18
yang merupakan anggota S
R
2
. Dengan demikian ⋆
2
merupakan operasi biner pa- da
S
R
2
. Karena menurut persamaan II.28 perkalian ⋆
2
bersifat asosiatif, maka S
R
2
, +, ⋆
2
merupakan aljabar asosiatif tak komutatif di atas lapangan kompleks. Hal ini juga membuktikan kebenaran asumsi bahwa ˆ
W [S
R
2
] merupakan subaljabar dari
O
2
, +, ·. Karena ˆ W = P
2
|
S
R2
dan P
2
bersifat bijektif, maka perkalian ⋆
2
merupakan perkalian tak komutatif pada C
∞
R
2
, C sehingga terbentuklah aljabar C
∞
R
2
, C, +, ⋆
2
yang asosiatif dan tidak komutatif di atas lapangan kompleks. Perkalian
⋆
2
disebut sebagai perkalian-bintang star-product yang terdefinisikan
pada bidang R
2
tak komutatif.
3. Ruang Minkowski Tak Komutatif
Penurunan bentuk perkalian-bintang yang terdefinisikan pada bidang R
2
di- lakukan berdasarkan kenyataan bahwa dalam mekanika kuantum koordinat-koordinat
x
j
merupakan observabel yang berarti memiliki wakilan operator linier yang Hermi- tan di ruang Hilbert
H. Penjabaran konsep ruang-waktu R
4
tak komutatif yang diiku- ti dengan pendefinisian perkalian-bintang pada ruang-waktu R
4
analog dengan pen- jabaran konsep bidang tak komutatif. Tetapi hal ini terkendala oleh kenyataan bahwa
dalam bahasan mekanika kuantum waktu bukanlah observabel melainkan suatu pa- rameter, sehingga tidak terdapat operator linier yang Hermitan bagi waktu
3
. Dalam pembahasan teori medan, waktu dan ruang bukan lagi suatu observabel melainkan su-
atu parameter, sehingga dapat dilakukan pembentukan ruang-waktu yang tidak komu- tatif dengan memperkenalkan operator-operator linier yang Hermitan di ruang Hilbert
3
Kedudukan waktu dalam mekanika kuantum masih menjadi perdebatan hingga kini. Beberapa
fisikawan salah satunya adalah Goswami. Hal ini dapat diacu pada [Goswami , 1997] menyatakan tidak terdapat operator waktu. Namun andaikan waktu merupakan suatu observabel keberadaan op-
erator linier yang hermitan bagi observabel waktu tidak dimungkinkan secara matematis [Dwandaru dkk , 2004].
19
H bagi parameter ruang-waktu x
µ
yang mematuhi kaitan komutasi
[ˆ x
µ
, ˆ x
ν
] = iθ
µν
, µ, ν = 0, 1, 2, 3. II.30
Kuantitas θ
µν
merupakan komponen suatu tensor kontravarian antisimetris dengan rank 2 yang
[L]
2
[L] adalah dimensi observabelbesaran panjang. Kaitan komutasi pada persamaan II.30 menyebabkan aljabar
O
4
, +, · di atas lapangan kompleks tidak lagi komutatif, dan melalui pemetaan
P
− 1
4
ketidakko- mutatifan aljabar
O
4
, +, · mengimbas terbentuknya aljabar C
