50
tum medan Klein-Gordon riil pada ruang Minkowski yang komutatif [Ryder , 1996] p.126-135.
2. Medan Klein-Gordon Kompleks
Rapat Lagrangan yang akan menghasilkan persamaan Klein-Gordon untuk medan
φx yang bernilai kompleks adalah sebagai berikut
L = ∂φ
∗
∂x
β
⋆ ∂φ
∂x
β
− m
2
φ
∗
⋆ φ =
∂φ
∗
∂x
β
∂φ ∂x
β
− m
2
φ
∗
φ +
∞
X
n =1
i 2
n
1 n
θ
µ
1
ν
1
· · · θ
µ
n
ν
n
× ∂
∂x
β
∂
n
φ
∗
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
∂ ∂x
β
∂
n
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
−m
2
∂
n
φ
∗
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
∂
n
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
. IV.23
Jika rapat Lagrangan di atas disubstitusikan ke dalam persamaan III.16, maka dida- pat persamaan Klein-Gordon
∂
2
∂t
2
− ∇
2
+ m
2
φx = 0 IV.24
dan kompleks konjugatnya ∂
2
∂t
2
− ∇
2
+ m
2
φ
∗
x = 0. IV.25
Bentuk rapat Lagrangan untuk medan Klein-Gordon kompleks tidaklah tung- gal. Beberapa bentuk rapat Lagrangan lain yang akan menghasilkan persamaan IV.24
dan IV.25 misalnya
L = ∂φ
∂x
β
⋆ ∂φ
∗
∂x
β
− m
2
φ
∗
⋆ φ; IV.26
51
L = 1
2 ∂φ
∗
∂x
β
, ∂φ
∂x
β ⋆
− m
2
{φ
∗
, φ}
⋆
. IV.27
Namun demikian bentuk yang akan dibahas adalah bentuk rapat Lagrangan pada per- samaan IV.23, karena bentuk rapat Lagrangan lain yang menghasilkan persamaan
IV.24 dan IV.25 akan menghasilkan hasil akhir yang sama. Jika rapat Lagrangan pada persamaan IV.23 disubstitusikan ke dalam per-
samaan III.21 serta dengan menggunakan persamaan IV.24 dan IV.25 diperoleh tensor energi-momentum medan Klein-Gordon kompleks
T
α ν
=
∞
X
n =1
i 2
n− 1
1 n − 1
θ
µ
2
ν
1
· · · θ
µ
n
ν
n−1
∂ ∂x
ν
∂
n− 1
φ
∗
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
n
× ∂
∂x
α
∂
n− 1
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n−1
+ ∂
∂x
α
∂
n− 1
φ
∗
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n−1
× ∂
∂x
ν
∂
n− 1
φ ∂x
ν
2
· · · ∂x
ν
n
− δ
α ν
L =
∂φ
∗
∂x
ν
⋆ ∂φ
∂x
α
+ ∂φ
∗
∂x
α
⋆ ∂φ
∂x
ν
− δ
α ν
L = 2ℜ
∂φ
∗
∂x
ν
⋆ ∂φ
∂x
α
− δ
α ν
L. IV.28
Bentuk kontravariannya adalah
T
αν
= ∂φ
∗
∂x
α
⋆ ∂φ
∂x
ν
+ ∂φ
∗
∂x
ν
⋆ ∂φ
∂x
α
− g
αν
L = 2ℜ
∂φ
∗
∂x
α
⋆ ∂φ
∂x
ν
− g
αν
L, IV.29
dengan ℜz menyatakan bagian riil dari bilangan kompleks z. Tensor energi momen-
tum T
αν
di atas bersifat simetris terhadap pertukaran indeks α dan ν. Rapat Hamil-
tonan dan rapat momentum medan Klein-Gordon kompleks masing-masing adalah
T
00
= ∂φ
∗
∂t ⋆
∂φ ∂t
+ ∇φ
∗
·
⋆
∇φ + m
2
φ
∗
⋆ φ; IV.30
52
T
0j
