14
sehingga dengan penguantuman kanonis, diperoleh
[ˆ π
j
, ˆ x
l
] = −~δ
l j
= − e
2 Bǫ
ij
[ˆ x
i
, ˆ x
l
], II.11
atau [ˆ
x
i
, ˆ x
l
] = i 2~
eB ǫ
il
. II.12
Jika dibandingkan dengan persamaan II.4, maka
θ
il
= 2~
eB ǫ
il
, i, l = 1, 2. II.13
Hal ini berkaitan dengan aras-aras Landau.
2. Bidang Tak Komutatif
Ditinjau kasus ruang tak-komutatif yang paling sederhana yakni bidang yang tidak komutatif dan himpunan
C
∞
R
2
, C. Selanjutnya hendak dibentuk aljabar tak komutatif
C
∞
R
2
, C, +, ⋆
2
, yakni dengan membentuk perkalian tak komutatif an- tara fungsi-fungsi anggota himpunan
C
∞
R
2
, C melalui pemetaan P
− 1
2
: O
2
→ C
∞
R
2
, C. Pada kasus bidang tak komutatif, koordinat-koordinat x
1
, x
2
merupakan observabel, sehingga wakilan operator liniernya
ˆ x
1
, ˆ x
2
bersifat Hermitan. Untuk itu ditinjau himpunan
S
R
2
⊂ C
∞
R
2
, C yang beranggotakan fungsi-fungsi licin yang semua turunannya orde berapapun meluruh lebih cepat daripada
1|~r|
N
, N = 1, 2, . . ., ketika |~r| → ∞. Setiap fungsi φ ∈ S
R
2
disebut sebagai fungsi yang meluruh dengan cepat rapidly decreasing function[Dunford dan Schwartz , 1971]
1
. Untuk setiap
φ = φ~r = φx
1
, x
2
∈ S
R
2
, terdapat padanannya di ruang
1
S
R
2
disertai operasi penjumlahan membentuk suatu ruang vector yang dikenal sebagai ruang fungsi Schwartz yang terdefinisikan pada R
2
. Secara umum ruang fungsi Schwartz dapat didefinisikan pada ruang R
D
, D = 1, 2, . . ., dan selanjutnya dilambangkan dengan S
R
D
, D = 1, 2, . . . dengan D
adalah dimensi ruang yang menjadi domain dari tiap-tiap anggota S
R
D
.
15
momentum-2 [Dunford dan Schwartz , 1971] ˜
φ~p = ˜ φp
1
, p
2
= h
− 1
Z
∞ −∞
φ~re
−
i ~
~ p·~
r
d
2
x, II.14
dan sebaliknya φ~r dapat dinyatakan sebagai transformasi Fourier balik
φ~r = h
− 1
Z
∞ −∞
˜ φ~pe
i ~
~ p·~
r
d
2
p. II.15
Pemetaan ˆ W := P
2
|
S
R2
memetakan tiap anggota S
R
2
ke ˆ W [S
R
2
] ⊂ O
2
, de- ngan perkalian pada
O
2
digantikan menjadi perkalian tak komutatif menurut kaitan
[ˆ x
j
, ˆ x
k
] = iθ
jk
, j, k = 1, 2. II.16
Bayangan φ di ˆ
W [S
R
2
] adalah
ˆ W [φ] = ˆ
φ = h
− 1
Z
∞ −∞
˜ φ~pe
i ~
p
j
ˆ x
j
d
2
p. II.17
Jika didefinisikan operator ˆ T ~p
ˆ T ~p := e
i ~
p
j
ˆ x
j
, II.18
maka persamaan II.17 dapat dituliskan sebagai ˆ
φ = h
− 1
Z
∞ −∞
˜ φ~p ˆ
T ~pd
2
p. II.19
Bayangan balik operator ˆ φ dapat diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat
16
operator ˆ T ~p, yakni
ˆ T
†
~p = ˆ
T −~p; II.20
ˆ T ~p ˆ
T ~ p
′
= ˆ
T ~p + ~ p
′
e
−
i 2~2
p
i
p
′ j
θ
ij
; II.21
tr ˆ T ~p = h
2
δ
2
~p. II.22
Persamaan II.21 diperoleh dengan menggunakan rumus Baker-Campbell-Hausdorff, sedangkan persamaan II.22 dibuktikan pada lampiran A. Jika ˆ
φ dikalikan dari kanan dengan ˆ
T
†
~ p
′
dan dilanjutkan dengan mengambil trace operator ˆ φ ˜
T
†
~ p
′
, diperoleh
tr[ ˆ φ ˆ
T
†
~ p
′
] = h Z
∞ −∞
˜ φ~pe
i 2~2
p
j
p
′ k
θ
jk
δ
2
~p − ~ p
′
d
2
p = h ˜
φ~ p
′
, II.23
atau ˜
φ~p = h
− 1
tr[ ˆ φ ˆ
T
†
~p], II.24
sehingga dengan menggunakan persamaan II.15, diperoleh
φ~r = h
− 2
Z
∞ −∞
e
i ~
~ p·~
r
tr[ ˆ φ ˆ
T
†
~p]d
2
p. II.25
Pemetaan ˆ W merupakan pemetaan bijektif dari S
R
2
menuju ˆ W [S
R
2
]. Andaikan ˆ
W [S
R
2
] subaljabar dari O
2
, +, · dengan perkalian pada O
2
merupakan perkalian yang tidak komutatif menurut kaitan II.16
2
. Perkalian antara operator-operator ˆ
φ
1
, ˆ φ
2
, . . . , ˆ φ
n
∈ ˆ W [S
R
2
] adalah ˆ
φ
1
ˆ φ
2
· · · ˆ φ
n
= h
−n
Z
∞ −∞
· · · Z
∞ −∞
˜ φ
1
~p
1
˜ φ
2
~p
2
· · · ˜ φ
n
~p
n
2
Asumsi ini benar jika S
R
2
, +, ⋆
2
, dengan ⋆
2
perkalian tak komutatif yang hendak diturunkan bentuk eksplisitnya, merupakan suatu aljabar asosiatif tak komutatif di atas lapangan kompleks.
