MEDAN DIRAC PADA RUANG MINKOWSKI TAK

BAB V MEDAN DIRAC PADA RUANG MINKOWSKI TAK

KOMUTATIF Dalam bab sebelumnya telah dikemukakan bahwa penafsiran penyelesaian persamaan Klein-Gordon sebagai fungsi gelombang bagi suatu zarah tunggal menim- bulkan permasalahan mengenai rapat kebolehjadian yang dapat bernilai negatif ser- ta munculnya penyelesaian persamaan tersebut bagi zarah bebas dengan swanilai tenaga yang bernilai negatif. Munculnya rapat kebolehjadian yang dapat bernilai negatif dalam persamaan Klein-Gordon mendorong Dirac untuk memperoleh suatu persamaan relativistik yang cocok bagi elektron. Dirac menyadari bahwa timbulnya rapat kebolehjadian yang dapat bernilai negatif pada persamaan Klein-Gordon disebabkan karena rapat kebolehjadian terse- but mengadung turunan parsial terhadap waktu dari fungsi gelombang yang meru- pakan penyelesaian persamaan Klein-Gordon. Hal ini merupakan konsekuensi bahwa fungsi gelombang tersebut memenuhi persamaan differensial yang merupakan per- samaan differensial orde kedua terhadap waktu [Weinberg , 1995]. Dengan demikian Dirac berusaha merumuskan suatu persamaan differensial yang merupakan suatu per- samaan differensial orde pertama terhadap waktu, serta memenuhi persamaan IV.1 bagi suatu zarah tunggal yang bebas. Persamaan yang diperoleh Dirac adalah iγ µ ∂ψx ∂x µ − mψx = 0, V.1 dengan γ µ adalah matriks berorde 4 × 4 yang memenuhi kaitan {γ µ , γ ν } = 2g µν 1 4×4 ; γ µ† = γ γ µ γ V.2 54 55 dan ψx adalah suatu spinor-4. Salah satu bentuk matriks-matriks γ µ yang memenuhi persamaan V.2 dan yang lazim digunakan dalam pembahasan mengenai persamaan Dirac misalnya γ =    0 1 1 0    ; γ j =    σ j −σ j    dengan masing-masing elemen matriks-matriks di atas merupakan matriks-matriks dengan orde 2 × 2 dan σ j adalah matriks-matriks Pauli. Jika dimiliki seperangkat matriks γ µ yang memenuhi persamaan V.2 dan sembarang matriks uniter U maka γ ′µ = U γ µ U † akan memenuhi persamaan V.2 juga. Persamaan pendamping dari persamaan V.1 adalah i ∂ ¯ ψx ∂x µ γ µ + m ¯ ψx = 0, V.3 dengan ¯ ψx = ψ † xγ , dan ψ † x adalah pendamping Hermit fungsi gelombang ψx. Walaupun permasalahan mengenai kemunculan rapat kebolehjadian yang da- pat bernilai negatif teratasi oleh persamaan Dirac, namun penyelesaian persamaan Dirac dengan swanilai tenaga yang bernilai negatif tetap ada. Untuk mengatasi hal ini, Dirac menginterpretasikan penyelesaian persamaan V.1 dengan swanilai tenaga yang bernilai negatif sebagai fungsi gelombang yang menggambarkan keadaan suatu anti zarah yang memiliki tenaga positif, dan keadaan hampa diinterpretasikan seba- gai lautan yang dipenuhi oleh zarah dan anti zarah dengan tenaga negatif. Karena penyelesaian persamaan Dirac ψx dan ¯ ψx merupakan spinor-4 yang menggam- barkan keadaan zarah dan anti zarah