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari adalah ruang bagian dari ruang baris . Definisi 2.2.4.4 Rank dari suatu matriks adalah dimensi dari ruang baris . Contoh 2.2.4.5 Misalkan = 1 −2 3 2 −5 1 1 −4 −7 Dengan mereduksi menjadi bentuk eselon baris, diperoleh = 1 −2 3 1 5