dengan model pembelajaran ARCS yang merupakan akronim dari empat variabel tersebut Attention, Relevance, Confidence, dan Satisfaction.
Guna mengetahui seberapa besar motivasi belajar siswa dapat diketahui dari seberapa jauh perhatian siswa dalam mengikuti pelajaran;
seberapa jauh siswa merasakan ada kaitan atau relevansi ini pembelajaran dengan kebutuhannya; seberapa jauh siswa merasa yakin terhadap
kemampuannya dalam mengerjakan tugas-tugas pembelajaran; serta seberapa jauh siswa merasa puas terhadap kegiatan belajar yang telah
dilakukan. Keempat variabel tersebut merupakan kondisi-kondisi yang nampak dalam diri siswa selama mengikuti pembelajaran.
8. Model Pembelajaran ARCS
Menurut Made Wena 2009: 36, secara garis besar ada tiga jenis strategi untuk membangkitkan dan mempertahankan perhatian siswa
dalam pembelajaran, yaitu: a.
membangkitkan daya persepsi siswa, b.
menumbuhkan hasrat ingin meneliti, dan c.
menggunakan strategi pembelajaran yang bervariasi. Pada dasarnya ada tiga jenis strategi guna meningkatkan relevansi
isi pembelajaran dengan kebutuhan siswa, yaitu: a.
keakraban atau kebiasaan, b.
berorientasi pada tujuan, dan c.
motif yang sesuai Made Wena, 2009: 39. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Menurut Keller Kopp 1987 dalam Made Wena 2009: 41, pada dasarnya ada tiga jenis strategi untuk menumbuhkan keyakinan
pada diri siswa, yaitu: a.
prasyarat belajar, b.
kesempatan sukses, dan c.
kontrol pribadi. Menurut Keller Kopp 1987 dalam Made Wena 2009: 44,
pada dasarnya ada tiga jenis strategi pengelolaan motivasional untuk membangkitkan kepuasan dalam pembelajaran, yaitu:
a. konsekuensi alami,
b. konsekuensi positif, dan
c. kewajaran.
9. Materi Operasi Hitung Bilangan Bulat
Bilangan bulat merupakan kumpulan bilangan negatif, nol, dan bilangan positif. Operasi hitung bilangan bulat meliputi operasi hitung
penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan akar kuadrat pada bilangan bulat Sukino dan Wilson Simangunsong,
2006: 2. a.
Penjumlahan Penjumlahan bilangan bulat dapat diselesaikan menggunakan garis
bilangan Cholik Adinawan Sugijono, 2013. Aturan penjumlahan pada garis bilangan adalah sebagai berikut:
1 Tanda pada bilangan menyatakan arah, tanda positif berarti ke
kanan dan tanda negatif berarti ke kiri. 2
Penjumlahan berarti melangkah maju. Contoh:
Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah: a
5 + 3 b
5 + -3 c
-5 + 3 d
-5 + -3 Penyelesaian:
a Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kanan sehingga diperoleh
bilangan 5, kemudian maju 3 langkah ke kanan. Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang
terletak pada ujung langkah kedua, yaitu 8.
Jadi, 5 + 3 = 8 b
Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kanan sehingga diperoleh bilangan 5, kemudian arahkan ke kiri lalu maju 3 langkah. Hasil
penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu 2.
Gambar 2.1 Penyelesaian soal 5 + 3 menggunakan garis bilangan
9 8
7 6
5 4
3 2
1 -1
-2 -3
-4 -5
5 3
8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi, 5 + -3 = 2 c
Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kiri sehingga diperoleh bilangan -5, kemudian arahkan ke kanan lalu maju 3 langkah.
Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu -2.
Jadi, -5 + 3 = -2 d
Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kiri sehingga diperoleh bilangan -5, kemudian arahkan ke kanan lalu maju 3 langkah.
Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu -8.
Gambar 2.2 Penyelesaian soal 5 + -3 menggunakan garis bilangan
9 8
7 6
5 4
3 2
1 -1
-2 -3
-4 -5
5 -3
2
Gambar 2. 3 Penyelesaian soal -5 + 3 menggunakan garis bilangan
9 8
7 6
5 4
3 2
1 -1
-2 -3
-4 -5
-5 3
-2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi, -5 + -3 = -8 b.