yang memiliki spin 1 2 , zarah dan anti zarah terse- but taat statistik Fermi-Dirac, sehingga tidak mungkin bagi suatu zarah dan anti zarah meluruh dan menempati suatu keadaan dengan tenaga negatif tersebut. Interpretasi 56 ini jelas menimbulkan permasalahan baru, beberapa diantaranya adalah: • Fungsi gelombang ψ tidak lagi menggambarkan keadaan suatu zarah tunggal, melainkan menggambarkan keadaan suatu zarah dan sekaligus keadaan anti zarah. • Dengan interpretasi tersebut Dirac secara tidak langsung menyatakan bahwa zarah elementer tidak mungkin merupakan boson [Weinberg , 1995]. Hal ini bertentangan dengan hasil eksperimen yang menyatakan keberadaan zarah ele- menter yang merupakan boson. Untuk mengatasi permasalahan-permasalahan tersebut, maka ψx tidak la- gi dipandang sebagai suatu fungsi gelombang yang menggambarkan keadaan suatu zarah dan anti zarah, melainkan suatu medan spinor. Persamaan V.1 dan V.3 dapat diperoleh dari rapat Lagrangan L = ¯ ψ ⋆ iγ β ∂ψ ∂x β − mψ = ¯ ψiγ β ∂ψ ∂x β − m ¯ ψψ + ∞ X n =1 i 2 n 1 n θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n ν n × ∂ n ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n iγ β ∂ ∂x β ∂ n ψ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n − m ∂ n ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n × ∂ n ψ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n , V.4 dengan menggunakan persamaan Euler-Lagrange yang diperumum. Dengan mensu- bstitusi rapat Lagrangan L pada persamaan V.4 ke dalam persamaan III.21, diper- oleh tensor energi-momentum medan Dirac T α ν = ∞ X n =1 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 ν 2 · · · θ µ n−1 ν n ∂ n− 1 ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n−1 iγ α × ∂ ∂x ν ∂ n− 1 ψ ∂x ν 2 · · · ∂x ν n − m ∞ X n =1 i 2 n 1 n θ µ 1 α · · · θ µ n ν n 57 × ∂ n ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n ∂ ∂x ν ∂ n− 1 ψ ∂x ν 2 · · · ∂x ν n − ∞ X n =2 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 α · · · θ µ n−1 ν n ∂ ∂x ν 1 ∂ n− 1 ¯ ψ ∂x ν 1 · · · ∂x n− 1 ×iγ ν 1 ∂ ∂x ν ∂ n− 2 ψ ∂x ν 3 · · · ∂x ν n − δ α ν L. V.5 Karena berlakunya persamaan V.3, maka ∞ X n =2 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 α · · · θ µ n−1 ν n ∂ ∂x ν 1 ∂ n− 1 ¯ ψ ∂x mu 1 · · · ∂x µ n−1 iγ ν 1 × ∂ ∂x ν ∂ n− 2 ψ ∂x ν 3 · · · ∂x ν n = −m ∞ X n =2 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 α · · · θ µ n−1 ν n × ∂ n− 1 ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n−1 ∂ ∂x ν ∂ n− 2 ψ ∂x ν 3 · · · ∂x ν n = −m ∞ X n =1 i 2 n 1 n θ µ 1 α · · · θ µ n ν n × ∂ n ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n ∂ ∂x ν ∂ n− 1 ψ ∂x ν 2 · · · ∂x ν n , V.6 sehingga T α ν = ∞ X n =1 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 ν 2 · · · θ µ n−1 ν n ∂ n− 1 ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n−1 