43
zarah bebas dengan swanilai tenaga yang bernilai negatif. Dengan demikian interpre- tasi
φx sebagai fungsi gelombang bagi zarah tunggal tidak dapat lagi dipertahankan. Namun demikian permasalahan-permasalahan tersebut dapat diatasi dengan meman-
dang φx bukan lagi sebagai fungsi gelombang bagi suatu zarah tunggal, melainkan
sebagai suatu medan, dalam hal ini sebagai suatu medan skalar. Dalam pemba- hasan bab ini dan bab berikutnya diasumsikan medan-medan yang terlibat merupakan
fungsi licin pada ruang Minkowski.
1. Medan Klein-Gordon Riil
Jika dibentuk suatu rapat Lagrangan L untuk suatu medan φx yang bernilai
riil sebagai berikut
L = 1
2 ∂φ
∂x
β
⋆ ∂φ
∂x
β
− m
2
φ ⋆ φ =
1 2
∂φ ∂x
β
∂φ ∂x
β
− m
2
φ
2
+
∞
X
n =1
i 2
n
1 n
θ
µ
1
ν
1
θ
µ
2
ν
2
· · · θ
µ
n
ν
n
× ∂
∂x
β
∂
n
φ ∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
∂ ∂x
β
∂
n
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
−m
2
∂
n
φ ∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
∂
n
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
IV.3
Dengan mensubstitusi rapat Lagrangan di atas ke dalam persamaan III.16, diperoleh ∂
2
φ ∂x
β
∂x
β
+ m
2
φ +
∞
X
n =1
i 2
n
1 n
θ
µ
1
ν
1
· · · θ
µ
n
ν
n
∂
n +1
∂x
β
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
∂
n +1
φ ∂x
β
∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
+m
2
∂
n
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
∂
n
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
= 0. IV.4
44
Suku-suku yang mengandung parameter θ
µν
akan lenyap karena
θ
µν
∂
2
∂x
µ
∂x
ν
= θ
νµ
∂
2
∂x
ν
∂x
µ
= −θ
µν
∂
2
∂x
µ
∂x
ν
= 0, IV.5
sehingga persamaan IV.4menjadi ∂
2
∂t
2
− ∇
2
+ m
2
φx = 0
yang tidak lain adalah persamaan Klein-Gordon, dengan demikian rapat Lagrangan IV.3 merupakan rapat Lagrangan bagi medan Klein-Gordon riil pada ruang Minkows-
ki tak komutatif. Setelah memperoleh rapat Lagrangan untuk medan Klein-Gordon yang bernilai riil, maka dapat diperoleh tenaga total, momentum, serta momentum
sudut yang dimiliki oleh medan φx.
Tensor energi-momentum medan φx dapat diperoleh dengan mensubstitusi
rapat Lagrangan L pada persamaan IV.3 ke dalam persamaan III.21. Substitusi ini
menghasilkan
T
α ν
= 1
2
∞
X
n =1
n
X
k =1
−1
k− 1
∂
k− 1
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
-˛
1
i 2
n− 1
1 n − 1
θ
µ
2
ν
1
· · · θ
µ
n
ν
n−1
+θ
ν
1
µ
2
· · · θ
ν
n−1
µ
n
∂ ∂x
α
∂
n− 1
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n−1
− m
2
i 2
n
1 n
× θ
αν
1
· · · θ
µ
n
ν
n
+ θ
ν
1
α
· · · θ
ν
n
µ
n
∂
n
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
− δ
α ν
L =
1 2
∞
X
n =1
i 2
n− 1
1 n − 1
∂ ∂x
α
∂
n− 1
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n−1
∂ ∂x
ν
∂
n− 1