Sifat Penjumlahan Cholik Adinawan Sugijono, 2013 1
Sifat Tertutup Hitunglah setiap penjumlahan berikut ini
a. 5 + 12
b. -7 + 6
c. -15 + -18
Penyelesaian: a.
5 + 12 = 17 b.
-7 + 6 = -{7 + -6} = -1 c.
-15 + -18 = -15 + 8 = -23 Berdasarkan uraian di atas, dapat dirumuskan:
Jika a dan b bilangan bulat sembarang, maka a + b juga bilangan bulat. Sifat ini dinamakan sifat tertutup penjumlahan.
2 Sifat Asosiatif
Hitunglah penjumlahan {4 + -2} + 9 dan 4 + -2 + 9. Penyelesaian:
{4 + -2} + 9 = 2 + 9 = 11 dan 4 + -2 + 9 = 4 + 7 = 11
Gambar 2.4 Penyelesaian soal -5 + -3 menggunakan garis bilangan
5 4
3 2
1 -1
-2 -3
-4 -5
-6 -7
-8 -9
-5 -8
-3 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi, {4 + -2} + 9 = 4 + -2 + 9 = 11 Berdasarkan contoh di atas itu dapat dikemukakan bahwa:
untuk a, b, dan c bilangan bulat sembarang, berlaku:
a + b + c = a + b + c.
Sifat ini dinamakan sifat asosiatif penjumlahan. 3
Unsur Identitas Jika a adalah bilangan bulat sebarang, maka berlaku:
a + 0 = 0 + a = a Bilangan 0 dinamakan unsur identitas elemen netral
Contoh: Hitunglah nilai dari 7 + 0 dan 0 + -11.
Penyelesaian: 7 + 0 = 7
0 + -11 = -11 4
Invers Operasi Hitung Penjumlahan Invers dari suatu bilangan maksudnya lawan dari suatu
bilangan. Suatu bilangan dikatakan memiliki invers jika hasil dari penjumlahan suatu bilangan dengan invers bilangan tersebut
hasilnya merupakan unsur identitas 0 nol. Invers pada operasi hitung penjumlahan secara umum dapat
dirumuskan sebagai berikut:
a + a = a + a = 0
Contoh: i.
-4 lawan dari 4 atau lawan dari 4 adalah -4, sehingga -4 + 4 = 4 + -4 = 0
ii. -3 lawan dari 3 atau lawan dari 3 adalah -3, sehingga
-3 + 3 = 3 + -3 = 0 iii.
2 lawan dari -2 atau lawan dari -2 adalah 2, sehingga 2 + -2 = -2 + 2 = 0
iv. 3 lawan dari -3 atau lawan dari -3 adalah 3, sehingga
3 + -3 = -3 + 3 = 0 5
Sifat Komutatif Jika a dan b masing-masing bilangan bulat sembarang,
maka a + b = b + a. Sifat ini dinamakan sifat komutatif penjumlahan.
Contoh: Hitunglah penjumlahan -5 + 20 dan 20 + -5.
Penyelesaian: -5 + 20 = 15 dan 20 + -5 = 15
Jadi, -5 + 20 = 20 + -5 = 15 c.
Pengurangan Pengurangan pada bilangan bulat juga dapat dilakukan
dengan menggunakan garis bilangan Cholik Adinawan Sugijono, 2013.
Aturan pengurangan pada garis bilangan adalah sebagai berikut: 1
Tanda pada bilangan menyatakan arah, tanda positif berarti ke kanan dan tanda negatif berarti ke kiri.
2 Pengurangan berarti melangkah mundur.
Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah: a
5 – 3 b
5 – -3 c
-5 – 3 d
-5 – -3 Penyelesaian:
i. Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kanan sehingga diperoleh
bilangan 5, lalu mundur 3 langkah ke kiri. Selisih kedua bilangan itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua,
yaitu 2.