iγ α × ∂ ∂x ν ∂ n− 1 ψ ∂x ν 2 · · · ∂x ν n − δ α ν L = ∞ X n =0 i 2 n 1 n θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n ν n ∂ n ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n iγ α ∂ ∂x ν ∂ n ψ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n −δ α ν L = ¯ ψiγ α ∂ψ ∂x ν + ∞ X n =1 i 2 n 1 n θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n ν n ∂ n ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n iγ α × ∂ ∂x ν ∂ n ψ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n − δ α ν L = i ¯ ψ ⋆ γ α ∂ψ ∂x ν − δ α ν L, V.7 58 dan bentuk kontravariannya T αν = i ¯ ψ ⋆ γ α ∂ψ ∂x ν − g αν L. V.8 Rapat Hamiltonan medan Dirac adalah T 00 = iψ † ⋆ ∂ψ ∂t , V.9 sedangkan rapat momentum medan Dirac adalah T 0j = iψ † ⋆ ∂ψ ∂x j . V.10 Medan Dirac merupakan medan spinor spinor-4, sehingga momentum sudut total medan Dirac terdiri atas momentum sudut orbital M jk dan momentum sudut intrinsik S jk . Karena M ρβ = K ρβ + M ρβ dan M ρβ = x ρ T β − x β T ρ , cukup dicari kuantitas K ρβ . Jika persamaan V.4 disubstitusikan ke dalam persamaan III.56, diperoleh K ρβ = Z ∞ −∞ ∞ X n =1 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 ν 2 · · · θ µ n−1 ν n ∂ n− 1 ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n−1 iγ × n X l =2 g ρν l δ ν β − g βν l δ ν ρ ∂ n− 1 ψ ∂x ν ∂x ν 2 · · · ∂x ν l−1 ∂x ν l+1 · · · ∂x ν n −m i 2 n 1 n θ µ 1 α · · · θ µ n ν n ∂ n ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n n X l =2 g ρν l δ ν β − g βν l δ ν ρ × ∂ n− 1 ψ ∂x ν ∂x ν 2 · · · ∂x ν l−1 ∂x ν l+1 · · · ∂x ν n − ∞ X n =2 i 2 n− 1 1 n − 1 ×θ µ 1 · · · θ µ n−1 ν n ∂ ∂x ν 1 ∂ n− 1 ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n−1 iγ ν 1 n X l =3 g ρν l δ ν β − g βν l δ ν ρ × ∂ n− 2 ψ ∂x ν ∂x ν 3 · · · ∂x ν l−1 ∂x ν l+1 · · · ∂x ν n d 3 x 59 = Z ∞ −∞ ∞ X n =1 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n−1 ν n−1 ∂ n− 1 ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n−1 iγ × n− 1 X l =1 g ρν l δ ν β − g βν l δ ν ρ ∂ n− 1 ψ ∂x ν ∂x ν 1 · · · ∂x ν l−1 ∂x ν l+1 · · · ∂x nu n−1 d 3 x. V.11 Pada langkah terakhir telah digunakan persamaan V.3, sehingga ∞ X n =2 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 · · · θ µ n−1 ν n ∂ ∂x ν 1 ∂ n− 1 ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n−1 γ ν 1 × n X l =3 g ρν l δ ν β − g βν l δ ν ρ ∂ n− 2 ψ ∂x ν ∂x ν 3 · · · ∂x ν l−1 ∂x ν l+1 · · · ∂x ν n = −m ∞ X n =1 i 2 n 1 n θ µ 1 · · · θ µ n ν n ∂ n ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n n− 1 X l =2 g ρν l δ ν β − g βν l δ ν ρ × ∂ n− 1 ψ ∂x ν ∂x ν 2 · · · ∂x ν l−1 ∂x ν l+1 · · · ∂x ν n . Karena ∞ X n =1 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n−1 ν n−1 i ∂ n− 1 ψ † ∂x µ 1 · · · ∂x µ n−1 × n− 1 X l =1 g ρν l δ ν β − g βν l δ ν ρ ∂ n− 1 ψ ∂x ν ∂x ν 1 · · · ∂x ν l−1 ∂x