Kepadatan dan Kecepatan Mobil pada Kondisi Ekuilibrium
kepadatan kritis dan seluruh mobil akan berhenti bersama-sama ketika mencapai kepadatan maksimum, sehingga
max
= ρ
v .
Sasaran selanjutnya adalah menentukan ρ
v untuk
crit
ρ ρ
. Kepadatan maksimum akan dicapai ketika jarak antarmobil adalah sepanjang ruang yang
tersisa pada saat bemper depan mobil berhimpit dengan bemper belakang mobil di posisi depan, dan setiap mobil tidak bergerak lagi. Banyaknya mobil pada interval
, ε
ε +
−
o o
z z
tidak lebih besar dari P
2 ε
. Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan 4.1.2 diperoleh
P P
1 2
1 2
max
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
ε ε
ρ .
4.1.3 Jika terjadi suatu kondisi dengan setiap mobil bergerak dengan kecepatan v,
jarak antarmobil adalah d, dan jika setiap mobil memiliki panjang P, maka P
d +
= 1
ρ ,
, P
d .
4.1.4 Pada kondisi ekuilibrium setiap mobil akan bergerak dengan kecepatan yang sama
dan oleh karena itu tidak akan bergantung pada i. Dari persamaan 4.1.1 akan diperoleh
α λ
α λ
+ +
= +
+ =
ln ln
P d
P d
v
i
, dengan
P d
+ adalah jarak relatif antara dua mobil di depan dengan posisi berurutan, dan
i
α juga harus bebas dari i dan diganti oleh α . Dengan menggunakan persamaan 4.1.4 akan diperoleh
α ρ
λ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= 1
ln v
, 4.1.5
dengan λ dan α adalah parameter. Nilai parameter α ditentukan dari
max
= ρ
v . Dengan mengatur agar nilai
max
ρ ρ =
pada persamaan 4.1.5, akan diperoleh
1 ln
max max
= +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= α
ρ λ
ρ v
1 max
ln
−
− =
⇔ ρ
λ α
. ln
max
ρ λ
α = ⇔
Sebagai akibatnya persamaan 4.1.5 menjadi ln
1 ln
max
ρ λ
ρ λ
ρ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= v
, ln
ln ln
max max
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= −
= ρ
ρ λ
ρ ρ
λ 4.1.6
untuk
crit
ρ ρ
. Lebih lanjut, ρ
v akan kontinu pada
crit
ρ ρ =
. Dengan mengatur
crit
ρ ρ =
akan diperoleh kecepatan maksimum yang dinotasikan
max
v , yaitu
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= =
crit crit
v v
ρ ρ
λ ρ
max max
ln ,
sehingga diperoleh
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
crit
v ρ
ρ λ
max max
ln .
Substitusikan λ pada persamaan 4.1.6 akan diperoleh
1 max
max max
ln ln
−
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
crit
v v
ρ ρ
ρ ρ
ρ ,
yang pada akhirnya akan diperoleh
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ≤
≤ =
− crit
crit
v v
v ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
untuk ,
ln ln
untuk ,
1 max
max max
crit max
4.1.7
Perlu diperhatikan bahwa kecepatan bernilai konstan sampai dicapai kepadatan kritis
crit
ρ , kemudian kecepatan akan menurun secara logaritmik sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 Plot antara kecepatan dengan kepadatan.