Isotropi Ruang FORMULASI LAGRANGAN YANG DIPERUMUM DAN

36

4. Isotropi Ruang

Ditinjau suatu sistem yang mengalami rotasi sehingga suatu titik A dengan vektor posisi ~r berubah posisinya menjadi ~ r ′ . Jika rotasi tersebut infinitesimal dan dilakukan mengitari suatu sumbu yang sejajar dengan vektor satuan ~n dengan sudut rotasi sebesar δφ, maka rotasi infinitesimal tersebut dapat dituliskan sebagai ~ r ′ = ~r + δφ~n × ~r, III.37 yang berarti δ~r = δφ~n × ~r. III.38 Komponen-komponen δ~r adalah δx k = δφǫ ijk n i x j . III.39 Karena rotasi merupakan subgrup dari grup Lorentz, persamaan III.39 dapat dit- uliskan secara umum sebagai δx ν = δφǫ ναβ n α x β . III.40 Pada persamaan III.40 δφ merupakan parameter suatu transformasi Lorentz infinites- imal. Untuk suatu rotasi, maka δφ merupakan sudut rotasi infinitesimal. Transformasi III.37 menyebabkan medan ψ mengalami transformasi menjadi ψ ′ yang dinyatakan sebagai ψ ′ x = ψx − δφǫ ναβ n α x β ∂ψ ∂x ν + 1 2 δφǫ ναβ n α R νβ ψx. Koefisien R αβ ditentukan oleh sifat medan ψ terhadap transformasi Lorentz serta bersifat antisimetris terhadap pertukaran indeks. Perubahan yang dialami oleh medan 37 ψ adalah δψ = −δφǫ ναβ n α x β ∂ψ ∂x ν + 1 2 δφǫ ναβ n α R νβ ψ = −ǫ ναβ n α g βλ x λ ∂ψ ∂x ν + 1 2 δφǫ ναβ n α R νβ ψ, III.41 yang mengimbas transformasi bagi turunan-turunan medan ψ sebesar δ ∂ j ψ ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j = ∂ j δψ ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j = −ǫ ναβ n α j X k =1 g βµ k ∂ j ψ ∂x ν ∂x µ 1 · · · ∂x µ k−1 ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j +x β ∂ j +1 ψ ∂x ν ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j − 1 2 ∂ j R νβ ψ ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j . III.42 Dari persamaan III.41, III.42, dan III.19 diperoleh ∆ψ = 1 2 δφǫ ναβ n α R νβ ψ III.43 dan ∆ ∂ j ψ ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j = − j X k =1 g βµ k ∂ j ψ ∂x ν ∂x µ 1 · · · ∂x µl− 1 ∂x µ l+1 · · · ∂x µ j − 1 2 ∂ j R νβ ψ ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ j δφǫ ναβ n α . III.44 Ruang yang isotrop menyebabkan I tidak berubah terhadap transformasi III.40, se- hingga menghasilkan kuantitas yang lestari, yakni δφ Z ∞ −∞ n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂t∂x µ1 ···∂x µl−1 ∂x µl+1 ···∂x µj 38 ×ǫ ναβ n α − j X l =k+1 g βµ l ∂ j−k ψ ∂x ν ∂x µk +1 · · · ∂x µ l−1 ∂x µ l+1 · · · ∂x µ j + 1 2 ∂ j−k R νβ ψ ∂x mu k+1 · · · ∂x µ j − 1 c T ν ǫ ναβ n α x β d 3 x. III.45 Karena ǫ ναβ n α x β = 1 2 ǫ ραβ n α δ ν ρ x β − δ ν β x ρ III.46 dan ǫ ναβ n α g βµ l = 1 2 ǫ ραβ n α δ ν ρ g βµ l − δ ν β g ρµ l III.47 maka bentuk III.45 dapat dituliskan sebagai dapat dituliskan sebagai Z ∞ −∞ n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂t∂x µ1 ···∂x µk−1 ∂x µk+1 ···∂x µj × j X l =k+1 δ ν β g ρµ l − δ ν ρ g βµ l ∂ j−k ψ ∂x ν ∂x µ k+1 · · · ∂x µ l−1 ∂x µ l+1 · · · ∂x µ j + 1 c x ρ T β − x β T ρ + n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂t∂x µ1 ···∂x µk−1 ∂x µk+1 ···∂x µj × ∂ j−k R ρβ ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j 1 2 δφǫ ραβ n α d 3 x. III.48 Dengan mensubstitusi III.48 ke dalam persamaan III.47 diperoleh ǫ ραβ n α d dt J ρβ = 0 III.49 dengan J ρβ = Z ∞ −∞ n X j =1 j X k =1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂t∂x