21
= ψ
1
ψ
2
x +
∞
X
n =1
i 2
n
1 n
θ
µ
1
ν
1
θ
µ
2
ν
2
· · · θ
µ
n
ν
n
× ∂
n
ψ
1
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
x ∂
n
ψ
2
∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
x. II.40
Persamaan II.40 menyatakan bahwa ψ
1
⋆ ψ
2
∈ S
R
4
, dan dari persamaan II.39 jelas bahwa
S
R
4
, +, ⋆ merupakan aljabar asosiatif tak komutatif di atas lapangan kompleks. Dengan memberlakukan perkalian
⋆ pada C
∞
R
4
, C ⊃ S
R
4
, diper- oleh aljabar asosiatif tak komutatif
C
∞
R
4
, C, +, ⋆ dengan S
R
4
, +, ⋆ subaljabar dari
C
∞
R
4
, C, +, ⋆. Perkalian ⋆ disebut sebagai perkalian-bintang yang didefin- isikan pada ruang-waktu R
4
. Suatu ruang yang menjadi basis bagi aljabar asosiatif
yang tak komutatif itu disertai dengan metrik Minkowski disebut ruang Minkowski tak komutatif
.
4. Sifat-Sifat Perkalian Bintang
Menurut persamaan II.40 jelas bahwa untuk setiap f, g ∈ C
∞
R
4
, C berlaku
f ⋆ g
∗
x = g
∗
⋆ f
∗
x. II.41
Selanjutnya dengan melakukan pengintegralan persamaan II.39 diperoleh Z
∞ −∞
ψ
1
⋆ ψ
2
⋆ · · · ⋆ ψ
n
d
4
x = tr[ ˆ ψ
1
ˆ ψ
2
· · · ˆ ψ
n
]. II.42
Karena nilai trace dari perkalian operator-operator invarian terhadap permutasi siklis
tr[ ˆ ψ
1
ˆ ψ
2
· · · ˆ ψ
n
] = tr[ ˆ ψ
π 1
ˆ ψ
π 2
· · · ˆ ψ
π n
], ∀π permutasi siklis, II.43
22
maka Z
∞ −∞
ψ
1
⋆ ψ
2
⋆ · · · ⋆ ψ
n
d
4
x = Z
∞ −∞
ψ
π 1
⋆ ψ
π 2
⋆ · · · ⋆ ψ
π n
d
4
x, ∀π permutasi siklis, II.44
dengan ψ
j
∈ S
R
4
, j = 1, 2, . . . , n. Khusus untuk n = 2 berlaku Z
∞ −∞
ψ
1
⋆ ψ
2
d
4
x = Z
∞ −∞
ψ
1
ψ
2
d
4
x +
∞
X
n =1
i 2
n
1 n
Z
∞ −∞
θ
µ
1
ν
1
· · · θ
µ
n
ν
n
× ∂
n
ψ
1
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
∂
n
ψ
2
∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
d
4
x =
Z
∞ −∞
ψ
1
ψ
2
d
4
x, II.45
karena Z
∞ −∞
θ
µ
1
ν
1
· · · θ
µ
n
ν
n
∂
n
ψ
1
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
∂
n
ψ
2
∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
= Z
∞ −∞
θ
µ
1
ν
1
· · · θ
µ
n
ν
n
∂ ∂x
µ
1
∂
n− 1
ψ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
n
∂
n
ψ
2
∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
d
4
x −
Z
∞ −∞
θ
µ
1
ν
1
· · · θ
µ
n
ν
n
∂
n− 1
ψ
1
∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
n
∂
n +1
ψ
2
∂x
µ
1
∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
d
4
x = 0
II.46
dengan menerapkan hukum Gauss pada ruang berdimensi 4 dan menggunakan sifat θ
µν
yang antisimetris terhadap pertukaran indeks. Untuk fungsi-fungsi licin yang terdefinisikan pada ruang berdimensi 4 dan
terintegralkan secara mutlak, serta padanannya di ruang k yang berdimensi 4 juga
merupakan fungsi licin, maka Z
∞ −∞
f
1
⋆ f
2
⋆ · · · ⋆ f
n
d
4
x = Z
∞ −∞
· · · Z
∞ −∞