Jadi, 5 – 3 = 2.
ii. Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kanan sehingga diperoleh
bilangan 5, kemudian arahkan ke kiri lalu mundur 3 langkah. Selisih kedua bilangan itu ditunjukkan oleh angka yang terletak
pada ujung langkah kedua, yaitu 8. 5
Gambar 2.5 Penyelesaian soal 5
–
3 menggunakan garis bilangan
7 6
5 4
3 2
1 -1
-2 -3
-4 -5
-6 -7
2 3
Jadi, 5 – -3 = 8.
iii. Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kiri sehingga diperoleh
bilangan -5, kemudian arahkan ke kanan lalu mundur 3 langkah. Selisih kedua bilangan itu ditunjukkan oleh angka yang terletak
pada ujung langkah kedua, yaitu -8.
Jadi, -5 – 3 = -8
.
iv. Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kanan sehingga diperoleh
bilangan 5, kemudian arahkan ke kiri lalu mundur 3 langkah. Selisih kedua bilangan itu ditunjukkan oleh angka yang terletak
pada ujung langkah kedua, yaitu -2. .
Gambar 2.6 Penyelesaian soal 5
–
-3 menggunakan garis bilangan
8 7
6 5
4 3
2 1
-1 -2
-3 -4
-5 -6
5 8
3
Gambar 2.7 Penyelesaian soal -5
–
-3 menggunakan garis bilangan
6 5
4 3
2 1
-1 -2
-3 -4
-5 -6
-7 -8
5 3
-8
Gambar 2.8 Penyelesaian soal 5
–
-3 menggunakan garis bilangan
8 7
6 5
4 3
2 1
-1 -2
-3 -4
-5 -6
3 5
8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi, 5 – -3 = 8.
d. Pengurangan sebagai Penjumlahan dengan Lawan Bilangan
Pengurangnya Cholik Adinawan Sugijono, 2013 Contoh:
i 5 – 2 dapat dituliskan kedalam bentuk penjumlahan yaitu 5
ditambah dengan lawan dari bilangan 2 yaitu -2. Sehingga 5
– 2 dapat dituliskan menjadi 5 + -2. ii -5
– 2 dapat dituliskan kedalam bentuk penjumlahan yaitu - 5 ditambah dengan lawan dari bilangan 2 yaitu -2.
Sehingga -5 – 2 dapat dituliskan menjadi -5 + -2.
iii 5 – -2 dapat dituliskan kedalam bentuk penjumlahan yaitu
5 ditambah dengan lawan dari bilangan -2 yaitu 2. Sehingga 5
– -2 dapat dituliskan menjadi 5 + 2. iv
-5 – -2 dapat dituliskan kedalam bentuk penjumlahan yaitu -5 ditambah dengan lawan dari bilangan -2 yaitu 2.
Sehingga -5 – -2 dapat dituliskan menjadi -5 + 2.
Penyelesaian: i
5 – 2 = 3 dan 5 + -2 = 3 Jadi, 5
– 2 = 5 + -2 = 3 ii
-5 – 2 = -7 dan -5 + -2 = -7 Jadi, -5
– 2 = -5 + -2 = -7 iii
5 – -2 = 7 dan 5 + 2 = 7 Jadi, 5
– -2 = 5 + 2 = 7 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv -5 – -2 = -3 dan -5 + 2 = -3
Jadi, -5 – -2 = -5 + 2 = -3
Dengan demikian, untuk setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku:
a – b = a + -b
Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa: Mengurangkan suatu bilangan bulat dengan bilangan bulat yang lain
ekuivalen dengan menambah bilangan yang pertama dengan lawan
atau invers jumlah dari bilangan kedua.
e. Sifat Pengurangan Cholik Adinawan Sugijono, 2013
1 Sifat Tertutup
Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka hasil dari a
– b selalu bilangan bulat.
Contoh: Hitunglah bentuk 15
– 6 dan -4 – 7 Penyelesaian:
15 – 6 = 9
-4 – 7 = -4 + 7 = -11
Jadi, pengurangan antar bilangan bulat bersifat tertutup. 2
Sifat Asosiatif Jika a, b, dan c bilangan bulat, maka tidak berlaku
a – b – c = a – b – c.
Contoh: Hitunglah 6
– 4 – 3 dan 6 – 4 – 3 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Penyelesaian: 6
– 4 – 3 = 2 – 3 = -1 dan 6 – 4 – 3 = 6 – 1 = 5 Jadi, 6
– 4 – 3 6 – 4 – 3 Jadi, sifat asosiatif tidak berlaku pada pengurangan bilangan bulat.
