iii Diketahui bahwa adalah matriks invertibel jika dan hanya jika
transposenya, yaitu juga invertibel dan
−1
=
−1
. Kemudian dengan mengalikan kedua sisi pada persamaan
2.12 dengan
−1
, diperoleh
−1
=
−1
� �
= ��, maka
= �.
BAB III INVERSE PROBLEM
A. Prinsip Dasar Inverse Problem
Dalam matematika, terdapat dua cara untuk meyelesaikan permasalahan, yaitu metode penyelesaian langsung dan metode
penyelesaian tidak langsung. Metode penyelesaian langsung adalah cara penyelesaian dengan mengoperasikan input dalam sistem kemudian
diperoleh output. Metode penyelesaian tidak langsung adalah cara penyelesaian dengan menduga input, berdasar informasi sistem dan output
yang diberikan. Pada kesempatan ini, penulis akan membahas mengenai metode penyelesaian secara tidak langsung.
Metode penyelesaian tidak langsung pada prinsipnya untuk menduga input berdasar dua informasi penting, yaitu sistem dan output. Menduga
input berarti menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan invers dari permasalahan, sehingga metode penyelesaian ini dinamakan sebagai
Inverse Problem . Agar dapat lebih memahami metode invers problem,
perhatikan gambar berikut.
Gambar 3.1. Prosedur metode Inverse Problem
Inverse Problem
Input Sistem
Output
Dalam melakukan perhitungan untuk mendapatkan penyelesaian berupa input terkadang tidak mudah. Terlebih, apabila sistem yang ada
pada masalah sulit untuk diselesaikan, sehingga tidaklah mungkin menyelesaikannya secara manual. Karena alasan tersebut, maka
digunakanlah perhitungan dengan komputer. Sebab, komputer dapat membantu menyelesaikan perhitungan secara lebih akurat dan cepat. Ada
beberapa faktor yang dapat mempengaruhi keakuratan penyelesaian. Pertama
, sistem yang kurang stabil. Kedua, algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan masalah invers tersebut. Dengan mengetahui faktor-
faktor tersebut, maka mengontrol penyelesaian agar menghasilkan galat yang terkecil adalah tujuan dari metode invers problem ini. Karena
semakin kecil galat, maka nilai dari penyelesaian yang didapat akan semakin mendekati nilai penyelesaian eksaknya.
3.1 Kestabilan Algoritma pada Sistem
Seperti yang telah dijelaskan bahwa ada beberapa faktor yang dapat mempengaruhi keakuratan penyelesaian, salah satunya mengenai
kestabilan algoritma. Sebuah algoritma dikatakan stabil, apabila perubahan galat kecil yang terjadi dalam data awal memberikan perubahan galat kecil
pada hasil akhir. Sebaliknya, apabila perubahan galat kecil dalam data awal menghasilkan perubahan galat yang besar pada hasil akhir, algoritma
dikatakan tidak stabil. Gagasan mengenai kondisi dan kestabilan sistem penting untuk dipahami. Sebab, hal ini dapat mempengaruhi besarnya
galat pada perhitungan untuk mendapatkan input. Karena tidak mungkin mendapatkan input optimal, apabila sebelumnya belum diketahui
bagaimana kondisi dan kestabilan sistem yang digunakan pada perhitungan masalah invers.
Dalam melakukan perhitungan terdapat beberapa pilihan algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah invers. Dari beberapa
kemungkinan itu harus dipilih algoritma terbaik, yang menghasilkan galat terkecil pada penyelesaian. Perhatikan contoh berikut
Contoh 3.1.1
Selesaikan sistem + 2 = 3
1,001 + 2 = 3,001 dan tentukan kestabilan dari sistem tersebut.
Penyelesaian: Dengan menjumlahkan persamaan pertama dan kedua, diperoleh
1
+ 2
2
= 3 1,001
1
+ 2
2
= 3,001 −0,001
1
+ 0 = −0,001
dari −0,001
1
= −0,001, didapat nilai
1
= 1. Kemudian substitusikan
1
= 1 ke persamaan
1
+ 2
2
= 3, sehingga didapatkan nilai = 1. Jadi, penyelesaian dari sistem ini adalah
1
= 1 dan
2
= 1.
Algoritma yang digunakan:
1. Eliminasi nilai
2. Substitusikan
nilai ke salah satu persamaan
3. Tentukan nilai
Selanjutnya untuk melihat kestabilan sistem, bilangan di ruas kanan pada persamaan kedua akan diberi perubahan kecil sebesar
= 0,002, sehingga
1
+ 2
2
= 3 1,001
1
+ 2
2
= 3,003
dengan mengurangkan persamaan pertama dan kedua, diperoleh
1
+ 2
2
= 3 1,001
1
+ 2
2
= 3,003 −0,001
1
+ 0 = −0,003
dari −0,001
1
= −0,003, didapat nilai
1
= 3. Kemudian substitusikan
1
= 3 ke persamaan
1
+ 2
2
= 3, sehingga 2
2
= 3 − 3 = 0 dan
diperoleh nilai
2
= 0. Jadi, penyelesaian dari sistem setelah dipengaruhi adalah
1 ′
= 3 dan
2 ′
= 0. Dari perhitungan tersebut didapatkan bahwa penyelesaian eksaknya
adalah =
1 1
dan penyelesaian hampirannya
′
= 3
. Maka galat dari perhitungan tersebut ditulis sebagai
� = −
′
= −
2 1
dan galat relatif diberikan oleh
�
∞ ∞
= 2
1 = 2.
Selanjutnya akan dihitung vektor sisa sebagai =
� − �
′
= 3
3,001 − 3
3,003 =
0,002
kemudian dengan menggunakan norma- ∞ diperoleh sisa relatif sebagai
∞
�
∞
= � − �
′ ∞
�
∞
= 0,002
3,001 ≈ 0,000666.
Setelah itu, akan dilihat bagaimana bilangan kondisi dari =
1 2
1,001 2
dan diperoleh bahwa
−1
= −
1 0,002
2 −2
−1,001 1
= −
2 0,002
2 0,002
1,001 0,002
− 1
0,002 =
− 1000
1000 500,5
500
Dari perhitungan tersebut didapatkan bahwa
∞
= 3,001 dan
−1 ∞
= 2000, sehingga cond
∞
=
∞
.
−1 ∞
= 6002.
Berdasarkan perhitungan di atas didapat bahwa galat relatif dari sistem sebesar
2 dan sisa relatif sebesar 0,000666, sehingga galat relatif besarnya
3003 kali sisa relatifnya. Ini tidak mengherankan, jika diperoleh cond
∞
= 6002. Karena diperoleh nilai cond
∞
= 6002, hal tersebut menunjukkan bahwa kondisi dari matriks
adalah buruk. Sehingga apabila dilakukan perubahan sebesar
akan menyebabkan perubahan besar pada penyelesaian sistem. Akibatnya, algoritma yang
digunakan untuk menyelesaikan sistem tersebut adalah tidak stabil.
