Masalah kestabilan dalam menentukan penyelesaian sangat perlu diperhatikan, sebab tidak semua permasalahan mempunyai penyelesaian
eksak. Sehingga untuk menyakinkan keakuratan dari perhitungan yang dilakukan perlu untuk menunjukkan seberapa akurat penyelesaian yang
didapat tersebut. Agar meyakinkan bahwa penyelesaian yang diperoleh memang stabil dan akurat untuk dijadikan penyelesaian dari masalah.
Setelah memahami masalah kestabilan algoritma, selanjutnya perlu dipahami mengenai eksistensi dan ketunggalan suatu penyelesaian ketika
menyelesaikan permasalahan dengan metode inverse problem.
3.2 Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian
Dalam menyelesaikan masalah dengan metode inverse problem muncul kesulitan ketika menghubungkan informasi yang diperoleh dari
output permasalahan dengan informasi yang sebenarnya dibutuhkan ketika menentukan penyelesaian. Hal tersebut tentunya cukup rumit dilakukan,
sebab harus diketahui secara pasti bagaimana informasi yang ada pada output memberikan pengaruh terhadap masalah yang akan diselesaikan.
Perhatikan contoh di bawah ini.
Contoh 3.2.1
Carilah persamaan garis, jika diketahui data 0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 .
Penyelesaian: Diasumsikan bahwa data
0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 memenuhi persamaan garis
= + , dengan dan adalah konstanta yang
berubah-ubah. Sehingga, didapatkan sistem persamaan dengan variabel yang tidak diketahui dan ,
0 + = 3
+ = 6
2 + = 9
3 + = 15
Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis sebagai =
�, dengan
= , =
1 1
1 2
1 3
1 , � =
3 6
9
15 sehingga didapat
= �,
1 1
1 2
1 3
1 =
3 6
9
15 .
Kemudian dari persamaan tersebut diperoleh persamaan normal =
� sebagai
1 2
3 1
1 1
1 1
1 1
2 1
3 1
= 1
2 3
1 1
1 1
3 6
9
15 14
6 6
4 =
69 33
Dari persamaan normal di atas didapat matriks =
−
�, sebagai =
1 20
4 −6
−6 14 69
33
= 78
20 48
20 Sehingga, diperoleh nilai
=
78 20
=
39 10
= 3,9 dan =
48 20
=
24 10
= 2,4. Jadi, persamaan
garis yang
digunakan untuk
menghampiri data
0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 adalah = 3,9 + 2,4.
Dengan menggunakan persamaan
= 3,9 + 2,4 dapat diperoleh nilai
� baru
yang ditulis sebagai �
′
= 3,9 1
2 3
+ 2,4 1
1 1
1 =
2,4 6,3
10,2 14,1
.
Untuk menguji keakuratan persamaan = 3,9 + 2,4 dalam
menghampiri data 0,3 , 1,6 , 2,9 dan 3,15 . Akan ditunjukkan
dengan menghitung besar galat relatif yang terjadi antara
� dan �
′
, sehingga
� − �
′
= 3
6 9
15 −
2,4 6,3
10,2 14,1
= 0,6
−0,3 −1,2
0,9 dan � =
3 6
9
15
diperoleh sisa relatif sebagai � − �
′ ∞
�
∞
= 1,2
15 = 0,08.
Berdasarkan hasil di atas persamaan = 3,9 + 2,4 mempunyai sisa
relatif pada perhitungan sebesar 0,08, sehingga persamaan tersebut
merupakan persamaan yang akurat untuk digunakan sebagai penyelesaian. Ketika menyelesaikan suatu sistem persamaan terkadang mendapatkan
sistem yang tidak memiliki penyelesaian. Hal ini menyebabkan eksistensi dan ketunggalan dari penyelesaian menjadi tidak terpenuhi. Untuk itu
masalah yang akan diselesaikan perlu dimodifikasi ulang, sehingga dapat ditentukan suatu nilai yang memberikan penyelesaian dari masalah.
Contoh 3.2.2
Diberikan sistem
1
+
2
= 1
1
−
2
= 3 −
1
− 2
2
= −2
Carilah
1
dan
2
yang menyelesaikan persamaan tersebut.
Penyelesaian: Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis sebagai
= �, dengan
=
1 2
, = 1
1 1
−1 −1 −2
, � = 1
3 −2
sehingga didapat =
�, 1
1 1
−1 −1 −2
1 2
= 1
3 −2
.
Sistem tersebut dapat dinyatakan sebagai matriks diperbesar 1
1 1
−1 −1 −2
1 3
−2 sehingga menggunakan eliminasi Gauss didapatkan
1 1
1 −1
−1 −2 1
3 −2
⟶ 1
1 1
1 −1
1 .
Dari baris terakhir dari matriks yang sudah dieliminasi tersebut menunjukkan bahwa sistem adalah tak konsisten, sehingga menyebabkan
penyelesaian dari sistem menjadi tidak ada. Namun, nilai
� tersebut dapat
dihampiri dengan suatu tertentu sehingga galat di antara
�
′
dan �
dapat sekecil mungkin. Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil akan dicari sebuah
vektor , sehingga dapat ditentukan yang terdekat dengan
�. Metode kuadrat terkecil ini akan meminimumkan galat dari perhitungan
� − �
′
. Untuk menyelesaikan
=
� dengan metode kuadrat terkecil, maka kita
harus menggunakan persamaan normal =
�, sehingga diperoleh 1
1 −1
1 −1 −2
1 1
1 −1
−1 −2
1 2
= 1
1 −1
1 −1 −2
1 3
−2 3
−2 −2
6
1 2
= 6
−6 selanjutnya akan diselesaikan
=
−
�, sehingga didapat penyelesaian tunggal untuk , sebagai
=
1 2
= 1
12 6
2 2
3 6
−6 =
2 −0,5
.