ν l+1 · · · ∂x ν n−1 = i ∞ X n =1 i 2 n− 1 n − 1 n − 1 θ µ 1 ν 1 θ µ 2 ν 2 · · · θ µ n−1 ν n−1 ∂ ∂x µ 1 ∂ n− 2 ψ † ∂x µ 2 · · · ∂x µ n−1 = − 1 2 ∞ X n =0 i 2 n 1 n θ κλ θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n ν n ∂ ∂x κ ∂ n ψ † ∂x µ 1 · · · ∂x µ n × ∂ ∂x ν ∂ n ψ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n g ρλ δ ν β − g βλ δ ν ρ = 1 2 θ λκ g ρλ δ ν β − g βλ δ ν ρ ∂ψ † ∂x κ ⋆ ∂ψ ∂x ν , V.12 60 maka bentuk pada persamaan V.11 dapat dibuat menjadi lebih sederhana K ρβ = Z ∞ −∞ 1 2 θ λκ g ρλ δ ν β − g βλ δ ν ρ ∂ψ † ∂x κ ⋆ ∂ψ ∂x ν d 3 x, V.13 sehingga diperoleh K jk = Z ∞ −∞ 1 2 θ λκ g jλ δ ν k − g kλ δ ν j ∂ψ † ∂x κ ⋆ ∂ψ ∂x ν d 3 x. V.14 Dengan demikian momentum sudut orbital medan Dirac adalah M jk = Z ∞ −∞ n 1 2 θ λκ g jλ δ ν k − g kλ δ ν j ∂ψ † ∂x κ ⋆ ∂ψ ∂x ν + x j T k − x k T j o d 3 x. V.15 Koefisien R νβ pada persamaan III.41 untuk medan Dirac yang merupakan medan spinor adalah σ νβ = i 4 [γ ν , γ β ] dengan γ ν dan γ β adalah matriks-matriks Dirac yang memenuhi persamaan V.2. Dengan menggunakan persamaan III.54 dan V.4 akan diperoleh S ρβ = Z ∞ −∞ ∞ X n =1 n X k =1 ∂ k− 1 ∂x ν 1 · · · ∂x ν k−1 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 ν 2 · · · θ µ n−1 ν n × ∂ n− 1 ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n−1 iγ − m i 2 n 1 n θ µ 1 · · · θ µ n ν n × ∂ n ¯ ψ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n ∂ n−k ∂x ν 2 · · · ∂x ν n − i 2 σ ρβ ψ d 3 x = Z ∞ −∞ ∞ X n =1 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n−1 ν n−1 ∂ n− 1 ψ † ∂x µ 1 · · · ∂x µ n−1 i × ∂ n− 1 ∂x ν 1 · · · ∂x ν n−1 − i 2 σ ρβ ψ d 3 x = Z ∞ −∞ 1 2 ψ † ⋆ σ ρβ ψd 3 x, V.16 61 sehingga momentum sudut intrinsik medan Dirac adalah S jk = Z ∞ −∞ 1 2 ψ † ⋆ σ jk ψd 3 x, V.17 dan momentum sudut totalnya J jk = Z ∞ −∞ 1 2 θ λκ δ j λ g νk − δ k λ g νj ∂ψ † ∂x κ ⋆ ∂ψ ∂x ν + x j T 0k − x k T 0j + 1 2 ψ † ⋆ σ jk ψ d 3 x. V.18 Medan Dirac ψx dan pendampingnya ¯ ψx dapat dinyatakan sebagai ekspan- si Fourier ψx = Z ∞ −∞ m k X r n b r ~ku r ~ke − ik·x + d ∗ r ~kv r ~ke ik·x o d 3 k 2π 3 ; V.19 ¯ ψx = Z ∞ −∞ m k X r n b ∗ r ~k¯ u r ~ke ik·x + d r ~k¯ v r ~ke − ik·x o d 3 k 2π 3 , V.20 dengan u r ~k dan v r ~k adalah spinor-4 Dirac yang masing-masing berkaitan den- gan penyelesaian persamaan V.1 dengan tenaga yang bernilai positif dan negatif, sedangkan ¯ u r ~k = u † r ~kγ dan ¯ v r ~k = v † r ~kγ masing-masing berkaitan dengan penyelesaian persamaan V.3 dengan tenaga yang bernilai negatif dan positif. Masing-masing spinor-4 tersebut memenuhi kaitan u † r ~ku s ~k = v † r ~kv s ~k = ω ~ k m δ rs u † r ~kv s −~k = 0 Bentuk eksplisit Hamiltonan, momentum, dan momentum sudut medan Dirac diperoleh dengan mensubstitusi ψx dan ¯ ψx = ψ † xγ pada persamaan V.19 62 dan V.20 ke dalam persamaan V.8 dan V.18 serta menggunakan