∞
R
4
, C, +, ⋆ yang tidak komutatif di atas lapangan kompleks, dengan perkalian
⋆ adalah perkalian tak komutatif yang hendak dicari bentuk eksplisitnya. Untuk mencari bentuk eksplisit
perkalian ⋆ dilakukan penurunan yang analog dengan penurunan bentuk eksplisit
perkalian-bintang pada bidang R
2
tak komutatif. Ditinjau
S
R
4
⊂ C
∞
R
4
, C, di mana setiap ψ = ψx = ψ~r, t ∈ S
R
4
mempunyai padanan di ruang k berdimensi 4 yang diperoleh melalui transformasi
Fourier ˜
ψk = 2π
− 2
Z
∞ −∞
ψxe
− ik
µ
x
µ
d
4
x, II.31
dan ψx dapat dinyatakan sebagai transformasi Fourier balik dari ˜
ψk
ψx = 2π
− 2
Z
∞ −∞
˜ ψke
ik
µ
x
µ
d
4
k. II.32
Dengan adanya pemetaan ˆ W
4
:= P
4
|
S
R4
, maka bayangan ψx di ˆ
W
4
[S
R
4
] ⊂ O
4
adalah ˆ
ψ = ˆ W
4
[ψ] = 2π
− 2
Z
∞ −∞
˜ ψke
ik
µ
x
µ
d
4
k, II.33
20
dan bayangan baliknya di S
R
4
adalah ˆ
W
− 1
4
[ ˆ ψ] = ψx = 2π
− 4
Z
∞ −∞
e
ik
µ
x
µ
tr[ ˆ ψ ˆ
T
†
k]d
4
k, II.34
dengan operator ˆ T k didefinisikan sebagai
ˆ T k := e
ik
µ
ˆ x
µ
II.35
yang memiliki sifat-sifat yang mirip dengan ˆ T ~p = ˆ
T p
1
, p
2
pada persamaan II.20, II.21, dan II.22, yakni
ˆ T
†
k = ˆ
T −k; II.36
ˆ T k ˆ
T k
′
= ˆ
T k + k
′
e
−
i 2
θ
µν
k
µ
k
′ ν
; II.37
tr[ ˆ T k] = 2π
4
δ
4
k. II.38
Persamaan II.38 merupakan analogi sifat pada persamaan II.22 [Sochichiu , 2004]. Perkalian tak komutatif
⋆ pada S
R
4
didefinisikan sebagai ˆ
W
− 1
4
[ ˆ ψ
1
ˆ ψ
2
· · · ˆ ψ
n
] := ψ
1
⋆ ψ
2
⋆ · · · ⋆ ψ
n
= 2π
4
Z
∞ −∞
e
ik
µ
x
µ
tr[ ˆ ψ
1
ˆ ψ
2
· · · ˆ ψ
n
ˆ T
†
k]d
4
k = e
i 2
θ
µν
P
n jk
∂ ∂x
j µ
∂ ∂xk
ν
ψ
1
x
1
ψ
2
x
2
· · · ψ
n
x
n x
1
=...=x
n
=x
, II.39
sehingga untuk n = 2, diperoleh hasil yang serupa dengan II.29
ψ
1
⋆ ψ
2
x = e
i 2
θ
µν ∂
∂xµ ∂
∂yν
ψ
1
xψ
2
y
x =y
21
= ψ
1
ψ
2
x +
∞
X
n =1
i 2
n
1 n
θ
µ
1
ν
1
θ
µ
2
ν
2
· · · θ
µ
n
ν
n
× ∂
n
ψ
1
∂x
µ
1
· · · ∂x
µ
n
x ∂
n
ψ
2
∂x
ν
1
· · · ∂x
ν
n
x. II.40
Persamaan II.40 menyatakan bahwa ψ
1
⋆ ψ
2
∈ S
R
4
, dan dari persamaan II.39 jelas bahwa
S
R
4
, +, ⋆ merupakan aljabar asosiatif tak komutatif di atas lapangan kompleks. Dengan memberlakukan perkalian
⋆ pada C
∞
R
4
, C ⊃ S
R
4
, diper- oleh aljabar asosiatif tak komutatif
C
∞
R
4
, C, +, ⋆ dengan S
R
4
, +, ⋆ subaljabar dari
C
∞
R
4
, C, +, ⋆. Perkalian ⋆ disebut sebagai perkalian-bintang yang didefin- isikan pada ruang-waktu R
4
. Suatu ruang yang menjadi basis bagi aljabar asosiatif
yang tak komutatif itu disertai dengan metrik Minkowski disebut ruang Minkowski tak komutatif
.
4. Sifat-Sifat Perkalian Bintang