µ1 ···∂x µk−1 ∂x µk+1 ···∂x µj 39 ×−1 k− 1 j X l =k+1 δ ν β g ρµ l − δ ν ρ g βµ l ∂ j−k ψ ∂x ν ∂x µ k+1 · · · ∂x µ l−1 ∂x µ l+1 · · · ∂x µ j + 1 c x ρ T β − x β T ρ + n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂t∂x µ1 ···∂x µk−1 ∂x µk+1 ···∂x µj × ∂ j−k R ρβ ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j d 3 x. III.50 Agar persamaan III.49 berlaku untuk sembarang n α = g ακ n κ , maka d dt J ρβ = 0. III.51 Selanjutnya J ρβ dapat diuraikan menjadi J ρβ = M ρβ + S ρβ III.52 dengan M ρβ = Z ∞ −∞ n X j =1 j X k =1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂t∂x µ1 ···∂x µk−1 ∂x µk+1 ···∂x µj ×−1 k− 1 j X l =k+1 δ ν β g ρµ l − δ ν ρ g βµ l ∂ j−k ψ ∂x ν ∂x µ k+1 · · · ∂x µ l−1 ∂x µ l+1 · · · ∂x µ j + 1 c x ρ T β − x β T ρ d 3 x III.53 dan S ρβ = Z ∞ −∞ n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂t∂x µ1 ···∂x µk−1 ∂x µk+1 ···∂x µj × ∂ j−k R ρβ ψ ∂x µ k+1 · · · ∂x µ j d 3 x III.54 40 yang masing-masing antisimetris terhadap pertukaran indeks ρ dan β, sehingga J ρβ juga antisimetris terhadap pertukaran indeks. Kuantitas M ρβ berkaitan dengan momentum sudut orbital medan ψ, sedan- gkan S ρβ yang gayut pada sifat medan ψ terhadap transformasi Lorentz berkaitan dengan momentum sudut intrinsik medan ψ. Dari persamaan III.53 tampak bahwa M ρβ masih dapat diuraikan menjadi komponen yang gayut pada koordinat ruang dan waktu M ρβ = Z ∞ −∞ 1 c x ρ T β − x β T ρ d 3 x, III.55 serta komponen yang tidak gayut pada koordinat ruang dan waktu K ρβ = Z ∞ −∞ n X j =1 j X k =1 −1 k− 1 ∂ k− 1 ∂x µ 1 ∂x µ 2 · · · ∂x µ k−1 ∂L ∂ ∂ j ψ ∂t∂x µ1 ···∂x µk−1 ∂x µk+1 ···∂x µj × j X l =k+1 g ρµ l δ ν β − g βµ l δ ν ρ ∂ j−k ψ ∂x ν ∂x µ k+1 · · · ∂x µ l−1 ∂x µ l+1 · · · ∂x µ n d 3 x. III.56 Dengan demikian J ρβ dapat dituliskan sebagai J ρβ = K ρβ + M ρβ + S ρβ . III.57 Bentuk penulisan terakhir akan mempermudah pembahasan dalam bab-bab selanjut- nya. Komponen-komponen J ρβ berkaitan dengan transformasi Lorentz, yakni J ρβ merupakan kuantitas yang lestari terhadap transformasi Lorentz. Komponen ruang J jk , j, k = 1, 2, 3 berkaitan dengan transformasi yang berupa suatu rotasi, dan meru- pakan momentum sudut total medan ψ. Kuantitas M jk merupakan momentum sudut orbital sedangkan S jk yang gayut terhadap R jk merupakan momentum sudut intrin- sik spin? medan ψ. Dari uraian di atas tampak bahwa M ρβ = K ρβ + M ρβ , dan komponen ruangnya M jk = K jk + M jk . Suku K jk yang tidak gayut pada koor- 41 dinat ruang merupakan akibat perumuman rapat Lagrangan L yang dituliskan pada persamaan III.6 dan akan lenyap bila rapat Lagrangan hanya gayut pada ψ dan tu- runan orde pertamanya. Dengan demikian J jk yang merupakan kuantitas yang lestari jika terdapat kesetangkupan terhadap suatu rotasi didefinisikan sebagai momentum sudut total medan, atau dapat dikatakan bahwa kuantitas lestari yang menyertai kesetangkupan terhadap suatu rotasi adalah momentum sudut total . Kajian mengenai kesetangkupan terhadap suatu transformasi ruang dan waktu cukup dengan hanya membahas mengenai transformasi yang berupa translasi ruang- waktu maupun rotasi atau secara umum transformasi Lorentz, karena berbagai trans- formasi dapat diuraikan sebagai kombinasi dari kedua jenis transformasi ini.

BAB IV MEDAN KLEIN-GORDON PADA RUANG MINKOWSKI TAK