φ ∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
n
×θ
µ
2
ν
1
· · · θ
µ
n
ν
n−1
+ θ
ν
1
µ
2
· · · θ
ν
n−1
µ
n
− m
2 ∞
X
n =1
i 2
n
1 n
× ∂
n
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
∂ ∂x
ν
∂
n− 1
φ ∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
n
θ
αν
1
· · · θ
µ
n
ν
n
+ θ
ν
1
α
· · · θ
ν
n
µ
n
−
∞
X
n =2
i 2
n− 1
1 n − 1
∂
2
∂x
µ
1
∂x
µ
1
∂
n− 1
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n−1
∂ ∂x
ν
∂
n− 2
φ ∂x
µ
3
· · · ∂x
µ
n
45
×θ
αν
1
· · · θ
µ
n
ν
n−1
+ θ
ν
1
α
· · · θ
ν
n−1
µ
n
− δ
α ν
L. IV.6
Karena berlakunya persamaan Klein-Gordon, maka
θ
αν
1
· · · θ
µ
n
ν
n−1
+ θ
ν
1
α
· · · θ
ν
n−1
µ
n
∞
X
n =2
1 n − 1
∂
2
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
1
∂
n− 1
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n−1
× ∂
∂x
ν
∂
n− 2
φ ∂x
µ
3
· · · ∂x
µ
n
= −m
2 ∞
X
n =2
i 2
n− 1
1 n − 1
θ
αν
1
· · · θ
µ
n
ν
n−1
+θ
ν
1
α
· · · θ
ν
n−1
µ
n
∂
n− 1
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n−1
∂ ∂x
ν
∂
n− 2
φ ∂x
µ
3
· · · ∂x
µ
n
= −m
2 ∞
X
n =1
i 2
n
1 n
× ∂
n
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
∂ ∂x
ν
∂
n− 1
φ ∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
n
θ
αν
1
· · · θ
µ
n
ν
n−1
+ θ
ν
1
α
· · · θ
ν
n−1
µ
n
, IV.7
sehingga jika persamaan IV.7 disubstitusikan ke dalam persamaan IV.6 diperoleh
T
α ν
= 1
2
∞
X
n =1
i 2
n− 1
1 n − 1
∂ ∂x
α
∂
n− 1
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n−1
∂ ∂x
ν
∂
n− 1
φ ∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
n
θ
µ
2
ν
1
· · · θ
µ
n
ν
n−1
+ θ
ν
1
µ
2
· · · θ
ν
n−1
µ
n
− δ
α ν
L =
1 2
∂φ ∂x
α
⋆ ∂φ
∂x
ν
+ ∂φ
∂x
ν
⋆ ∂φ
∂x
α
− δ
α ν
L =
1 2
∂φ ∂x
α
, ∂φ
∂x
ν ⋆
− δ
α ν
L. IV.8
Bentuk kontravarian dari tensor energi momentum pada persamaan di atas adalah
T
αν
= 1
2 ∂φ
∂x
α
, ∂φ
∂x
ν ⋆
− g
αν
L IV.9
yang bersifat simetris terhadap pertukaran indeks. Rapat Hamiltonan serta rapat mo- mentum medan
φx diperoleh dari persamaan IV.9
T
00
= ∂φ
∂t ⋆
∂φ ∂t
− L
46
= 1
2 ∂φ
∂t ⋆
∂φ ∂t
+ ∇φ ·
⋆
∇φ + m
2
φ ⋆ φ ;
IV.10 T
0j
= 1
2 ∂φ
∂t ,
∂φ ∂x
j ⋆
. IV.11
Pada persamaan IV.10 diperkenalkan perkalian noktah-bintang seperti pada perkalian noktah antara dua buah vektor-3 namun dengan menggantikan setiap bentuk perkalian
per titik · dengan perkalian-bintang ⋆. Untuk jelasnya ditinjau sebuah contoh,
yakni perkalian noktah-bintang antara dua buah vektor-3 ~ Ax dan ~
Bx, yang masing- masing komponennya merupakan fungsi licin yang terdefinisi pada ruang Minkowski.
Maka ~ Ax ·
⋆
~ Bx didefinisikan sebagai
~ Ax ·
⋆
~ Bx :=
3
X
j =1
A
j
x ⋆ B
j
x. IV.12
Setelah memperoleh bentuk rapat Hamiltonan dan rapat momentum medan φx, da-
pat diperoleh Hamiltonan dan momentum medan dengan menggunakan persamaan III.35 dan III.36.
