Contoh 2.3.1.5
Misalkan adalah vektor 4, −5,3 di ℝ
3
. Hitunglah
2
dan
∞
.
2
= 16 + 25 + 9 = 50 = 5 2.
∞
= max 4 , −5 , 3 = 5.
Teorema 2.3.1.6 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
Jika dan adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , maka
,
Bukti:
Jika = maka
, = = 0, sehingga ketaksamaan berlaku. Jika
≠ , untuk setiap bilangan � ℝ nilai � + � + 0
, �
2
+ 2 , � + , 0
merupakan fungsi kuadrat dalam � sehingga haruslah � 0. Ini berarti
fungsi kuadrat tersebut tidak mempunyai akar berbeda. Oleh karena ini, diskriminannya tidak mungkin positif, sehingga
4 ,
2
− 4 , , 0 atau
4 ,
2
4 , ,
,
2
, ,
,
2 2
2
dengan mengambil akar dari kedua ruas diperoleh , .
2.3.2 Ruang Bagian Ortogonal Vektor dan himpunan
=
1
,
2
, . . ,
adalah ortogonal jika
terdapat dan untuk setiap
berlaku , = 0. Dan apabila
dan ortogonal, dinotasikan sebagai ⊥ .
Definisi 2.3.2.1
Dua ruang bagian dan dari
ℝ dikatakan ortogonal jika , = 0
untuk setiap dan setiap
, dan apabila dan ortogonal ditulis ⊥ .
Misalkan adalah matriks × dan misalkan
. Karena
= sehingga
1 1
+
2 2
+ +
= 0 untuk
= 1,2,
… , . Persamaan tersebut menunjukkan bahwa ortogonal
pada setiap vektor kolom dari , maka ortogonal ke setiap kombinasi
linier dari vektor-vektor kolom . Sehingga jika adalah vektor kolom
dalam ruang vektor , maka
= 0. Jadi setiap vektor di dalam
ortogonal terhadap setiap vektor di dalam ruang kolom , yang ditulis
sebagai ⊥ . Jika dua ruang bagian memiliki sifat ini, maka
dapat dikatakan bahwa ruang bagian tersebut adalah ortogonal.
Definisi 2.3.2.2
Misalkan
1
,
2
, … , adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil
kali dalam . Jika semua pasangan vektor , = 0, dimana ≠ , maka
1
,
2
,
… , disebut sebagai himpunan ortogonal.
Definisi 2.3.2.3
Misalkan adalah ruang bagian dari ℝ . Himpunan semua vektor-vektor
di dalam ℝ yang ortogonal pada setiap vektor di akan dinotasikan
dengan
⊥
,
⊥
= ℝ , = 0 untuk setiap
.
Himpunan
⊥
disebut komplemen ortogonal dari .
2.3.2.4 Ruang-Ruang Bagian Pokok Fundamental Subspaces
Telah dijelaskan bahwa ⊥ , selanjutnya akan diperlihatkan
bahwa sebenarnya merupakan komplemen ortogonal dari .
Teorema 2.3.2.5
Jika adalah sebuah matriks × , maka
=
⊥
dan =
⊥
.
Bukti:
Diketahui bahwa ⊥ , sehingga
⊂
⊥
. Ambil sebarang vektor di
⊥
. Berdasarkan definisi komplemen ortogonal
maka ortogonal pada setiap vektor kolom dari
,
akibatnya
= .
Padahal =
ℝ =
.
Jadi haruslah menjadi sebuah elemen dari
, yaitu =
⊥
. Secara khusus, hasil ini juga berlaku untuk matriks
= . Jadi
= =
⊥
=
⊥
.
2.3.3 Masalah Kuadrat Terkecil
Masalah kuadrat terkecil pada umumnya dapat dirumuskan sebagai sebuah sistem kelebihan persamaan linier, yaitu sistem yang memiliki
lebih banyak persamaan daripada peubah. Sistem yang seperti ini biasanya tidak mempunyai penyelesaian. Misalkan diberikan sebuah sistem
× yaitu
= � dengan , kemudian penyelesaian dari sistem tersebut
adalah mencari sebuah vektor ℝ sehingga sama dengan �. Berarti
vektor yang didapat untuk harus sedekat mungkin dengan
�. Diberikan sistem
= �. Untuk setiap
ℝ dapat dihitung sebuah selisih antara
� dan sebagai
� = � − dan jarak antara
� dan diberikan sebagai � − = � .
Untuk mendapatkan vektor ℝ yang terbaik dalam mendekati �, maka
harus dicari nilai � yang paling minimum. Sebuah vektor yang
memenuhi ini disebut sebagai penyelesaian kuadrat terkecil untuk sistem =
�.
Teorema 2.3.3.1
Jika adalah matriks × yang memiliki rank , maka persamaan
normal
= �
mempunyai sebuah penyelesaian tunggal
′
=
−1
�
dimana
′
adalah penyelesaian kuadrat terkecil yang tunggal dari sistem =
�.
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa adalah taksingular. Misalkan adalah
penyelesaian untuk = , berarti
. Sehingga
1 1
+
2 2
+ +
= 0 menunjukkan bahwa ortogonal pada setiap vektor kolom dari , maka
ortogonal ke setiap kombinasi linier dari vektor-vektor kolom .
Akibatnya ortogonal terhadap , maka
=
⊥
. Karena
dan
⊥
adalah ruang bagian yang ortogonal, berarti ∩
⊥
dan ⊥
⊥
, maka = 0
sehingga = . Jika mempunyai rank maka vektor-vektor kolom
dari adalah bebas linear, sehingga
= akan mempunyai penyelesaian trivial. Jadi
= dan = juga mempunyai
penyelesaian trivial. Berdasarkan Teorema 2.1.1, adalah taksingular.
Ini mengakibatkan bahwa
′
=
−1
� adalah penyelesaian tunggal untuk persamaan
= �, sehingga
′
merupakan penyelesaian kuadrat terkecil yang tunggal untuk sistem
= �.
2.3.4 Himpunan Ortonormal Definisi 2.3.4.1
Himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 disebut
sebagai himpunan ortonormal.
Himpunan
1
,
2
, … , akan menjadi ortonormal jika dan hanya
jika , =
, dimana
= 1 jika =
0 jika ≠
.
