Model Mikroskopik Multijalur HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada model mikroskopik multijalur diasumsikan terdapat N jalur pada jalan raya. Mobil yang diamati dinotasikan dengan c. Kemudian mobil di posisi depan
dan belakang berturut-turut dinotasikan oleh
+
c dan
−
c . Pada jalur kanan dan kiri
dinotasikan
+ r
c ,
− r
c dan
+ l
c ,
− l
c . Kecepatan sebelum dan sesudah terjadi
interaksi berturut-turut dinotasikan oleh v dan v′ . Kecepatan mobil nilainya berkisar dari 0 sampai dengan w , dengan w adalah kecepatan maksimum mobil.
Didefinisikan H
adalah jarak minimum antarmobil. Ambang batas untuk perpindahan ke jalur kanan dinotasikan dengan
R
H , ambang batas untuk
perpindahan ke jalur kiri adalah
L
H , ambang batas untuk pengereman adalah
B
H ,
ambang batas untuk akselerasi adalah
A
H , dan ambang batas untuk bebas
berkendara dinotasikan dengan
F
H , yang masing-masing didefinisikan sebagai
R R
vT H
v H
+ =
L L
vT H
v H
+ =
B B
vT H
v H
+ =
A A
vT H
v H
+ +
= δ
F F
wT H
H +
+ =
δ .
F A
B L
R
T T
T T
T
,
, ,
, berturut-turut menotasikan waktu reaksi dari masing-masing
interaksi dan δ menotasikan suatu konstanta positif. Interaksi yang mungkin
terjadi adalah sebagai berikut: 1.
Perpindahan ke jalur kanan Ruang yang diperlukan pada jalur kanan untuk melakukan perubahan
posisi mobil dinotasikan oleh
S R
S R
T v
H v
H +
= , dengan
S R
T dinotasikan
sebagai waktu reaksi ketika mobil sudah berada di jalur kanan. Jika
+
v v
dan v
H
R
dilalui, maka mobil akan berpindah ke jalur kanan hanya jika terdapat ruang yang cukup pada jalur kanan, yaitu jika:
v H
x x
S R
r
−
+
dan
_ _
r S
R r
v H
x x
− .
Lebih lanjut, c dan
−
c akan berakselerasi setelah terjadi perpindahan
jalur, dan kecepatan yang baru adalah
⎩ ⎨
⎧ −
= ′
+
selainnya ,
jika ,
~ v
H x
x v
v
F r
⎩ ⎨
⎧ −
= ′
− −
+ −
−
selainnya ,
jika ,
~ v
H x
x v
v
F
dengan
−
v v ~
, ~
disebarkan berdasarkan sebaran peluang dari kecepatan yang diinginkan pengendara dengan fungsi kepekatan peluang
D
f . Dipilih
~
1
ξ
−
=
D
F v
, dengan ξ adalah peubah acak yang menyebar seragam pada
selang 0,1 dan
∫
=
v D
D
v d
v f
v F
ˆ ˆ
. 2.
Perpindahan ke jalur kiri Ruang yang diperlukan pada jalur kiri untuk melakukan perubahan posisi
mobil dinotasikan oleh
S L
S L
T v
H v
H +
= , dengan
S L
T dinotasikan
sebagai waktu reaksi ketika mobil sudah berada di jalur kiri. Jika v
v
−
dan
−
v H
L
dilalui, maka mobil akan berpindah ke jalur kiri hanya jika terdapat ruang yang cukup di jalur kiri, yaitu jika:
v H
x x
S L
l
−
+
dan
_ _
l S
L l
v H
x x
− .
Lebih lanjut c dan
−
c akan berakselerasi setelah terjadi perpindahan jalur,
dan kecepatan yang baru adalah ⎩
⎨ ⎧
− =
′
+
selainnya ,
jika ,
~ v
H x
x v
v
F l
⎩ ⎨
⎧ −
= ′
− −
+ −
−
selainnya ,
jika ,
~ v
H x
x v
v
F
dengan
−
v v ~
, ~
disebarkan berdasarkan sebaran peluang dari kecepatan yang diinginkan pengendara dengan fungsi kepekatan peluang
D
f . Dipilih
~
1
ξ
−
=
D
F v
, dengan ξ adalah peubah acak yang menyebar seragam pada
selang 0,1 dan
∫
=
v D
D
v d
v f
v F
ˆ ˆ
. 3.