3 Sifat Komutatif
Jika a dan b bilangan bulat sembarang, maka tidak berlaku hubungan a
– b = b – a. Contoh:
Hitunglah 5 – 2 dan 2 – 5.
Penyelesaian: 5
– 2 = 3 dan 2 – 5 = -3 Jadi, 5
– 2 2 – 5 Jadi, pada pengurangan tidak berlaku sifat-sifat komutatif.
f. Perkalian pada bilangan bulat
Perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut
Cholik Adinawan Sugijono, 2013
. 4
5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 5
4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 Meskipun hasilnya sama, perkalian 4
5 dan 5 4 berbeda
makna. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.
Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif maka
n a
=
a + a + a + ...
+ a
sebanyak
n
suku g.
Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat Cholik Adinawan Sugijono, 2013
1 Sifat tertutup
Jika a dan b adalah sembarang bilangan bulat maka a b juga
bilangan bulat. Hal ini berarti perkalian antara bilangan bulat memenuhi sifat tertutup.
Contoh: 3
8 = 24 3
–8 = -24 –3 8 = -24
–3 –8 = 24 2
Sifat asosiatif Jika a, b, dan c adalah sembarang bilangan bulat maka berlaku a
b c = a b c. Sifat ini disebut sifat asosiatif
pengelompokan perkalian. Contoh:
a 3 –2 4 = –24
3 –2 4 = –24
b –2 6 4 = –48
–2 6 4 = –48 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3 Memiliki elemen identitas
Jika a adalah sembarang bilangan bulat maka berlaku a
1 = 1 a = a. Bilangan 1 satu disebut elemen identitas pada perkalian.
Contoh: a
3 1 = 3 1
3 = 3 b
–4 1 = –4 1
–4 = –4 4
Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku:
a a b + c = a b + a c distributif kiri
b a + b c = a c + b c distributif kanan
Contoh: i
2 4 + –3 = 2 2
4 + 2 –3 = 2 ii
–8 + 5 –3 = 9 –8 –3 + 5 –3 = 9
5 Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku: a
a b c = a b a c distributif kiri b
a b c = a c b c distributif kanan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh: i.
5 8 – –3 = 55 5
8 – 5 –3 = 55 ii.
–7 – 4 6 = –66 –7 6 – 4 6 = –66
6 Sifat komutatif
Jika a dan b adalah sembarang bilangan bulat maka selalu berlaku a
b = b a. Sifat ini disebut sifat komutatif pertukaran pada perkalian.
Contoh: a
2 –5 = –10 –5 2 = –10
b –3 –4 = 12
–4 –3 = 12 h.
Menghitung hasil perkalian bilangan bulat Bentuk umum dari perkalian bilangan bulat adalah sebagai berikut:
Jika p dan q adalah bilangan bulat maka: a
p q = pq; b
p –q = –p q Akan dibuktikan p
–q = –p q Bukti:
p = 0
p q + = p 0
manipulasi aljabar dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
q + = 0
p q + p q = 0
distributif perkalian terhadap penjumlahan
p q + p q = p q + p q manipulasi aljabar
dengan p q + p q = 0
p q = p q
kedua ruas dikurangi p q
c –p q = –p q = –pq;
Akan dibuktikan bahwa –p q = –p q
Bukti: –p q
= q –p
sifat komutatif pada perkalian =
–q p pembuktian b
= –p q = –pq; sifat komutatif pada perkalian
d –p –q = p q = pq.
Akan dibuktikan –p –q = p q
Bukti: –p –q = –p –q sifat asosiatif pada perkalian
= ––p q pembuktian b
= p q
invers penjumlahan i.
Pembagian Bilangan Bulat Pembagian merupakan operasi kebalikan invers dari perkalian.
Secara umum dapat ditulis sebagai berikut. Jika p, q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, dan q
0 maka berlaku
p : q = r jika dan hanya jika p = q r.
Contoh: Perhatikan uraian berikut.
a 3 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis 1
4 = 12 12 : 3 = 4. 4
3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis
4 3 = 12 12 : 4 = 3
j. Menghitung hasil pembagian bilangan bulat
Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q 0 dan memenuhi p : q = r
berlaku 1
jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif; 2
jika p, q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif. k.
