Medan Klein-Gordon Riil MEDAN KLEIN-GORDON PADA RUANG MINKOWSKI TAK

43 zarah bebas dengan swanilai tenaga yang bernilai negatif. Dengan demikian interpre- tasi φx sebagai fungsi gelombang bagi zarah tunggal tidak dapat lagi dipertahankan. Namun demikian permasalahan-permasalahan tersebut dapat diatasi dengan meman- dang φx bukan lagi sebagai fungsi gelombang bagi suatu zarah tunggal, melainkan sebagai suatu medan, dalam hal ini sebagai suatu medan skalar. Dalam pemba- hasan bab ini dan bab berikutnya diasumsikan medan-medan yang terlibat merupakan fungsi licin pada ruang Minkowski.

1. Medan Klein-Gordon Riil

Jika dibentuk suatu rapat Lagrangan L untuk suatu medan φx yang bernilai riil sebagai berikut L = 1 2 ∂φ ∂x β ⋆ ∂φ ∂x β − m 2 φ ⋆ φ = 1 2 ∂φ ∂x β ∂φ ∂x β − m 2 φ 2 + ∞ X n =1 i 2 n 1 n θ µ 1 ν 1 θ µ 2 ν 2 · · · θ µ n ν n × ∂ ∂x β ∂ n φ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n ∂ ∂x β ∂ n φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n −m 2 ∂ n φ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n ∂ n φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n IV.3 Dengan mensubstitusi rapat Lagrangan di atas ke dalam persamaan III.16, diperoleh ∂ 2 φ ∂x β ∂x β + m 2 φ + ∞ X n =1 i 2 n 1 n θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n ν n ∂ n +1 ∂x β ∂x µ 1 · · · ∂x µ n ∂ n +1 φ ∂x β ∂x ν 1 · · · ∂x ν n +m 2 ∂ n ∂x µ 1 · · · ∂x µ n ∂ n φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n = 0. IV.4 44 Suku-suku yang mengandung parameter θ µν akan lenyap karena θ µν ∂ 2 ∂x µ ∂x ν = θ νµ ∂ 2 ∂x ν ∂x µ = −θ µν ∂ 2 ∂x µ ∂x ν = 0, IV.5 sehingga persamaan IV.4menjadi ∂ 2 ∂t 2 − ∇ 2 + m 2 φx = 0 yang tidak lain adalah persamaan Klein-Gordon, dengan demikian rapat Lagrangan IV.3 merupakan rapat Lagrangan bagi medan Klein-Gordon riil pada ruang Minkows- ki tak komutatif. Setelah memperoleh rapat Lagrangan untuk medan Klein-Gordon yang bernilai riil, maka dapat diperoleh tenaga total, momentum, serta momentum sudut yang dimiliki oleh medan φx. Tensor energi-momentum medan φx dapat diperoleh dengan mensubstitusi rapat Lagrangan L pada persamaan IV.3 ke dalam persamaan III.21. Substitusi ini menghasilkan T α ν = 1 2 ∞ X n =1 n X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 · · · ∂x µ -˛ 1 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 2 ν 1 · · · θ µ n ν n−1 +θ ν 1 µ 2 · · · θ ν n−1 µ n ∂ ∂x α ∂ n− 1 φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n−1 − m 2 i 2 n 1 n × θ αν 1 · · · θ µ n ν n + θ ν 1 α · · · θ ν n µ n ∂ n φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n − δ α ν L = 1 2 ∞ X n =1 i 2 n− 1 1 n − 1 ∂ ∂x α ∂ n− 1 φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n−1 ∂ ∂x ν ∂ n− 1 φ ∂x µ 2 · · · ∂x µ n ×θ µ 2 ν 1 · · · θ µ n ν n−1 + θ ν 1 µ 2 · · · θ ν n−1 µ n − m 2 ∞ X n =1 i 2 n 1 n × ∂ n φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n ∂ ∂x ν ∂ n− 1 φ ∂x µ 2 · · · ∂x µ n θ αν 1 · · · θ µ n ν n + θ ν 1 α · · · θ ν n µ n − ∞ X n =2 i 2 n− 1 1 n − 1 ∂ 2 ∂x µ 1 ∂x µ 1 ∂ n− 1 φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n−1 ∂ ∂x ν ∂ n− 2 φ ∂x µ 3 · · · ∂x µ n 45 ×θ αν 1 · · · θ µ n ν n−1 + θ ν 1 α · · · θ ν n−1 µ n − δ α ν L. IV.6 Karena berlakunya persamaan