˜ f
1
k
1
˜ f
2
k
2
· · · ˜ f
n
k
n
e
−
i 2
θ
µν
P
n jk
k
j µ
k
k ν
×2π
4
δ
4 n
X
j =1
kd
4
k
1
· · · d
4
k
n
∈ C, II.47
23
karena faktor e
−
i 2
θ
µν
P
n jk
k
j µ
k
k ν
hanyalah suatu faktor fase belaka. Jika ˆ f
j
= P
4
[f
j
], maka
tr[ ˆ f
1
ˆ f
2
· · · ˆ f
n
] = Z
∞ −∞
f
1
⋆ f
2
⋆ · · · ⋆ f
n
d
4
x II.48
ada, sehingga persamaan II.44 juga berlaku untuk fungsi-fungsi licin anggota him- punan
C
∞
R
4
, C yang terintegralkan secara mutlak dan padanannya di ruang k berdimensi 4 juga merupakan fungsi-fungsi licin. Selain itu, untuk
n = 2 Z
∞ −∞
f
1
⋆ f
2
d
4
x = Z
∞ −∞
Z
∞ −∞
e
−
i 2
θ
µν
k
µ 1
k
ν 2
˜ f
1
k
1
˜ f
2
k
2
×2π
4
d
4
k
1
d
4
k
2
= Z
∞ −∞
˜ f
1
k
1
˜ f
2
−k
1
d
4
k
1
= Z
∞ −∞
f
1
f
2
d
4
x. II.49
Jika ϕ ∈ C
∞
R
4
, C terintegralkan secara mutlak tetapi wakilannya di ruang k berdimensi 4 tidak licin, sifat persamaan II.48 dan II.49 tidak berlaku. Hal inilah
yang telah dikemukakan pada bab I. Bentuk yang akan banyak dipakai dalam pembahasan mengenai medan Klein-
Gordon dan medan Dirac adalah komutator-bintang [·, ·]
⋆
dan antikomutator-bintang {·, ·}
⋆
. Komutator-bintang dan antikomutator-bintang antara f, g ∈ C
∞
R
4
, C adalah
[f, g]
⋆
x = 2i sin 1
2 θ
µν
∂ ∂x
µ
∂ ∂y
ν
f xgy
x =y
, II.50
dan {f, g}
⋆
x = 2 cos 1
2 θ
µν
∂ ∂x
µ
∂ ∂y
ν
f xgy
x =y
. II.51
BAB III FORMULASI LAGRANGAN YANG DIPERUMUM DAN
KESETANGKUPAN
Pada bab sebelumnya telah diturunkan bentuk perkalian tak komutatif se- bagai manifestasi dari asumsi bahwa ruang Minkowski yang terlibat tidak lagi ko-
mutatif. Perkalian yang tidak komutatif tersebut akan digunakan dalam telaah teori medan yang akan dilakukan pada bab-bab selanjutnya, yakni dengan menggantikan
perkalian biasa pada rapat Lagrangan suatu medan tertentu dengan perkalian-bintang star-product yang tidak komutatif. Pada persamaan II.39 dan II.40 tampak bah-
wa perkalian tak komutatif tersebut akan mengandung turunan suatu fungsi sampai orde tak terhingga, sehingga rapat Lagrangan suatu medan tidak lagi hanya gayut pa-
da suatu medan dan turunan orde pertamanya. Untuk itu perlu dilakukan perluasan terhadap teori Lagrangan suatu medan untuk dapat mewadahi pembahasan mengenai
teori medan pada ruang Minkowski yang tak komutatif. Hal ini pada akhirnya akan membawa perubahan definisi beberapa kuantitas atau observabel yang dimiliki suatu
medan. Dalam bab ini akan dilakukan perumuman teori Lagrangan suatu medan ser- ta perumuman definisi beberapa kuantitas atau observabel yang biasa dibahas dalam
teori Lagrangan medan yang biasa.
1. Persamaan Euler-Lagrange Yang Diperumum
Suatu aksi I didefinisikan sebagai berikut:
I = Z
t
2
t
1
Ldt, t
2
t
1
, III.1
24