= 2ℜ ∂φ
∗
∂t ⋆
∂φ ∂x
j
. IV.31
Jika persamaan IV.23 disubstitusikan ke persamaan III.56, maka diperoleh
K
ρβ
= Z
∞ −∞
∞
X
n =1
i 2
n− 1
1 n − 1
θ
µ
1
ν
1
· · · θ
µ
n−1
ν
n−1
∂ ∂t
∂
n− 1
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n−1
×
n− 1
X
l =1
g
ρµ
l
δ
ν β
− g
βµ
l
δ
ν ρ
∂ ∂x
ν
∂
n− 1
φ
∗
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
l−1
∂x
µ
l+1
· · · ∂x
µ
n−1
+ ∂
∂t ∂
n− 1
φ
∗
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n−1
n− 1
X
l =1
g
ρν
l
δ
ν β
− g
βν
l
δ
ν ρ
× ∂
∂x
ν
∂
n− 2
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
l−1
∂x
ν
l+1
· · · ∂x
ν
n−1
d
3
x =
Z
∞ −∞
θ
κλ
δ
ν ρ
g
βλ
− δ
ν β
g
ρλ
ℑ ∂φ
∗
∂x
ν
⋆ ∂
2
φ ∂t∂x
λ
d
3
x,
sehingga diperoleh
J
ρβ
= Z
∞ −∞
θ
κλ
g
νρ
δ
β κ
− g
νβ
δ
ρ κ
ℑ ∂φ
∗
∂x
ν
⋆ ∂
2
φ ∂t∂x
λ
+ x
ρ
T
0β
− x
β
T
0ρ
d
3
x.
Momentum sudut medan Klein-Gordon kompleks adalah komponen ruang dari J
ρβ
, yakni
J
jk
= Z
∞ −∞
θ
κλ
g
νj
δ
k κ
− g
νk
δ
j κ
ℑ ∂φ
∗
∂x
ν
⋆ ∂
2
φ ∂t∂x
λ
+ x
j
T
0k
− x
k
T
0j
d
3
x. IV.32
Medan Klein-Gordon φx dan kompleks konjugatnya φ
∗
x dapat dituliskan sebagai suatu ekspansi Fourier
φx = Z
∞ −∞
n a~ke
− ik·x
+ b
∗
~ke
ik·x
o d
3
k 2π
3
2ω
~ k
; IV.33
φ
∗
x = Z
∞ −∞
n b~ke
− ik·x
+ a
∗
~ke
ik·x
o d
3
k 2π
3
2ω
~ k
. IV.34
53
Bentuk eksplisit Hamiltonan, momentum, dan momentum sudut medan Klein-Gordon kompleks dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan-persamaan IV.30, IV.31,
IV.32, IV.33, dan IV.34, yang menghasilkan
H = Z
∞ −∞
∂φ
∗
∂t ⋆
∂φ ∂t
+ ∇φ
∗
·
⋆
∇φ + m
2
φ
∗
⋆ φ d
3
x =
1 2
Z
∞ −∞
n a
∗
~ka~k + b~kb
∗
~k o
d
3
k 2π
3
; IV.35
~ P = −
Z
∞ −∞
2ℜ ∂φ
∗
∂t ⋆ ∇φ
d
3
x =
1 2
Z
∞ −∞
~k n
a
∗
~ka~k + b~kb
∗
~k o
d
3
k 2π
3
ω
~ k
, IV.36
dan
J
jk
= − 1
2 Z
∞ −∞
ℑ ∂a~k
∂k
j
k
k
− ∂a~k
∂k
k
k
j
a
∗
~k +
∂b
∗
~k ∂k
j
k
k
− ∂b
∗
~k ∂k
k
k
j
b~k d
3
k 2π
3
2ω
~ k
,
atau dapat dituliskan ~
J = 1
2 Z
∞ −∞
ℑ hn
∇
~ k
a~k × ~k o
a
∗
~k + n
∇
~ k
b
∗
~k × ~k o
b~k i
d
3
k 2π
3
2ω
~ k
. IV.37
Bentuk eksplisit Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut medan Klein- Gordon kompleks yang dinyatakan dalam persamaan IV.35, IV.36, dan IV.37
menunjukkan bahwa pada ruang Minkowski yang tidak komutatif, Hamiltonan, mo- mentum, serta momentum sudut medan Klein-Gordon kompleks sama dengan Hamil-
tonan, momentum, dan momentum sudut medan Klein-Gordon kompleks pada ruang Minkowski yang komutatif [Ryder , 1996] p.135-137.
BAB V MEDAN DIRAC PADA RUANG MINKOWSKI TAK
Kategori