Kepadatan dan Kecepatan Mobil pada Kondisi Ekuilibrium

kepadatan kritis dan seluruh mobil akan berhenti bersama-sama ketika mencapai kepadatan maksimum, sehingga max = ρ v . Sasaran selanjutnya adalah menentukan ρ v untuk crit ρ ρ . Kepadatan maksimum akan dicapai ketika jarak antarmobil adalah sepanjang ruang yang tersisa pada saat bemper depan mobil berhimpit dengan bemper belakang mobil di posisi depan, dan setiap mobil tidak bergerak lagi. Banyaknya mobil pada interval , ε ε + − o o z z tidak lebih besar dari P 2 ε . Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan 4.1.2 diperoleh P P 1 2 1 2 max = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ε ε ρ . 4.1.3 Jika terjadi suatu kondisi dengan setiap mobil bergerak dengan kecepatan v, jarak antarmobil adalah d, dan jika setiap mobil memiliki panjang P, maka P d + = 1 ρ , , P d . 4.1.4 Pada kondisi ekuilibrium setiap mobil akan bergerak dengan kecepatan yang sama dan oleh karena itu tidak akan bergantung pada i. Dari persamaan 4.1.1 akan diperoleh α λ α λ + + = + + = ln ln P d P d v i , dengan P d + adalah jarak relatif antara dua mobil di depan dengan posisi berurutan, dan i α juga harus bebas dari i dan diganti oleh α . Dengan menggunakan persamaan 4.1.4 akan diperoleh α ρ λ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 ln v , 4.1.5 dengan λ dan α adalah parameter. Nilai parameter α ditentukan dari max = ρ v . Dengan mengatur agar nilai max ρ ρ = pada persamaan 4.1.5, akan diperoleh 1 ln max max = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α ρ λ ρ v 1 max ln − − = ⇔ ρ λ α . ln max ρ λ α = ⇔ Sebagai akibatnya persamaan 4.1.5 menjadi ln 1 ln max ρ λ ρ λ ρ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = v , ln ln ln max max ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = ρ ρ λ ρ ρ λ 4.1.6 untuk crit ρ ρ . Lebih lanjut, ρ v akan kontinu pada crit ρ ρ = . Dengan mengatur crit ρ ρ = akan diperoleh kecepatan maksimum yang dinotasikan max v , yaitu ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = crit crit v v ρ ρ λ ρ max max ln , sehingga diperoleh ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = crit v ρ ρ λ max max ln . Substitusikan λ pada persamaan 4.1.6 akan diperoleh 1 max max max ln ln − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = crit v v ρ ρ ρ ρ ρ , yang pada akhirnya akan diperoleh ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ ≤ = − crit crit v v v ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ untuk , ln ln untuk , 1 max max max crit max 4.1.7 Perlu diperhatikan bahwa kecepatan bernilai konstan sampai dicapai kepadatan kritis crit ρ , kemudian kecepatan akan menurun secara logaritmik sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.1. Gambar 4.1 Plot antara kecepatan dengan kepadatan.

4.1.2 Arus Lalu Lintas Maksimum pada Kondisi Ekuilibrium

Dari subbab 2.2, arus lalu lintas dinotasikan oleh , t x j . Dengan asumsi bahwa arus lalu lintas juga hanya bergantung pada kepadatan, , t x j dapat dinyatakan oleh , , t x j t x j ρ = . Arus lalu lintas adalah banyaknya mobil yang melalui titik yang diberikan per unit waktu, yaitu waktu jarak jarak mobil banyaknya ρ ρ ρ v j = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = . Hubungan antara kecepatan dengan kepadatan yang diperoleh dari kondisi ekuilibrium pada persamaan 4.1.7 didefinisikan sebagai ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ ≤ = − . untuk , ln ln untuk , 1 max max max crit max crit crit v v j ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 4.1.8 Dengan mendiferensialkan persamaan 4.1.8 dapat ditentukan nilai maksimum arus lalu lintas. Untuk crit ρ ρ akan diperoleh 1 max max max ln ln − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = crit v j ρ ρ ρ ρ ρ ρ ln ln ln max 1 max max ρ ρ ρ ρ ρ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − crit v , ln ln ln ln 1 max max 1 max max max ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = crit crit v v sehingga turunan ρ j terhadap ρ adalah ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ′ − − − ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 1 ln ln ln ln ln 1 max max 1 max max 1 max max max crit crit crit v v v j [ ] [ ] . 1 ln ln 1 ln ln ln 1 ln ln ln ln max 1 max max max 1 max max 1 max max 1 max max max ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − − − ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ crit crit crit crit v v v v Selanjutnya dengan membuat persamaan tersebut bernilai sama dengan nol, akan diperoleh 1 ln ln max 1 max max = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ρ ρ ρ ρ crit v . Oleh karena max v , persamaan tersebut dapat bernilai nol jika dan hanya jika 1 ln ln max = − ρ ρ , sehingga exp = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ρ ρ max ln exp 1 e max ρ ρ = ⇔ . Oleh karena itu solusi dari ρ hanya dapat diperoleh jika terjadi e opt max ρ ρ ρ = = . Jika crit opt ρ ρ , maka arus lalu lintas maksimum dapat terjadi pada opt ρ . Jika crit opt ρ ρ ≤ , maka arus lalu lintas maksimum akan terjadi pada crit ρ . Hal ini dikarenakan untuk setiap crit ρ ρ ≤ ≤ , max = ′ v j ρ . Jadi j meningkat pada interval tersebut dan mencapai maksimum pada titik terakhir di sebelah kanan. Kepadatan kritis yang dinotasikan crit ρ , diperoleh dari hasil observasi dan bergantung pada kebiasaan pengendara lokal dalam berkemudi, oleh karena itu