Pembagian dengan bilangan nol Untuk setiap a bilangan bulat berlaku
a 0 = 0
0 : a = 0 Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut:
Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a 0.
Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi. l.
Perpangkatan Bilangan Bulat Husein Tampomas, 2007 Perpangkatan suatu bilangan artinya perkalian berulang dengan
bilangan yang sama. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh: 2
1
= 2 2
2
= 2 2 2
2
dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2 = 4
2
3
= 2 2 2 2
3
dibaca 2 pangkat 3 = 8
2
n
= 2 2 2 ... 2 2
n
dibaca 2 pangkat n Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
p
n
= p p p ... p p sebanyak n kali
Dengan p disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat eksponen. Untuk p
0 maka p = 1 dan p
1
= p. Pada perpangkatan bilangan bulat p
n
, perhatikan bilangan pokoknya. p
n
= p p p ... p p sebanyak n kali
-p
n
= -p p p ... p p sebanyak n kali
-p
n
= -p -p -p ... -p -p sebanyak n kali
m. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Husein Tampomas, 2007
1 Sifat perkalian bilangan berpangkat
Contoh: 3
2
3
3
= 3 3 3 3 3
= 3 3 3 3 3
= 3
5
2 faktor 3 faktor
2 + 3 faktor PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat maka p
m
p
n
= p p ... p p p ... p
= p p ... p p p ... p
= p
m + n
p
m
p
n
= p
m + n
2 Sifat pembagian bilangan berpangkat
Perhatikan pembagian bilangan bulat berpangkat berikut. 5
5
: 5
3
= 5 5 5 5 5 : 5 5 5
= 5 5
= 5
2
Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat maka p
m
: p
n
= p p ... p : p p ... p
= p p ... p
= p
m - n
p
m
: p
n
= p
m – n
3 Sifat perpangkatan bilangan berpangkat
Perhatikan perpangkatan bilangan bulat berpangkat berikut. n faktor
m + n faktor m faktor
5 faktor 3 faktor
5 – 3 faktor
m faktor n faktor
m – n faktor
= = 2
2 2 2 2 2 = 2
2 2 2 2 2 = 2
6
Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat positif maka =
... = p
p ... p p p ... p p p ... p = p
p ... p p p ... p p p ... p =
= 4
Sifat perpangkatan suatu perkalian atau pembagian Perhatikan uraian berikut.
5 2
3
= 10
3
= 10 10
10 = 1.000 5
2
3
= 5
3
2
3
= 125 8 = 1.000
2 3
2
= 6
2
= 36 2
3
2
= 2
2
3
2
= 4 9 = 36
Berdasarkan uraian di atas, dapat dituliskan sebagai berikut. Jika m bilangan bulat positif dan p, q bilangan bulat maka
p q
m
= p q p q ... p q
= p p ... p p p ... p
= p
q
m
= PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
n. Akar Kuadrat Utama Bilangan Bulat
Akar kuadrat adalah kebalikan dari pangkat dua. Setiap bilangan posiif mempunyai dua akar kuadrat. Misalnya, dua akar
kuadrat dari 9 adalah 3 dan 3, dua akar dari 100 adalah 10 dan 10.
Untuk a 0, lambang , disebut akar kuadrat utama dari a, yang
menunjukan akar kuadrat tak negatif dari a. Jadi
= 3 dan =
= 10.
Sehingga secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut:
Jika a
2
= b maka = Purcell, 1987: 21.
Contoh: 1.
, karena 4
2
= 4 4 = 16
2. , karena 13
2
= 13 13 = 169
3. Untuk mengetahui nilai
, tentukan letak bilangan 1.225 terlebih dahulu. Bilangan 1.225 terletak di antara 30
2
= 900 dan 40
2
= 1.600. Jadi,
terletak di antara nilai 30 dan 40. Bilangan bulat antara 30 dan 40 yang kuadratnya bersatuan 5 adalah 35. Jadi,
= 35, karena 35
2
= 35 35 = 1.225
Husein Tampomas, 2007 .
B. Kerangka Berpikir
