d Mengevaluasi hasil simulasi dari kajian numerik model
mikroskopik multijalur. 3.
Selanjutnya, menurunkan persamaan model kinetik multijalur berdasarkan model mikroskopik multijalur dengan reaksi batas. Pada model kinetik
multijalur peluang perpindahan jalur suatu mobil diperoleh dari sebaran mobil di posisi depan. Tahapan dalam memperoleh persamaan model
kinetik multijalur adalah sebagai berikut: a
Mengkaji sebaran mobil di posisi depan b
Mengkaji peluang perpindahan suatu mobil ke jalur kanan atau ke jalur kiri.
c Menentukan operator perolehan G dan operator kehilangan L
dari masing-masing interaksi. d
Menentukan aproksimasi dari operator perolehan G dan operator kehilangan L untuk setiap interaksi guna memperoleh pendekatan
yang sesuai bagi persamaan model kinetik multijalur. 4.
Sebagai tahap akhir, dilakukan penurunan persamaan model kinetik kumulatif berdasarkan model kinetik multijalur yang memiliki fungsi
sebaran sama pada setiap jalur.
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Model Mikroskopik Jalur Tunggal
Model mikroskopik merupakan suatu model yang mendeskripsikan tingkah laku pengendara mobil secara individu pada berbagai macam situasi dalam
berkendara di jalan raya. Pada model mikroskopik jalur tunggal diasumsikan terdapat M mobil dan
t x
i
dinotasikan sebagai jarak mobil di posisi ke-i dari titik awal pada waktu t, dengan
M i
..., ,
1 =
. Diasumsikan masing-masing mobil memiliki panjang P dengan massa m, dan dipenuhi urutan
M
x x
x ...
2 1
. Kecepatan dari mobil pada posisi ke-i adalah
t x
t v
i i
′ =
, dengan t
x
i
′ dinotasikan sebagai turunan
t x
i
terhadap waktu t. Misalkan setiap pengendara memiliki waktu reaksi
τ dan diasumsikan bahwa waktu reaksi tersebut identik untuk setiap pengendara. Misalkan
t F
bi
adalah gaya pengereman dari mobil yang didefinisikan sebagai =
t F
bi
massaakselerasi = m τ
+ ′′ t
x
i
, dengan m adalah massa mobil dan
τ +
′′ t x
i
adalah perlambatan dari mobil ke-i pada waktu tunda
τ +
t . Besarnya gaya pengereman tersebut bergantung pada
kecepatan relatif dan jarak relatif terhadap mobil di posisi ke- 1
− i
. Diasumsikan bahwa gaya pengereman secara langsung proporsional terhadap kecepatan relatif,
dan kebalikannya proporsional terhadap jarak relatif. Jadi, gaya pengereman dari mobil diberikan oleh persamaan berikut:
1 1
t x
t x
t x
t x
A t
x m
t F
i i
i i
i bi
− −
− ′
− ′
= +
′′ =
τ ,
dengan
1
t x
t x
i i
−
− adalah jarak relatif antara mobil ke-i dengan mobil
ke- 1
− i
, dan A adalah konstanta positif. Jika m
A =
λ , maka akselerasi menjadi
ln
1
t x
t x
dt d
t v
t x
i i
i i
−
− =
+ ′
= +
′′ λ
τ τ
. Dengan mengintegralkan persamaan tersebut akan diperoleh kecepatan mobil ke-i
pada waktu tunda τ
+ t
yaitu
i i
i i
i
t x
t x
t x
t v
α λ
τ τ
+ −
= +
′ =
+
−
ln
1
, 4.1.1
yang berlaku untuk M
i ...,
, 3
, 2
= . Persamaan 4.1.1 tidak berlaku untuk
1 =
i ,
karena mobil di posisi paling depan tidak dipengaruhi oleh mobil lainnya.
4.1.1 Kepadatan dan Kecepatan Mobil pada Kondisi Ekuilibrium
Kondisi ekuilibrium pada fenomena lalu lintas telah didefinisikan sebelumnya pada subbab 2.6, yaitu suatu kondisi pada jalan raya di mana setiap
mobil berjarak sama terhadap mobil di posisi depan, dan setiap mobil juga bergerak dengan kecepatan yang sama. Salah satu contoh dari kondisi ekuilibrium
tersebut yaitu pada kondisi di mana mobil melalui suatu terowongan dan kecepatan setiap mobil akan berkurang seiring peningkatan kepadatan mobil yang
melalui terowongan tersebut. Untuk memperoleh definisi yang sesuai mengenai kepadatan mobil pada kondisi tersebut, dipertimbangkan terdapat suatu interval
dengan panjang ε
2 dan
ε , yang relatif besar terhadap P tetapi relatif kecil
terhadap skala makroskopik dari jalan raya. Kepadatan mobil di suatu titik
o
x pada waktu t dinotasikan dengan
, t
x
o
ρ , yaitu
ε ρ
ε ε
2 ,
, ,
t x
x o
o o
n t
x
+ −
= ,
4.1.2 dengan
, ,
t x
x
o o
n
ε ε
+ −
adalah banyaknya mobil di interval ,
ε ε
+ −
o o
x x
pada waktu t. Pada kondisi ekuilibrium, diasumsikan terdapat sebuah mobil di interval
sepanjang
1 −
−
i i
x x
, sehingga persamaan 4.1.2 dapat dinyatakan sebagai
1
1
−
− =
i i
x x
ρ .
Kepadatan maksimum, yaitu
max
ρ akan diperoleh jika jarak relatif antara mobil ke-i dengan mobil ke-
1 −
i sepanjang P, sehingga
P 1
max
= ρ
. Diasumsikan bahwa kecepatan hanya bergantung pada kepadatan, yaitu
, ,
t x
v t
x v
ρ =
. Terdapat kepadatan kritis yang dapat diamati yaitu
crit
ρ , sedemikian sehingga
ρ
v adalah kecepatan maksimum untuk kepadatan di interval
crit
ρ ρ ≤
≤ , yang dinotasikan oleh
max
v , dan besarnya sama dengan batas
maksimum dari kecepatan mobil. Arus lalu lintas akan mulai melambat pada
