Basis dan Dimensi Definisi .1

Teorema 2.2.4.3 Dua matriks yang ekivalen baris memiliki ruang baris yang sama. Bukti: Jika matriks ekivalen baris dengan matriks , maka dapat dibentuk dari dengan operasi baris yang berhingga banyaknya. Ini berarti vektor- vektor baris dari harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari . Akibatnya, ruang baris dari harus merupakan ruang bagian dari ruang baris . Karena matriks ekivalen baris dengan matriks , maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari adalah ruang bagian dari ruang baris . Definisi 2.2.4.4 Rank dari suatu matriks adalah dimensi dari ruang baris . Contoh 2.2.4.5 Misalkan = 1 −2 3 2 −5 1 1 −4 −7 Dengan mereduksi menjadi bentuk eselon baris, diperoleh = 1 −2 3 1 5 sehingga 1, −2,3 dan 0,1,5 membentuk basis untuk ruang baris . Karena dan ekivalen baris, maka menurut Teorema 2.2.4.3 matriks memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari adalah 2.

2.3 Ortogonalitas

2.3.1 Ruang Hasil Kali Dalam Definisi 2.3.1.1 Hasil kali dalam pada ruang vektor riil adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil , dengan vektor dan pada , sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut terpenuhi untuk semua , , di dan semua skalar , di ℝ: i , 0; dan , = 0 jika dan hanya jika = 0. ii , = , untuk setiap dan di dalam . iii + , = , + , untuk setiap , , di dalam dan setiap skalar , . Sebuah ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam. Salah satu contoh dari ruang hasil kali dalam adalah ruang vektor ℝ , dimana hasil kali dalam baku untuk ℝ dihitung sebagai hasil kali skalar , = . Definisi 2.3.1.2 Dua vektor dan dikatakan ortogonal jika , = 0, yang dinotasikan sebagai ⊥ . Definisi 2.3.1.3 Sebuah ruang vektor dikatakan ruang linier bernorma jika untuk setiap vektor dikaitkan dengan sebuah bilangan riil yang disebut norma dari yang memenuhi: i 0. ii = 0 jika dan hanya jika = . iii = � v untuk setiap ℝ. iv + + untuk setiap dan di . Teorema 2.3.1.4 Jika sebuah ruang hasil kali dalam, maka = , untuk setiap mendefinisikan sebuah norma pada . Bukti: i Karena nilai dari = , 0, berarti nilai terkecil yang mungkin hanyalah = .