33
Pada langkah terakhir suku berikutnya lenyap dengan menggunakan teorema Gauss pada ruang berdimensi tiga dan diasumsikan integrand suku tersebut lenyap di
|~r| → ∞. Karena x
= ct, akhirnya diperoleh d
dt Z
∞ −∞
n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂t∂x
µ1
···∂x
µk−1
∂x
µk+1
···∂x
µj
×∆ ∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
− 1
c T
ν
δx
ν
d
3
x = 0. III.27
Persamaan III.27 menunjukkan terdapatnya suatu besaran yang lestari akibat ke- setangkupan terhadap transformasi yang digambarkan oleh persamaan III.7 dan
III.8. Dengan demikian tampak bahwa teorema Noether merupakan konsekuensi dari prinsip aksi terkecil.
3. Homogenitas Ruang-Waktu
Jika transformasi III.7 merupakan suatu translasi,
x
ν
→ x
ν
+ a
ν
; δx
ν
= a
ν
, III.28
maka medan ψ mengalami transformasi
ψ → ψ
′
dengan ψ
′
x = ψx − a
ν
∂ψ ∂x
ν
, yang berarti
δψ = −a
ν
∂ψ ∂x
ν
. III.29
34
Turunan-turunan medan ψ juga mengalami transformasi serupa
∂
j
ψ ∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
→ ∂
j
ψ ∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
− a
ν
∂ ∂x
ν
∂
j
ψ ∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
,
yang berarti
δ ∂
j
ψ ∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
= −a
ν
∂ ∂x
ν
∂
j
ψ ∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
. III.30
Jika persamaan III.29 dan III.30 disubstitusikan ke dalam persamaan III.19, diperoleh
∆ψ = 0 = ∆ ∂
j
ψ ∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
j
. III.31
Karena hukum fisika harus berlaku sama di mana-mana menandakan bah- wa ruang-waktu bersifat homogen, dengan demikian translasi III.28 tidak menye-
babkan perubahan rapat Lagrangan L dan aksi I, yang berarti persamaan III.27
berlaku. Dengan mensubstitusi persamaan III.28 dan III.31 ke dalam persamaan III.27 diperoleh
d dt
1 c
Z
∞ −∞
T
ν
d
3
x = 0, III.32
dengan kuantitas yang lestari adalah
P
ν
= 1
c Z
∞ −∞
T
ν
d
3
x. III.33
Kuantitas ini didefinisikan sebagai momentum-4 kovarian dari medan ψ. Pendefin-
isian ini dapat dipertegas sebagai berikut: kuantitas lestari yang menyertai kese- tangkupan terhadap suatu translasi ruang-waktu adalah momentum-4
. Kompo-
35
nen ν = 0 dari P
ν
adalah
P =
1 c
Z
∞ −∞
n
X
j =1
j
X
k =1
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂t∂x
µ1
···∂x
µk−1
∂x
µk+1
···∂x
µj
×−1
k− 1
∂ ∂t
∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
− L d
3
x =
1 c
H, III.34
dengan didefinisikannya tenaga total atau Hamiltonan medan ψ sebagai
H = Z
∞ −∞
T d
3
x. III.35
Integrand persamaan III.35 merupakan rapat Hamiltonan medan ψ. Sedangkan
komponen ν = i dari P
ν
adalah
P
i
= Z
∞ −∞
n
X
j =1
j
X
k =1
−1
k− 1
∂
k− 1
∂x
µ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
k−1
∂L ∂
∂
j
ψ ∂t∂x
µ1
···∂x
µk−1
∂x
µk+1
···∂x
µj
× ∂
∂x
i
∂
j−k
ψ ∂x
µ
k+1
· · · ∂x
µ
j
d
3
x, III.36
yang merupakan momentum-3 kovarian medan ψ. Kuantitas
1 c
T
i
didefinisikan seba- gai rapat momentum medan
ψ. Dengan demikian kesetangkupan terhadap translasi ruang-waktu membawa konsekuensi berlakunya hukum kelestarian momentum-4.
Kelestarian momentum dan tenaga medan ψ disebabkan karena medan ψ tidak
berinteraksi dengan lingkungan luar, dengan kata lain sistem yang ditinjau adalah suatu sistem yang tertutup. Setiap rapat Lagrangan yang tidak gayut pada
x
ν
secara eksplisit tidak akan berubah terhadap translasi III.28, sehingga aksi yang berkaitan
dengan rapat Lagrangan tersebut juga tidak berubah terhadap translasi III.28. Hal ini berarti bahwa setiap rapat Lagrangan
L yang tidak gayut pada x
ν
secara eksplisit menggambarkan suatu sistem yang tidak berinteraksi dengan lingkungan luar.
36
4. Isotropi Ruang