Selanjutnya hendak diturunkan bentuk momentum sudut medan Klein-Gordon riil. Untuk suatu medan skalar, koefisien
R
νβ
pada persamaan III.41 bernilai nol, se- hingga medan Klein-Gordon yang merupakan medan skalar tidak memiliki momen-
tum sudut intrinsik S
jk
= 0. Dengan demikian momentum sudut total J
jk
hanya terdiri dari momentum sudut orbital
M
jk
. Menurut persamaan III.53, III.55, dan III.56
M
ρβ
dapat diuraikan menjadi K
ρβ
dan M
ρβ
, sehingga M
ρβ
= K
ρβ
+ M
ρβ
. Karena tensor energi-momentum medan
φx telah diperoleh, maka untuk mencari bentuk
M
ρβ
hanya perlu mencari bentuk K
ρβ
. Jika persamaan IV.3 disubstitusikan ke dalam persamaan III.56 dan dengan
47
menggunakan persamaan Klein-Gordon, diperoleh
K
ρβ
= 1
2 Z
∞ −∞
∞
X
n =1
i 2
n− 1
1 n − 1
θ
µ
1
ν
1
· · · θ
µ
n−1
ν
n−1
∂ ∂t
∂
n− 1
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n−1
×
n− 1
X
l =1
g
ρµ
l
δ
ν β
− g
βµ
l
δ
ν ρ
∂
n− 1
φ ∂x
ν
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
l−1
∂x
µ
l+1
· · · ∂x
µ
n−1
+ ∂
∂t ∂
n− 1
φ ∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n−1
n− 1
X
l =1
g
ρν
l
δ
ν β
− g
βν
l
δ
ν ρ
× ∂
n− 1
φ ∂x
ν
∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
l−1
∂x
ν
l+1
· · · ∂x
ν
n−1
d
3
x. IV.13
Karena
θ
µ
1
ν
1
· · · θ
µ
n−1
ν
n−1
∂ ∂t
∂
n− 1
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n−1
n− 1
X
l =1
g
ρµ
l
δ
ν β
− g
βµ
l
δ
ν ρ
× ∂
∂x
ν
∂
n− 2
φ ∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
l−1
∂x
µ
l+1
· · · ∂x
µ
n−1
= n − 1θ
µ
1
ν
1
· · · θ
µ
n−1
ν
n−1
×g
ρµ
1
δ
ν β
− g
βµ
1
δ
ν ρ
∂ ∂x
ν
∂
n− 2
φ ∂x
µ
2
· · · ∂x
µ
n−1
∂ ∂t
∂
n− 1
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n−1
,IV.14
berarti integrand persamaan IV.13 tidak lenyap hanya untuk n 1. Jika persamaan
IV.14 disubstitusikan ke dalam persamaan IV.13, diperoleh
K
ρβ
= i
4 Z
∞ −∞
∞
X
n =0
i 2
n
1 n
θ
µ
1
ν
1
· · · θ
µ
n
ν
n
θ
κλ
g
ρκ
δ
ν β
− g
βκ
δ
ν ρ
× ∂
∂x
ν
∂
n
φ ∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
∂
2
∂t∂x
λ
∂
n
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
+ ∂
2
∂t∂x
κ
∂
n
φ ∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
g
ρλ
δ
ν β
− g
βλ
δ
ν ρ
∂ ∂x
ν
∂
n
φ ∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
d
3
x =
i 4
Z
∞ −∞
θ
κλ
g
ρκ
δ
ν β
− g
βκ
δ
ν ρ
∂φ ∂x
ν
, ∂
2
φ ∂t∂x
λ ⋆
d
3
x IV.15
48
Dengan hasil ini maka diperoleh
J
ρβ
= M
ρβ
= K
ρβ
+ M
ρβ
= Z
∞ −∞
i 4
θ
κλ
δ
ν ρ
g
βκ
− δ
ν β
g
ρκ
∂φ ∂x
ν
, ∂
2
φ ∂t∂x
λ ⋆
+x
ρ
T
β
− x
β
T
ρ
d
3
x,
dan bentuk kontravariannya adalah
J
ρβ
= M
ρβ
= K
ρβ
+ M
ρβ
= Z
∞ −∞
i 4
θ
κλ
g
νρ
δ
β κ
− g
νβ
δ
ρ κ
∂φ ∂x
ν
, ∂
2
φ ∂t∂x
λ ⋆
+x
ρ
T
0β
− x
β
T
0ρ
d
3
x.
