Bilangan Kondisi Norma Matriks dan Bilangan Kondisi

membandingkan perubahan penyelesaian relatif terhadap ′ , dengan perubahan relatif dalam matriks . Dari = −1 � = −1 ′ ′ = −1 + � ′ = −1 ′ + −1 � ′ = ′ + −1 � ′ diperoleh, − ′ = −1 � ′ Dengan menggunakan Akibat 2.6.1.3, maka − ′ −1 � ′ atau − ′ ′ −1 � 2.10 Jika ruas kanan pada ketaksamaan 2.10 dikali , diperoleh − ′ ′ −1 � = cond � 2.11 Untuk lebih memahami maksud dan perhitungan dari ketaksamaan 2.11 akan digunakan . ∞ . Perhatikan contoh berikut. Contoh 2.6.2.1 Diberikan sistem a 2,0000 1 + 2,0000 2 = 6,0000 2,0000 1 + 2,0005 2 = 6,0010 yang mempunyai penyelesaian eksak = 1 2 . Dan dengan melakukan sedikit perubahan diperoleh sistem baru, sebagai sistem b 2,000 1 + 2,000 2 = 6,000 2,000 1 + 2,001 2 = 6,001 yang memiliki penyelesaian ′ = 2 1 . Hitunglah perbandingan perubahan penyelesaian relatif terhadap ′ dengan perubahan relatif dalam matriks . Penyelesaian: Dari sistem a dan sistem b dapat diperoleh matriks koefisien dan ′ , sehingga = 2 2 2 2,0005 ; ′ = 2 2 2 2,001 dan −1 = 1 0,001 2,0005 −2 −2 2 = 2000,5 −2000 −2000 2000 Kemudian dibentuk matriks � = ′ − , � = 0,0005 dan galat relatif dalam matriks adalah � ∞ ∞ = 0,0005 4,0005 ≈ 0,0001 Sedangkan bilangan kondisi dari matriks sebagai cond ∞ = ∞ −1 ∞ = 4,0005 4000,5 ≈ 16004. Dengan menggunakan ketaksamaan 2.10 dapat ditentukan batas dari galat relatif sebagai cond ∞ � ∞ ∞ = 16004 0,0001 = 1,6004 dan galat relatif sesungguhnya bagi sistem adalah − ′ ∞ ′ ∞ = 1 2 − 2 1 ∞ 2 1 ∞ = − 1 1 ∞ 2 1 ∞ = 1 2 Jadi, perbandingan perubahan penyelesaian relatif terhadap ′ dengan perubahan relatif dalam matriks adalah 1 2 1,6004. Selain menggunakan . ∞ , perhitungan bilangan kondisi dari matriks , yang dinotasikan sebagai cond dapat juga dihitung menggunakan . 2 . Teorema 2.6.2.2 Jika = Λ adalah taksingular, maka cond 2 = � 1 � . Bukti: Karena adalah taksingular berarti memiliki invers, yaitu −1 dan nilai- nilai singular dari −1 = Λ −1 tersusun dalam urutan menurun sebagai 1 � 1 � −1 1 � 1 . Akibatnya −1 2 = 1 � sehingga cond 2 = 2 . −1 2 = � 1 . 1 � = � 1 � . Contoh 2.6.2.3 Dengan menggunakan matriks pada contoh 2.6.1.6, = 1 1 −1 2 Hitunglah bilangan kondisi dari . Penyelesaian: Berdasarkan pembahasan pada contoh 2.6.1.6 didapatkan bahwa nilai- nilai singular dari adalah � 1 = 2,3028 dan � 2 = 1,3028. Dari hasil tersebut dapat dihitung cond 2 = � 1 � 2 = 2,3028 1,3028 = 1,768.

B. Kalkulus

Pada subbab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori kalkulus yang akan digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab-bab berikutnya.

2.7 Big-O

Andaikan adalah fungsi bernilai riil yang didefinisikan pada kitar- dengan pusat ℝ , yang ditulis ℝ | − , dengan ≠ . Misal : Ω ↦ ℝ adalah fungsi yang didefinisikan dalam suatu domain daerah asal Ω ⊂ ℝ yang memuat , maka = � , diartikan bahwa terbatas. Jadi, terdapat bilangan 0 dan 0, sehingga jika − , Ω berakibat Contoh 2.7.1 Tunjukkan bahwa ℎ = 2 + 2 + 1 adalah � 2 . Penyelesaian: Akan ditentukan bilangan bulat positif dan sehingga untuk setiap , berlaku 2 + 2 + 1 Ambil 1, maka didapat 2 + 2 + 1 2 + 2 2 + 2 = 4 4 Dengan demikian, dari persamaan di atas diperoleh nilai = 4 dengan = 1.

2.8 Fungsi bernilai vektor

Teorema 2.8.1 Misalkan adalah matriks invertibel dan � = 1 2 − � 2 . Maka, i ∗ adalah titik minimum untuk � jika dan hanya jika ∗ adalah penyelesaian persamaan = �. ii Persamaan titik kritis pada � adalah � = �. iii Persamaan titik kritis dari � ekuivalen dengan persamaan = �. Bukti : i ← Andaikan ∗ memenuhi ∗ = �, sehingga � ∗ = 1 2 ∗ − � 2 = 1 2 2 = 0. Padahal � ∗ 0, sehingga ∗ titik minimum dari �. Karena ∗ memenuhi ∗ = � maka didapat ∗ = −1 �, akibatnya ∗ adalah satu-satunya titik minimum dari �. → Andaikan ∗ titik minimum dari � sehingga � ∗ = 0. Berarti � ∗ = 1 2 ∗ − � 2 = 0, akibatnya ∗ − � = 0 sehingga ∗ = �. Hal ini menunjukkan bahwa ∗ satu-satunya penyelesaian yang memenuhi ∗ = �. ii Turunan � di , pada arah , diberikan oleh � = lim →0 � + − � = lim →0 1 2 + − � 2 − − � 2 dengan aturan hasil kali dalam 2 = , , didapat � = lim →0 1 2 + − �, + − � − − �, − � = lim →0 1 2 + − �, + − � − − �, − � = lim →0 1 2 − � + � , − � + − − �, − � = lim →0 1 2 − �, − � + − �, + , − � − � − , � − dengan aturan , = , dan , = , menjadi � = lim →0 1 2 2 − �, = − , kemudian dengan aturan hasil kali dalam �, = , diperoleh � = − , = − � = − � = − � , . Sehingga � untuk setiap ℝ , � = − � . dimana � adalah vektor gradien dari �. Kemudian agar mendapatkan persamaan titik kritisnya maka nilai dari � = 0, sehingga � = �. 2.12 Persamaan 2.12 yang diperoleh ini sebelumnya dikenal sebagai persamaan normal. iii Diketahui bahwa adalah matriks invertibel jika dan hanya jika transposenya, yaitu juga invertibel dan −1 = −1 . Kemudian dengan mengalikan kedua sisi pada persamaan 2.12 dengan −1 , diperoleh −1 = −1 � � = ��, maka = �.