Kesetangkupan dan Kaidah Noether Untuk Teori Lagrangan Suatu

29

2. Kesetangkupan dan Kaidah Noether Untuk Teori Lagrangan Suatu

Medan Yang Diperumum Pada bagian sebelumnya telah dibahas prinsip aksi terkecil yang diterapkan dalam penurunan persamaan Euler-Lagrange yang diperumum. Persamaan Euler- Lagrange yang diperumum pada akhirnya akan menghasilkan persamaan-persamaan medan yang menggambarkan dinamika suatu medan. Dengan demikian persamaan Euler-Lagrange yang diperumum ekivalen dengan persamaan-persamaan medan terse- but, dengan kata lain persamaan Euler-Lagrange yang diperumum menggambarkan dinamika suatu medan. Prinsip aksi terkecil selain menghasilkan III.16 juga dapat memberikan gambaran yang jelas mengenai kesetangkupan dan teorema Noether. Suatu sistem fisis digambarkan oleh rapat Lagrangan L dan aksi I yang saling terkait oleh persamaan III.6. Suatu sistem fisis dikatakan setangkup terhadap su- atu transformasi jika transformasi tersebut tidak menyebabkan perubahan pada per- samaan yang menggambarkan dinamika medan. Hal ini dapat terpenuhi jika aksi I invarian terhadap transformasi yang berkaitan. Teorema Noether mengatakan bahwa kesetangkupan suatu sistem fisis terhadap suatu transformasi berkaitan dengan keberadaan suatu kuantitas yang lestari . Dalam telaah berikut akan ditunjukkan bahwa teorema Noether merupakan konsekuensi dari prinsip aksi terkecil. Ditinjau persamaan III.6 dengan R sembarang daerah integrasi pada ruang berdimensi empat. Selain itu persyaratan δx ν = δψ = δ ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj = 0 di ∂R tidak lagi diberlakukan. Dengan demikian persamaan III.14 menjadi δI = Z R ∂L ∂ψ + n X j =1 −1 j ∂ j ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj δψd 4 x + n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 Z ∂R ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj 30 × ∂ j−k δψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j dσ µ k + Z ∂R Lδx ν dσ ν . Karena untuk setiap nilai k integrasi kedua meliputi daerah ∂R yang sama dan juga karena µ k merupakan indeks boneka dummy indices, maka dapat di-set dσ µ 1 = dσ µ 2 = · · · = dσ µ k = dσ α dengan mengadakan pertukaran indeks µ k dengan α, sehingga persamaan di atas menjadi δI = Z R ∂L ∂ψ + n X j =1 −1 j ∂ j ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj δψd 4 x + Z ∂R n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ···∂x µk−1 ∂x α ···∂x µj × ∂ j−k δψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j dσ α + Z ∂R Lδx ν dσ ν . III.17 Jika suatu sistem fisis setangkup terhadap transformasi III.7 dan III.8, maka per- samaan III.16 tetap berlaku sehingga Z R ∂L ∂ψ + n X j =1 −1 j ∂ j ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj δψd 4 x = 0. III.18 Medan ψ dan turunan-turunannya ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj selain mengalami transformasi ψ → ψ + δψ ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj → ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj + δ ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj = ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj + ∂ j δψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj juga akan tertransformasi karena transformasi ruang-waktu x ν → x ν + δx ν . Akibat- nya terdapat variasi total untuk ψ dan ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj sebagai berikut ∆ψ = ψ ′ x ′ − ψx = δψ + ∂ψ ∂x ν δx ν 31 ∆ ∂ j ψ ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j = ∂ j ψ ′ ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j x ′ − ∂ j ψ ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j x = δ ∂ j ψ ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j + ∂ ∂x ν ∂ j ψ ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j δx ν . III.19 Dengan mensubstitusikan persamaan III.18 ke dalam persamaan III.17 dan meng- gunakan persamaan III.19, maka persamaan III.17 menjadi δI = Z ∂R n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ···∂x α ···∂x µj ×∆ ∂ j−k ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j − n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 × ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ···∂x α ···∂x µj ∂ ∂x ν ∂ j−k ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j −Lδ α ν δx ν dσ α . III.20 Dengan mendefinisikan T α ν = n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ···∂x α ···∂x µj × ∂ ∂x ν ∂ j−k ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j − Lδ α ν III.21 sebagai tensor energi-momentum, maka persamaan III.20 dapat dituliskan sebagai berikut: δI = Z ∂R n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ∂x µ2 ···∂x µj ×∆ ∂ j−k ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j − T µ k ν δx ν dσ µ k . III.22 32 Kesetangkupan suatu sistem fisis mensyaratkan bahwa I tidak berubah oleh transformasi III.7 dan III.8, yang berarti I tetap memenuhi prinsip aksi terkecil, akibatnya δI = 0. III.23 Dengan menggunakan teorema Gauss serta persamaan III.23 dan III.22 diperoleh Z R ∂ ∂x α n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ···∂x α ···∂x µj ×∆ ∂ j−k ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j − T α ν δx ν d 4 x = 0. III.24 Karena R sembarang, maka integrand persamaan III.24 harus lenyap, sehingga diperoleh persamaan kontinuitas berikut: ∂ ∂x α n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ···∂x α ···∂x µj ×∆ ∂ j−k ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j − T α ν δx ν = 0. III.25 Pengintegralan terhadap kedua ruas pada persamaan III.25 meliputi seluruh ruang konfigurasi menghasilkan 0 = Z ∞ −∞ ∂ ∂x α n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x µ1 ···∂x α ···∂x µj ×∆ ∂ j−k ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j − T α ν δx ν d 3 x = d dx Z ∞ −∞ n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 × ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂x ∂x µ1 ···∂x µk−1 ∂x µk+1 ···∂x µj ×∆ ∂ j−k ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j − T ν δx ν d 3 x. III.26 33 Pada langkah terakhir suku berikutnya lenyap dengan menggunakan teorema Gauss pada ruang berdimensi tiga dan diasumsikan integrand suku tersebut lenyap di |~r| → ∞. Karena x = ct, akhirnya diperoleh d dt Z ∞ −∞ n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂t∂x µ1 ···∂x µk−1 ∂x µk+1 ···∂x µj ×∆ ∂ j−k ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j − 1 c T ν δx ν d 3 x = 0. III.27 Persamaan III.27 menunjukkan terdapatnya suatu besaran yang lestari akibat ke- setangkupan terhadap transformasi yang digambarkan oleh persamaan III.7 dan III.8. Dengan demikian tampak bahwa teorema Noether merupakan konsekuensi dari prinsip aksi terkecil.

3. Homogenitas Ruang-Waktu