Pengereman Jika
+
v v
dan ambang batas pengereman v
H
B
dilewati, maka akan terjadi pengereman pada interval kecepatan
[ ]
v v
, β
di bawah kecepatan aktual v . Kecepatan yang baru didefinisikan sebagai
v v
v v
β ξ
β −
+ =
′ ,
1 β
,
dengan ξ menyebar seragam pada interval [0, 1]. Pengereman dibatasi
oleh suatu kondisi di mana akselerasi masih memungkinkan terjadi lagi, yaitu untuk setiap v , v′ dibutuhkan
v H
v H
B A
′ , sehingga
B A
T v
H T
v H
+ ′
+ +
δ
A B
T v
T v
′ −
⇔ δ
v v
v T
T T
v
A A
B
β ξ
β δ
− +
− ⇔
. dipilih v = w, sehingga
w w
w T
T T
w
A A
B
β ξ
β δ
− +
−
[ ]
1 β
ξ β
δ −
+ −
⇔ w
T T
T w
A A
B
1 β
ξ β
δ −
+ −
⇔
A A
B
T w
T T
. Untuk
= ξ
diperoleh β
δ −
A A
B
T w
T T
, dan untuk
1 =
ξ diperoleh
1 −
A A
B
T w
T T
δ ,
sehingga untuk
[ ]
1 ,
∈ ξ
berlaku .
1 −
β δ
A A
B
T w
T T
4. Akselerasi I pengikut
Jika
+
v v
dan ambang batas akselerasi v
H
A
dilewati, maka mobil akan berakselerasi pada interval kecepatan
[ ]
v v
α ,
di atas kecepatan aktual v . Persamaan kecepatan yang baru didefinisikan sebagai
, min
v v
w v
v −
+ =
′ α
ξ ,
1 α
. Akselerasi dibatasi oleh kondisi di mana pengereman masih
memungkinkan untuk dilakukan, yaitu untuk setiap v v ′
, dibutuhkan v
H v
H
A B
′ , sehingga
A B
T v
H T
v H
+ +
′ +
δ
A B
T v
T v
+ ′
⇔ δ
[ ]
B A
B
T T
v T
v v
w v
+ −
+ ⇔
δ α
ξ ,
min .
dipilih v = w, sehingga
[ ]
B A
B
T T
w T
w w
w w
+ −
+ δ
α ξ
, min
[ ]
B A
B
T T
T w
w w
w w
+ −
+ ⇔
δ α
ξ ,
min 1
Untuk 0 =
ξ diperoleh
B A
B
T T
T w
+ δ
1 .
Untuk 1 =
ξ diperoleh
[ ]
B A
B
T T
T w
w w
w w
+ −
+ δ
α ,
min 1
, jika
α w
w , maka
[ ]
B A
B
T T
T w
w w
w +
− +
δ 1
B A
B
T T
T w
+ ⇔
δ 1
, dan jika
w w
α , maka
[ ]
B A
B
T T
T w
w w
w +
− +
δ α
1
B A
B
T T
T w
+ −
+ ⇔
δ α 1
1
B A
B
T T
T w
+ ⇔
δ α
, sehingga untuk
[ ]
1 ,
∈ ξ
berlaku
B A
B
T T
T w
+ δ
α 1
.
5. Akselerasi II bebas berkendara
Jika
+
v v
dan ambang batas akselerasi v
H
F
dilewati, maka mobil akan berakselerasi dan bergerak bebas dengan kecepatan yang diinginkan.
Kecepatan yang baru yaitu v′ kecepatan yang diinginkan disebarkan berdasarkan fungsi sebaran dengan fungsi kepekatan
D
f , yaitu
1
ξ
−
= ′
D
F v
, dan
D
F sebagaimana sebelumnya.
Dari kelima interaksi diasumsikan terjadi urutan berikut:
B L
R A
F
T T
T T
T ≥
dan
B S
L S
R
T T
T ≥
, . Dengan kata lain, pengereman
memerlukan jarak aman yang paling minimum, sedangkan akselerasi pada jarak yang lebih jauh. Untuk mengubah posisi mobil, ruang yang diperlukan sekurang-
kurangnya sedemikian sehingga masih memungkinkan bagi pengendara mobil untuk melakukan pengereman.
Untuk memperoleh persamaan kinetik multijalur, akan digunakan model mikroskopik yang sederhana, yaitu tanpa adanya syarat akselerasi tambahan pada
interaksi perpindahan jalur. Setelah mencapai ambang batas pengereman, pengendara akan berusaha untuk berpindah ke jalur kanan, jika hal tersebut tidak
memungkinkan maka mobil yang berada di posisi depan akan berusaha untuk berpindah ke jalur kiri, dan jika perpindahan jalur tidak memungkinkan juga
untuk dilakukan, pengendara akan mengerem mobil yang dikendarai.
4.3 Model Kinetik 4.3.1 Pendekatan dari Sebaran Mobil di Posisi Depan
Klar Wegener 1998 mengatakan bahwa kuantitas dasar pada pendekatan kinetik adalah fungsi sebaran untuk mobil tunggal dan sebaran mobil di posisi
depan pada masing-masing jalur. Fungsi sebaran untuk mobil tunggal dinotasikan oleh
, v
x f
α
yang mendeskripsikan banyaknya mobil di posisi x dengan kecepatan v pada jalur
α . Sebaran mobil di posisi depan dinotasikan oleh ,
, ,
2 +
v h
v x
f
α
yang mendeskripsikan banyaknya pasangan mobil di posisi x dengan kecepatan v dan mobil di depannya pada posisi
h x
+ dengan kecepatan
+
v . Pada kasus ini dan untuk selanjutnya tidak dituliskan secara eksplisit
mengenai kebergantungan aspek waktu. ,
v x
f
α
dapat diperoleh dengan mengintegralkan
2 α
f terhadap h dan
+
v , yaitu
∫∫
∞ +
+
=
w
dv dh
v h
v x
f v
x f
0 0 2
, ,
, ,
α α
. 4.3.1
Kepadatan mobil di posisi x pada jalur α dinotasikan oleh
x
α
ρ , yaitu
∫
=
w
dv v
x f
x ,
α α
ρ ,
sehingga .
, ,
,
0 0 0 2
∫∫∫
∞ +
+
=
w w
dv dv
dh v
h v
x f
x
α α
ρ 4.3.2
Selanjutnya, rata-rata ruang yang tersedia untuk masing-masing mobil di jalur α
adalah
α
ρ 1
, yang didefinisikan sebagai
1 ,
, ,
, ,
,
0 0 0 2
0 0 0 2
x dv
dv dh
v h
v x
f dv
dv dh
v h
v x
f h
w w w w
α α
α
ρ =
∫∫∫ ∫∫∫
∞ +
+ ∞
+ +
, 4.3.3
sehingga
∫∫∫
∞ +
+
=
w w
dv dv
dh v
h v
x f
h
0 0 0 2
1 ,
, ,
α
. 4.3.4
Persamaan kinetik untuk fungsi sebaran
α
f menggunakan sebaran mobil di
posisi depan yaitu
2 α
f untuk menjelaskan pengaruh dari interaksi yang terjadi.
Untuk memperoleh persamaan tertutup dari
α
f , harus diperoleh pendekatan dari
sebaran mobil yang berada di posisi depan
2 α
f dengan cara yang sesuai yaitu
dengan menggunakan
α
f dan fungsi korelasi. Hubungan antara
2 α
f dan
α
f dapat dijelaskan sebagai berikut:
, ,
v x
F x
v x
f
α α
α
ρ =
4.3.5 ,
, ;
, ,
; ,
, ,
2
v x
f x
v h
Q x
v h
v F
v h
v x
f
α α
α α
+ +
+
= 4.3.6
dengan ,
v x
F
α
= sebaran peluang dari mobil di posisi x dengan kecepatan v ; ,
, ;
x v
h v
F
+ +
α
= sebaran peluang dari mobil dengan kecepatan
+
v di posisi