Komponen ruang dari J
jk
adalah momentum sudut medan Klein-Gordon riil,
J
jk
= M
jk
= K
jk
+ M
jk
= Z
∞ −∞
i 4
θ
κλ
g
νj
δ
k κ
− g
νk
δ
j κ
∂φ ∂x
ν
, ∂
2
φ ∂t∂x
λ ⋆
+x
j
T
0k
− x
k
T
0j
d
3
x. IV.16
Untuk mencari bentuk eksplisit Hamiltonan, momentum, dan momentum sudut yang dimiliki medan
φx, maka medan φx dituliskan sebagai suatu ekspansi Fouri- er
φx = Z
∞ −∞
n a~ke
− ik·x
+ a
∗
~ke
ik·x
o d
3
k 2π
3
2ω
~ k
, IV.17
dengan k · x ≡ k
µ
x
µ
. Vektor-4 k
µ
memenuhi kaitan De Broglie-Einstein
E = ω
~ k
= k ; ~p = ~k,
IV.18
49
sehingga menurut persamaan IV.1
3
ω
~ k
= k =
q ~k
2
+ m
2
. IV.19
Jika φx pada persamaan IV.17 disubstitusikan ke dalam persamaan IV.10, IV.11,
serta dengan menggunakan persamaan III.34 dan III.35, diperoleh
H = Z
∞ −∞
1 2
∂φ ∂t
⋆ ∂φ
∂t + ∇φ ·
⋆
∇φ + m
2
φ ⋆ φ d
3
x =
1 2
Z
∞ −∞
a
∗
~ka~k d
3
k 2π
3
; IV.20
~ P = −
Z
∞ −∞
1 2
∂φ ∂t
, ∇φ
⋆
d
3
x =
Z
∞ −∞
~k 2ω
~ k
a
∗
~ka~k d
3
k 2π
3
. IV.21
dan J
jk
= 1
2 Z
∞ −∞
ℑ a
∗
~k k
j
∂a~k ∂k
k
− k
k
∂a~k ∂k
j
d
3
k 2π
3
ω
~ k
yang dapat dituliskan sebagai ~
J = 1
2 Z
∞ −∞
ℑ n
a
∗
~k ∇
~ k
a~k × ~k o
d
3
k 2π
3
ω
~ k
, IV.22
dengan ℑz menyatakan bagian imajiner dari bilangan kompleks z. Kuantitas pada
persamaan IV.20, IV.21, dan IV.22 merupakan bentuk eksplisit Hamiltonan, mo- mentum, serta momentum sudut medan Klein-Gordon riil pada ruang Minkowski tak
komutatif. Persamaan IV.20, IV.21 dan IV.22 menunjukkan bahwa Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut medan Klein-Gordon riil pada ruang Minkowski
yang tidak komutatif tidak berbeda dengan Hamiltonan, momentum, serta momen-
3
Dalam pembahasan selanjutnya untuk medan Klein-Gordon kompleks dan medan Dirac kaitan IV.18 dan IV.19 selalu digunakan dalam pernyataan medan-medan yang bersangkutan sebagai suatu
ekspansi Fourier.
50
tum medan Klein-Gordon riil pada ruang Minkowski yang komutatif [Ryder , 1996] p.126-135.
2. Medan Klein-Gordon Kompleks