Ruang Baris dan Ruang Kolom Definisi .1
Definisi 2.3.1.2 Dua vektor dan dikatakan ortogonal jika
, = 0, yang dinotasikan sebagai
⊥ .
Definisi 2.3.1.3 Sebuah ruang vektor dikatakan ruang linier bernorma jika untuk setiap
vektor dikaitkan dengan sebuah bilangan riil
yang disebut norma dari yang memenuhi:
i 0.
ii = 0 jika dan hanya jika = .
iii = � v untuk setiap
ℝ. iv
+ + untuk setiap dan di .
Teorema 2.3.1.4
Jika sebuah ruang hasil kali dalam, maka = , untuk setiap
mendefinisikan sebuah norma pada .
Bukti:
i Karena nilai dari
= , 0, berarti nilai terkecil yang mungkin hanyalah
= .
ii Jika = , maka
2
= , = , = 0. Jadi = 0.
Kemudian jika = , = , = 0, berarti haruslah = .
iii
2
= , =
2
, =
2
. Jadi, = .
iv +
2
= + , +
= , + 2 , + ,
2
+ 2 +
2
ketaksamaan Cauchy-Schwarz =
+
2
Jadi, + +
Kemudian dapat didefinisikan beberapa norma yang berbeda pada ruang vektor yang diberikan. Seperti, di
ℝ kita dapat mendefinisikan
2
=
2 =1
1 2
= , =
disebut sebagai norma- 2 vektor. Selain itu, norma lainnya yang penting
pada ℝ adalah
∞
= max
1
Bukti: i
Untuk 1 ,
0 sehingga max
1
. Akibatnya, max
1
=
∞
0.
ii Jika
∞
= 0, maka max
1
= 0. Karena maksimal dari = 0, = 1,2, … , berarti
1
=
2
= =
= 0, akibatnya
=
sehingga = . Oleh karena itu haruslah suatu vektor nol.
Jika = ,
berarti
1
=
2
= =
= 0. Akibatnya
max
1
= 0 sehingga
∞
= 0.
iii
∞
= max
1
= max
1
=
∞
.
iv +
∞
= max
1
+ max
1
+ max
1 ∞
+
∞
.
Berdasarkan bukti di atas
∞
memenuhi definisi sebagai norma, maka
∞
disebut sebagai norma- ∞ vektor.
Contoh 2.3.1.5
Misalkan adalah vektor 4, −5,3 di ℝ
3
. Hitunglah
2
dan
∞
.
2
= 16 + 25 + 9 = 50 = 5 2.
∞
= max 4 , −5 , 3 = 5.
Teorema 2.3.1.6 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
Jika dan adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam , maka
,
Bukti:
Jika = maka
, = = 0, sehingga ketaksamaan berlaku. Jika
≠ , untuk setiap bilangan � ℝ nilai � + � + 0
, �
2
+ 2 , � + , 0
merupakan fungsi kuadrat dalam � sehingga haruslah � 0. Ini berarti
fungsi kuadrat tersebut tidak mempunyai akar berbeda. Oleh karena ini, diskriminannya tidak mungkin positif, sehingga
4 ,
2
− 4 , , 0 atau
4 ,
2
4 , ,
,
2
, ,