Klein-Gordon, maka θ αν 1 · · · θ µ n ν n−1 + θ ν 1 α · · · θ ν n−1 µ n ∞ X n =2 1 n − 1 ∂ 2 ∂x µ 1 · · · ∂x µ 1 ∂ n− 1 φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n−1 × ∂ ∂x ν ∂ n− 2 φ ∂x µ 3 · · · ∂x µ n = −m 2 ∞ X n =2 i 2 n− 1 1 n − 1 θ αν 1 · · · θ µ n ν n−1 +θ ν 1 α · · · θ ν n−1 µ n ∂ n− 1 φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n−1 ∂ ∂x ν ∂ n− 2 φ ∂x µ 3 · · · ∂x µ n = −m 2 ∞ X n =1 i 2 n 1 n × ∂ n φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n ∂ ∂x ν ∂ n− 1 φ ∂x µ 2 · · · ∂x µ n θ αν 1 · · · θ µ n ν n−1 + θ ν 1 α · · · θ ν n−1 µ n , IV.7 sehingga jika persamaan IV.7 disubstitusikan ke dalam persamaan IV.6 diperoleh T α ν = 1 2 ∞ X n =1 i 2 n− 1 1 n − 1 ∂ ∂x α ∂ n− 1 φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n−1 ∂ ∂x ν ∂ n− 1 φ ∂x µ 2 · · · ∂x µ n θ µ 2 ν 1 · · · θ µ n ν n−1 + θ ν 1 µ 2 · · · θ ν n−1 µ n − δ α ν L = 1 2 ∂φ ∂x α ⋆ ∂φ ∂x ν + ∂φ ∂x ν ⋆ ∂φ ∂x α − δ α ν L = 1 2 ∂φ ∂x α , ∂φ ∂x ν ⋆ − δ α ν L. IV.8 Bentuk kontravarian dari tensor energi momentum pada persamaan di atas adalah T αν = 1 2 ∂φ ∂x α , ∂φ ∂x ν ⋆ − g αν L IV.9 yang bersifat simetris terhadap pertukaran indeks. Rapat Hamiltonan serta rapat mo- mentum medan φx diperoleh dari persamaan IV.9 T 00 = ∂φ ∂t ⋆ ∂φ ∂t − L 46 = 1 2 ∂φ ∂t ⋆ ∂φ ∂t + ∇φ · ⋆ ∇φ + m 2 φ ⋆ φ ; IV.10 T 0j = 1 2 ∂φ ∂t , ∂φ ∂x j ⋆ . IV.11 Pada persamaan IV.10 diperkenalkan perkalian noktah-bintang seperti pada perkalian noktah antara dua buah vektor-3 namun dengan menggantikan setiap bentuk perkalian per titik · dengan perkalian-bintang ⋆. Untuk jelasnya ditinjau sebuah contoh, yakni perkalian noktah-bintang antara dua buah vektor-3 ~ Ax dan ~ Bx, yang masing- masing komponennya merupakan fungsi licin yang terdefinisi pada ruang Minkowski. Maka ~ Ax · ⋆ ~ Bx didefinisikan sebagai ~ Ax · ⋆ ~ Bx := 3 X j =1 A j x ⋆ B j x. IV.12 Setelah memperoleh bentuk rapat Hamiltonan dan rapat momentum medan φx, da- pat diperoleh Hamiltonan dan momentum medan dengan menggunakan persamaan III.35 dan III.36. Selanjutnya hendak diturunkan bentuk momentum sudut medan Klein-Gordon riil. Untuk suatu medan skalar, koefisien R νβ pada persamaan III.41 bernilai nol, se- hingga medan Klein-Gordon yang merupakan medan skalar tidak memiliki momen- tum sudut intrinsik S jk = 0. Dengan demikian momentum sudut total J jk hanya terdiri dari momentum sudut orbital M jk . Menurut persamaan III.53, III.55, dan III.56 M ρβ dapat diuraikan menjadi K ρβ dan M ρβ , sehingga M ρβ = K ρβ + M ρβ . Karena tensor energi-momentum medan φx telah diperoleh, maka untuk mencari bentuk M ρβ hanya perlu mencari bentuk K ρβ . Jika persamaan IV.3 disubstitusikan ke dalam persamaan III.56 dan dengan 47 menggunakan persamaan Klein-Gordon, diperoleh K ρβ = 1 2 Z ∞ −∞ ∞ X n =1 i 2 n− 1 1 n − 1 θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n−1 ν n−1 ∂ ∂t ∂ n− 1 φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n−1 × n− 1 X l =1 g ρµ l δ ν β − g βµ l δ ν ρ ∂ n− 1 φ ∂x ν ∂x µ 1 · · · ∂x µ l−1 ∂x µ l+1 · · · ∂x µ n−1 + ∂ ∂t ∂ n− 1 φ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n−1 n− 1 X l =1 g ρν l δ ν β − g βν l δ ν ρ × ∂ n− 1 φ ∂x ν ∂x ν 1 · · · ∂x ν l−1 ∂x ν l+1 · · · ∂x ν n−1 d 3 x. IV.13 Karena θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n−1 ν n−1 ∂ ∂t ∂ n− 1 φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n−1 n− 1 X l =1 g ρµ l δ ν β − g βµ l δ ν ρ × ∂ ∂x ν ∂ n− 2 φ ∂x µ 1 · · · ∂x µ l−1 ∂x µ l+1 · · · ∂x µ n−1 = n − 1θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n−1 ν n−1 ×g ρµ 1 δ ν β − g βµ 1 δ ν ρ ∂ ∂x ν ∂ n− 2 φ ∂x µ 2 · · · ∂x µ n−1 ∂ ∂t ∂ n− 1 φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n−1 ,IV.14 berarti integrand persamaan IV.13 tidak lenyap hanya untuk n 1. Jika persamaan IV.14 disubstitusikan ke dalam persamaan IV.13, diperoleh K ρβ = i 4 Z ∞ −∞ ∞ X n =0 i 2 n 1 n θ µ 1 ν 1 · · · θ µ n ν n θ κλ g ρκ δ ν β − g βκ δ ν ρ × ∂ ∂x ν ∂ n φ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n ∂ 2 ∂t∂x λ ∂ n φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n + ∂ 2 ∂t∂x κ ∂ n φ ∂x µ 1 · · · ∂x µ n g ρλ δ ν β − g βλ δ ν ρ ∂ ∂x ν ∂ n φ ∂x ν 1 · · · ∂x ν n d 3 x = i 4 Z ∞ −∞ θ κλ g ρκ δ ν β − g βκ δ ν ρ ∂φ ∂x ν , ∂ 2 φ ∂t∂x λ ⋆ d 3 x IV.15 48 Dengan hasil ini maka diperoleh J ρβ = M ρβ = K ρβ + M ρβ = Z ∞ −∞ i 4 θ κλ δ ν ρ g βκ − δ ν β g ρκ ∂φ ∂x ν , ∂ 2 φ ∂t∂x λ ⋆ +x ρ T β − x β T ρ d 3 x, dan bentuk kontravariannya adalah J ρβ = M ρβ = K ρβ + M ρβ = Z ∞ −∞ i 4 θ κλ g νρ δ β κ − g νβ δ ρ κ ∂φ ∂x ν , ∂ 2 φ ∂t∂x λ ⋆ +x ρ T 0β − x β T 0ρ d 3 x. Komponen ruang dari J jk adalah momentum sudut medan Klein-Gordon riil, J jk = M jk = K jk + M jk = Z ∞ −∞ i 4 θ κλ g νj δ k κ − g νk δ j κ ∂φ ∂x ν , ∂ 2 φ ∂t∂x λ ⋆ +x j T 0k − x k T 0j d 3 x. IV.16 Untuk mencari bentuk eksplisit Hamiltonan, momentum, dan momentum sudut yang dimiliki medan φx, maka medan φx dituliskan sebagai suatu ekspansi Fouri- er φx = Z ∞ −∞ n a~ke − ik·x + a ∗ ~ke ik·x o d 3 k 2π 3 2ω ~ k , IV.17 dengan k · x ≡ k µ x µ . Vektor-4 k µ memenuhi kaitan De Broglie-Einstein E = ω ~ k = k ; ~p = ~k, IV.18 49 sehingga menurut persamaan IV.1 3 ω ~ k = k = q ~k 2 + m 2 . IV.19 Jika φx pada persamaan IV.17 disubstitusikan ke dalam persamaan IV.10, IV.11, serta dengan menggunakan persamaan III.34 dan III.35, diperoleh H = Z ∞ −∞ 1 2 ∂φ ∂t ⋆ ∂φ ∂t + ∇φ · ⋆ ∇φ + m 2 φ ⋆ φ d 3 x = 1 2 Z ∞ −∞ a ∗ ~ka~k d 3 k 2π 3 ; IV.20 ~ P = − Z ∞ −∞ 1 2 ∂φ ∂t , ∇φ ⋆ d 3 x = Z ∞ −∞ ~k 2ω ~ k a ∗ ~ka~k d 3 k 2π 3 . IV.21 dan J jk = 1 2 Z ∞ −∞ ℑ a ∗ ~k k j ∂a~k ∂k k − k k ∂a~k ∂k j d 3 k 2π 3 ω ~ k yang dapat dituliskan sebagai ~ J = 1 2 Z ∞ −∞ ℑ n a ∗ ~k ∇ ~ k a~k × ~k o d 3 k 2π 3 ω ~ k , IV.22 dengan ℑz menyatakan bagian imajiner dari bilangan kompleks z. Kuantitas pada persamaan IV.20, IV.21, dan IV.22 merupakan bentuk eksplisit Hamiltonan, mo- mentum, serta momentum sudut medan Klein-Gordon riil pada ruang Minkowski tak komutatif. Persamaan IV.20, IV.21 dan IV.22 menunjukkan bahwa Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut medan Klein-Gordon riil pada ruang Minkowski yang tidak komutatif tidak berbeda dengan Hamiltonan, momentum, serta momen- 3 Dalam pembahasan selanjutnya untuk medan Klein-Gordon kompleks dan medan Dirac kaitan IV.18 dan IV.19 selalu digunakan dalam pernyataan medan-medan yang bersangkutan sebagai suatu ekspansi Fourier. 50 tum medan Klein-Gordon riil pada ruang Minkowski yang komutatif [Ryder , 1996] p.126-135.

2. Medan Klein-Gordon Kompleks