persamaan III.35 dan III.36. Substitusi tersebut menghasilkan Hamiltonan medan Dirac H = Z ∞ −∞ iψ † ⋆ ∂ψ ∂t d 3 x = Z ∞ −∞ m X r n b ∗ r ~kb r ~k − d r ~kd ∗ r ~k o d 3 k 2π 3 , V.21 dan momentum medan Dirac ~ P = − Z ∞ −∞ iψ † ⋆ ∇ψd 3 x = Z ∞ −∞ m~k k X r n b ∗ r ~kb r ~k − d r ~kd ∗ r ~k o d 3 k 2π 3 . V.22 Pada persamaan V.21 dan V.22 tampak bahwa Hamiltonan dan momentum medan Dirac pada ruang Minkowski yang tidak komutatif sama dengan Hamiltonan dan mo- mentum medan tersebut pada ruang Minkowski yang komutatif. Sekarang hendak ditinjau momentum sudut medan Dirac. Momentum sudut orbital medan Dirac adalah M jk = Z ∞ −∞ ℑ X r ∂b r ~k ∂k j k k − ∂b r ~k ∂k k k j b ∗ r ~k + ∂d ∗ r ~k ∂k j k k − ∂d ∗ r ~k ∂k k k j d r ~k md 3 k 2π 3 k , V.23 atau dapat dituliskan ~ M = Z ∞ −∞ ℑ X r hn ∇ ~ k b r ~k × ~k o b ∗ r ~k + n ∇ ~ k d ∗ r ~k × ~k o d r ~k i md 3 k 2π 3 k . V.24 Setelah bentuk eksplisit momentum sudut orbital medan Dirac diperoleh, maka dit- injau momentum sudut intrinsik medan Dirac. Untuk mencari bentuk eksplisit mo- 63 mentum sudut medan Dirac digunakan sifat spinor-4 Dirac dan sifat matriks-matriks Dirac. Telah dikemukakan bahwa matriks-matriks Dirac γ µ yang mengalami transfor- masi uniter γ µ → γ ′µ = U γ µ U † dengan U sembarang matriks uniter, maka γ ′µ juga memenuhi kaitan V.2. Andaikan ξ~k spinor-4 Dirac yang terkait dengan matriks γ µ , maka ξ~k merupakan spinor-4 Dirac yang terkait dengan matriks γ ′µ . Mengingat spinor-4 Dirac tertransformasi secara uniter jika diadakan transformasi Lorentz yang berupa suatu rotasi murni maka selalu dapat diadakan rotasi sehingga spinor-4 terse- but merupakan swa-spinor dari σ jk = i 4 [γ j , γ k ]. Jika dibentuk suatu vektor ~σ yang dapat dinyatakan sebagai suatu matriks baris ~σ := σ 23 σ 31 σ 12 V.25 dan rotasi dilakukan sedemikian sehingga ~σ = σ ~ k ~s, V.26 dengan spinor-4 u s ~k dan v s ~k merupakan swa-spinor σ ~ k dengan swanilai masing- masing c 1 dan c 2 , serta ~s adalah suatu vektor satuan yang memberikan orientasi mo- mentum sudut intrinsik ~ S, maka diperoleh ~ S = 1 2 Z ∞ −∞ X r n c 1 b ∗ r ~kb r ~k + c 2 d r ~kd ∗ r ~k o ~smd 3 k 2π 3 k , V.27 yang merupakan bentuk eksplisit momentum sudut intrinsik medan Dirac. Momen- tum sudut total medan Dirac ~ J merupakan jumlah dari ~ M dan ~ S, yakni ~ J = ~ M + ~ S = Z ∞ −∞ X r ℑ hn ∇ ~ k b r ~k × ~k o b ∗ r ~k + n ∇ ~ k d ∗ r ~k × ~k o d r ~k i 64 + 1 2 ~s X r n c 1 b ∗ r ~kb r ~k + c 2 d r ~kd ∗ r ~k o md 3 k 2π 3 k . V.28 Bentuk eksplisit Hamiltonan, momentum, dan momentum sudut medan Dirac yang dinyatakan dalam persamaan V.21, V.22, dan V.28 sama dengan Hamilto- nan, momentum, dan momentum sudut medan Dirac pada ruang Minkowski komu- tatif [Ryder , 1996] p.137-140.

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN