Restorasi Gambar menggunakan TSVD

Selanjutnya untuk memulihkan kembali gambar yang mengalami efek derau dapat dilakukan restorasi gambar. Langkah awal yang perlu dilakukan dalam proses restorasi adalah membentuk matriks pengaburan. Pembentukkan matriks pengaburan ini dimaksudkan untuk memodelkan efek derau yang terjadi, sehingga saat melakukan proses restorasi dapat dihasilkan penyelesaian optimal. Dalam proses restorasi ini akan digunakan matriks pengaburan yang dibentuk dengan a=zerosr,1; a1:5=[5:-1:1]25; A=toeplitza; Gambar 4.4. Visualisasi matriks pengaburan dimana toeplitz adalah matriks yang mempunyai entri konstan pada setiap diagonalnya. Gambar 4.4 menunjukkan visualisasi dari matriks pengaburan yang dibentuk dengan menggunakan toeplitz. Notasikan matriks pengaburan yang dibentuk sebagai matriks �, dimana matriks tersebut memliki ukuran piksel seperti gambar 4.3. Setelah mendapatkan model dari matriks pengaburan selanjutnya akan dihitung SVD dari matriks �. Dari perhitungan SVD tersebut didapatkan nilai-nilai singular � sebagai matriks Λ. Dengan memilih suatu parameter dapat dibentuk suatu matriks singular yang banyaknya nilai singularnya akan sama dengan yang dipilih. Matriks yang demikian disebut sebagai Λ . Dengan Λ yang diperoleh dapat dibentuk sebuah matriks Λ −1 . Dan hasil restorasi gambar digital dengan metode TSVD dituliskan dalam bentuk = Λ −1 �. Gambar di bawah ini menunjukkan hasil restorasi gambar dengan pemilihan = 200, Gambar 4.5. Gambar hasil restorasi TSVD dengan = 200 kemudian untuk mengetahui besar galat yang terjadi pada perhitungan restorasi, maka perlu dihitung norma antara gambar asli dengan gambar hasil restorasi. Semakin kecil norma yang didapat maka hasil restorasi yang diperoleh akan semakin baik, sebab hasil yang diperoleh semakin mendekati gambar aslinya. Pada gambar 4.5 hasil restorasi TSVD dengan = 200 memiliki norma sebesar 25,3104, tentunya hasil tersebut masih kurang optimal. Untuk mendapatkan hasil restorasi terbaik, maka harus dicari parameter yang mengoptimalkan proses restorasi. Berikut adalah hasil perhitungan norma yang bersesuaian dengan pemilihan parameter . Gambar 4.6. Grafik TSVD Dari gambar 4.6 di atas dapat dilihat besar norma yang terjadi pada setiap pemilihan parameter . Berdasarkan hasil tersebut nilai norma terkecil berada pada interval parameter 50,100 dengan norma di antara nilai 0 sampai 10. Dengan mempertimbangkan hal ini maka diperoleh grafik TSVD sebagai berikut Gambar 4.7. Grafik TSVD dengan axis[50 100 0 10] kemudian dengan mengubah axis[70 75 5 6] diperoleh Gambar 4.8. Grafik TSVD dengan axis[70 75 5 6] Dari gambar 4.8 terlihat bahwa nilai norma terkecil terletak di antara nilai 5,7 dan 5,8 yang berada pada = 73 dan = 74. Untuk mengetahui letak norma terkecil tersebut, maka dipilihlah axis[70 75 5.7 5.8] sehingga diperoleh Gambar 4.9. Grafik TSVD dengan axis[70 75 5.7 5.8] Berdasarkan hasil grafik TSVD pada gambar 4.9 didapatkan bahwa nilai norma terkecil diperoleh ketika dipilih parameter = 74. Dengan memilih parameter = 74 didapatkan hasil restorasi TSVD sebagai berikut Gambar 4.10. Gambar hasil restorasi TSVD dengan = 74 memiliki norma sebesar 5,7171 Dari hasil tersebut dapat dikatakan bahwa parameter = 74 memberikan nilai norma yang mengoptimalkan hasil restorasi gambar dengan metode TSVD. Bila dijelaskan dalam bentuk algoritma dan diagram alir, maka metode TSVD dapat digambarkan sebagai berikut: 1. Bentuk matriks pengaburan yang berukuran sama seperti gambar yang akan direstorasi. 2. Hitunglah SVD dari matriks pengaburan dengan menggunakan fungsi svd Matlab, dan plot nilai-nilai singularnya. 3. Tentukan parameter pemotongan untuk nilai-nilai singular yang diperoleh pada langkah 2, kemudian bentuk matriks Λ . 4. Dari Λ yang diperoleh bentuklah matriks Λ −1 . 5. Hitunglah = Λ −1 �. 6. Ulangi langkah 3 sampai 5 sampai mendapatkan parameter yang mengoptimalkan hasil restorasi. Kode sintaks dalam program MATLAB akan dilampirkan pada program 4.1a dan program 4.1b.

C. Restorasi Gambar menggunakan Regularisasi Tikhonov

Dalam melakukan proses restorasi gambar digital tentunya tidak hanya berhenti dengan menggunakan satu metode saja. Selain dengan metode TSVD di tulisan ini juga akan dibahas metode restorasi dengan menggunakan regularisasi Tikhonov. Regularisasi Tikhonov berbasis pada meminimalkan suatu fungsional min � − � 2 2 + 2 2 2 4.4 dengan adalah parameter regularisasi. Kemudian 4.4 dapat diformulasikan menjadi min � − �� 2 2 dan penyelesaian dari masalah tersebut diberikan oleh � � + 2 � = � � Λ Λ + 2 � = Λ � Λ Λ + 2 � = Λ � sehingga didapatkan hasil akhir = � 2 � 2 + 2 =1 . � � = � 2 � 2 + 2 =1 � � . Jika � = � 2 � 2 + 2 , = 1,2, … , maka dapat dibentuk Φ α = � 1 � 2 ⋱ 0 � , sehingga penyelesaian dari metode regularisasi Tikhonov didefinisikan sebagai = Φ α Λ −1 � = � =1 � � 4.5 Masalah meminimumkan fungsi persamaan 4.4 didasari pada fakta bahwa perhitungan � − � 2 2 harus memuat galat yang relatif kecil. Tetapi, jika karena alasan tersebut dipilih = � −1 � maka perhitungan galat 2 2 akan relatif besar. Sehingga dengan masalah meminimumkan fungsi di 4.4 diharapkan bahwa norma dari perhitungan � − � dan norma penyelesaian � memiliki galat yang relatif kecil. Sekarang akan dipertimbangkan efek dari pemilihan parameter regularisasi . Kasus pertama untuk faktor filter � dimana � , dengan menggunakan ekspansi Taylor 1 + −1 = 1 − + 1 2 2 + 3 diperoleh � = � 2 � 2 + 2 = 1 1 + 2 �2 = 1 − 2 � 2 + 1 2 4 � 4 + . Selanjutnya kasus kedua untuk faktor filter � dimana � . Dengan menggunakan ekspansi Taylor 1 + −1 diperoleh � = � 2 � 2 + 2 = � 2 2 1 1 + �2 2 = � 2 2 1 − � 2 2 + 1 2 � 4 4 + . Kemudian dapat dituliskan bahwa faktor filter Tikhonov memenuhi � = 1 − � 2 + � 4 , � � 2 + � 4 , � . 4.6 Ini berarti apabila dipilih � , � 1 maka � ≈ 1 untuk indeks kecil , sedangkan � ≈ � 2 2 untuk indeks yang besar. Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya akan dilihat hasil restorasi dari gambar 4.3 dengan metode regularisasi Tikhonov. Langkah awal proses restorasi ini adalah membentuk matriks pengaburan seperti terlihat pada gambar 4.4. Selanjutnya akan dihitung SVD dari matriks �, sehingga didapatkan nilai-nilai singular � sebagai matriks Λ. Kemudian dari nilai singular yang ada dipilih � dan � 1 . Hal ini dilakukan untuk menentukan parameter regularisasi , sebab nilai parameter regularisasi harus berada pada � , � 1 . Dari parameter yang dipilih dapat dibentuk sebuah matriks diagonal Φ α yang elemen diagonalnya adalah � . Hasil restorasi gambar digital dengan metode regularisasi Tikhonov dituliskan dalam bentuk = Φ α Λ −1 � dimana Φ α diperoleh dari � pada persamaan 4.6 . Gambar berikut menunjukkan hasil restorasi gambar 4.3 dengan menggunakan = 0.01, Gambar 4.11. Gambar hasil restorasi Tikhonov dengan = 0.01 Berdasarkan pengamatan, hasil restorasi pada gambar 4.11 ternyata masih memuat efek derau yang memiliki norma sebesar 22,89089. Akibatnya, hasil restorasi dengan = 0.01 belum menghasilkan penyelesaian yang optimal. Agar memperoleh penyelesaian terbaik harus dapat dicari nilai yang menghasilkan norma terkecil. Grafik di bawah ini menunjukkan hasil perhitungan norma pada setiap pemilihan parameter regularisasi � , � 1 dengan mengambil panjang langkah 0.01,