17
= e
−
i 2~2
θ
lm
P
n jk
p
l j
p
m k
ˆ T
n
X
j =1
~p
j
d
2
p
1
· · · d
2
p
2
. II.26
Jika kedua ruas persamaan II.26 dikalikan dari kanan dengan ˆ T
†
~p dan diambil nilai trace-nya, maka diperoleh
tr[ ˆ φ
1
ˆ φ
2
· · · ˆ φ
n
ˆ T
†
~p] = h
2−n
Z
∞ −∞
· · · Z
∞ −∞
˜ φ
1
~p
1
˜ φ
2
~p
2
· · · ˜ φ
n
~p
n
×e
−
i 2~2
θ
lm
P
n jk
p
l j
p
m k
e
i 2~2
θ
lm
P
n j=1
p
l j
p
m
×δ
n
X
j =1
~p
j
− ~pd
2
p
1
· · · d
2
p
n
. II.27
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan II.27 dengan he
i ~
~ p·~
r
dan dilanjutkan den- gan pengintegralan ke seluruh nilai
p
1
, p
2
, diperoleh ˆ
W
− 1
[ ˆ φ
1
ˆ φ
2
· · · ˆ φ
n
] = h
− 2
Z
∞ −∞
e
i ~
~ p·~
r
tr[ ˆ φ
1
ˆ φ
2
· · · ˆ φ
n
]d
2
p = h
−n
Z
∞ −∞
· · · Z
∞ −∞
˜ φ~p
1
˜ φ~p
2
· · · ˜ φ
n
~p
n
e
i ~
~ p·~
r
×e
−
i 2~2
θ
lm
P
n jk
p
l j
p
m k
d
2
p
1
· · · d
2
p
n
= e
i 2
θ
lm
P
n jk
∂ ∂x
j l
∂ ∂xk
m
φ
1
~r
1
φ
2
~r
2
· · · φ
n
~r
n ~
r
1
=···=~ r
n
=~ r
:= φ
1
⋆
2
φ
2
⋆
2
· · · ⋆
2
φ
n
~r II.28
yang merupakan definisi perkalian tak komutatif antara anggota-anggota S
R
2
, untuk n = 2
φ
1
⋆ φ
2
~r = e
i 2
θ
lm ∂
∂x1 l
∂ ∂x2
m
φ
1
~r
1
φ
2
~r
2 ~
r
1
=~ r
2
=~ r
= φ
1
φ
2
~r +
∞
X
n =1
i 2
n
1 n
θ
j
1
k
1
· · · θ
j
n
k
n
× ∂
n
φ
1
∂x
j
1
· · · ∂x
j
n
~r ∂
n
φ
2
∂x
k
1
· · · ∂x
k
n
~r, II.29
18
yang merupakan anggota S
R
2
. Dengan demikian ⋆
2
merupakan operasi biner pa- da
S
R
2
. Karena menurut persamaan II.28 perkalian ⋆
2
bersifat asosiatif, maka S
R
2
, +, ⋆
2
merupakan aljabar asosiatif tak komutatif di atas lapangan kompleks. Hal ini juga membuktikan kebenaran asumsi bahwa ˆ
W [S
R
2
] merupakan subaljabar dari
O
2
, +, ·. Karena ˆ W = P
2
|
S
R2
dan P
2
bersifat bijektif, maka perkalian ⋆
2
merupakan perkalian tak komutatif pada C
∞
R
2
, C sehingga terbentuklah aljabar C
∞
R
2
, C, +, ⋆
2
yang asosiatif dan tidak komutatif di atas lapangan kompleks. Perkalian
⋆
2
disebut sebagai perkalian-bintang star-product yang terdefinisikan
pada bidang R
2
tak komutatif.
3. Ruang Minkowski Tak Komutatif
