29
2. Kesetangkupan dan Kaidah Noether Untuk Teori Lagrangan Suatu
Medan Yang Diperumum Pada bagian sebelumnya telah dibahas prinsip aksi terkecil yang diterapkan
dalam penurunan persamaan Euler-Lagrange yang diperumum. Persamaan Euler- Lagrange yang diperumum pada akhirnya akan menghasilkan persamaan-persamaan
medan yang menggambarkan dinamika suatu medan. Dengan demikian persamaan Euler-Lagrange yang diperumum ekivalen dengan persamaan-persamaan medan terse-
but, dengan kata lain persamaan Euler-Lagrange yang diperumum menggambarkan
dinamika suatu medan. Prinsip aksi terkecil selain menghasilkan III.16 juga dapat memberikan gambaran yang jelas mengenai kesetangkupan dan teorema Noether.
Suatu sistem fisis digambarkan oleh rapat Lagrangan L dan aksi I yang saling
terkait oleh persamaan III.6. Suatu sistem fisis dikatakan setangkup terhadap su- atu transformasi jika transformasi tersebut tidak menyebabkan perubahan pada per-
samaan yang menggambarkan dinamika medan. Hal ini dapat terpenuhi jika aksi I
invarian terhadap transformasi yang berkaitan. Teorema Noether mengatakan bahwa kesetangkupan suatu sistem fisis terhadap suatu transformasi berkaitan dengan
keberadaan suatu kuantitas yang lestari . Dalam telaah berikut akan ditunjukkan
bahwa teorema Noether merupakan konsekuensi dari prinsip aksi terkecil.
Ditinjau persamaan III.6 dengan R sembarang daerah integrasi pada ruang
berdimensi empat. Selain itu persyaratan δx
ν
= δψ = δ
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
= 0 di ∂R tidak lagi diberlakukan. Dengan demikian persamaan III.14 menjadi
δI = Z
R
∂L ∂ψ
+
n
X
j =1
−1
j
∂
j
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
δψd
4
x
+
n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
Z
∂R
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
30
× ∂
j−k
δψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
dσ
µ
k
+ Z
∂R
Lδx
ν
dσ
ν
.
Karena untuk setiap nilai k integrasi kedua meliputi daerah ∂R yang sama dan juga
karena µ
k
merupakan indeks boneka dummy indices, maka dapat di-set dσ
µ
1
= dσ
µ
2
= · · · = dσ
µ
k
= dσ
α
dengan mengadakan pertukaran indeks µ
k
dengan α,
sehingga persamaan di atas menjadi
δI = Z
R
∂L ∂ψ
+
n
X
j =1
−1
j
∂
j
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
δψd
4
x
+ Z
∂R n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
···∂x
µk−1
∂x
α
···∂x
µj
× ∂
j−k
δψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
dσ
α
+ Z
∂R
Lδx
ν
dσ
ν
. III.17
Jika suatu sistem fisis setangkup terhadap transformasi III.7 dan III.8, maka per- samaan III.16 tetap berlaku sehingga
Z
R
∂L ∂ψ
+
n
X
j =1
−1
j
∂
j
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
δψd
4
x = 0. III.18
Medan ψ dan turunan-turunannya
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
selain mengalami transformasi
ψ →
ψ + δψ
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
→
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
+ δ
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
=
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
+
∂
j
δψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
juga akan tertransformasi karena transformasi ruang-waktu x
ν
→ x
ν
+ δx
ν
. Akibat- nya terdapat variasi total untuk
ψ dan
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
sebagai berikut
∆ψ = ψ
′
x
′
− ψx = δψ + ∂ψ
∂x
ν
δx
ν
31
∆ ∂
j
ψ ∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
= ∂
j
ψ
′
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
x
′
− ∂
j
ψ ∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
x = δ
∂
j
ψ ∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
+ ∂
∂x
ν
∂
j
ψ ∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
δx
ν
. III.19
Dengan mensubstitusikan persamaan III.18 ke dalam persamaan III.17 dan meng- gunakan persamaan III.19, maka persamaan III.17 menjadi
δI = Z
∂R n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
···∂x
α
···∂x
µj
×∆ ∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
−
n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
× ∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
···∂x
α
···∂x
µj
∂ ∂x
ν
∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
−Lδ
α ν
δx
ν
dσ
α
. III.20
Dengan mendefinisikan
T
α ν
=
n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
···∂x
α
···∂x
µj
× ∂
∂x
ν
∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
− Lδ
α ν
III.21
sebagai tensor energi-momentum, maka persamaan III.20 dapat dituliskan sebagai
berikut:
δI = Z
∂R n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
∂x
µ2
···∂x
µj
×∆ ∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
− T
µ
k
ν
δx
ν
dσ
µ
k
. III.22
32
Kesetangkupan suatu sistem fisis mensyaratkan bahwa I tidak berubah oleh
transformasi III.7 dan III.8, yang berarti I tetap memenuhi prinsip aksi terkecil,
akibatnya δI = 0.
III.23 Dengan menggunakan teorema Gauss serta persamaan III.23 dan III.22 diperoleh
Z
R
∂ ∂x
α n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
···∂x
α
···∂x
µj
×∆ ∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
− T
α ν
δx
ν
d
4
x = 0. III.24
Karena R sembarang, maka integrand persamaan III.24 harus lenyap, sehingga
diperoleh persamaan kontinuitas berikut: ∂
∂x
α n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
···∂x
α
···∂x
µj
×∆ ∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
− T
α ν
δx
ν
= 0. III.25
Pengintegralan terhadap kedua ruas pada persamaan III.25 meliputi seluruh ruang konfigurasi menghasilkan
0 = Z
∞ −∞
∂ ∂x
α n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
µ1
···∂x
α
···∂x
µj
×∆ ∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
− T
α ν
δx
ν
d
3
x = d
dx Z
∞ −∞
n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
× ∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂x
∂x
µ1
···∂x
µk−1
∂x
µk+1
···∂x
µj
×∆ ∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
− T
ν
δx
ν
d
3
x. III.26
33
Pada langkah terakhir suku berikutnya lenyap dengan menggunakan teorema Gauss pada ruang berdimensi tiga dan diasumsikan integrand suku tersebut lenyap di
|~r| → ∞. Karena x
= ct, akhirnya diperoleh d
dt Z
∞ −∞
n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂t∂x
µ1
···∂x
µk−1
∂x
µk+1
···∂x
µj
×∆ ∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
− 1
c T
ν
δx
ν
d
3
x = 0. III.27
Persamaan III.27 menunjukkan terdapatnya suatu besaran yang lestari akibat ke- setangkupan terhadap transformasi yang digambarkan oleh persamaan III.7 dan
III.8. Dengan demikian tampak bahwa teorema Noether merupakan konsekuensi dari prinsip aksi terkecil.
3. Homogenitas Ruang-Waktu