Klar Wegener 1996. Jika suatu mobil bergerak lebih cepat daripada mobil di posisi depan dan jarak mobil tersebut terhadap mobil di posisi depan lebih kecil
dibandingkan dengan ambang batas, maka pengendara akan mengerem untuk mengurangi kecepatan mobil yang dikendarai atau mendahului mobil di posisi
depan. Jika mobil bergerak lebih lambat dibandingkan dengan mobil di posisi depan sehingga jarak mobil tersebut terhadap mobil di posisi depan lebih besar
dibandingkan ambang batas, maka mobil tersebut akan berakselerasi. Ambang batas dalam hal ini merupakan jarak minimum antara suatu mobil dengan mobil di
posisi depan yang terkait dengan interaksi tertentu antara keduanya. Secara umum ambang batas bergantung pada kecepatan mobil dan
kecepatan mobil di posisi depannya. Pergerakan mobil diwakili oleh persamaan diferensial biasa orde dua, yaitu
... ,
, ,
,
1 2
2
t dt
dx x
x a
dt x
d
k k
k k
k +
= , dengan asumsi
bahwa perubahan akselerasi terjadi secara spontan jika mobil ke-k melewati suatu ambang batas. Lebih lanjut, untuk memperoleh persamaan kinetik, diasumsikan
bahwa perubahan kecepatan mobil berdasarkan interaksi pada model mikroskopik yang terjadi secara spontan.
Andaikan mobil di posisi depan yaitu mobil ke-1 berada pada lokasi
1
x dengan kecepatan
1
v dan di belakang mobil ke-1 terdapat mobil ke-2 yang berada
pada lokasi
2
x dengan kecepatan
2
v . Diasumsikan bahwa
1
v dan
2
v berada pada
interval kecepatan
[ ]
w ,
, dengan w adalah kecepatan maksimum mobil. Misalkan
K adalah banyaknya ambang batas yang dipertimbangkan. Jika
mobil ke-2 melalui ambang batas
{ }
K i
, ...
, 1
∈ , yaitu jarak
2 1
x x
h −
= menjadi
lebih besar atau lebih kecil dari pada ambang batas ,
2 1
v v
H h
i
= , maka mobil ke-
2 mengubah kecepatannya menjadi kecepatan baru yaitu v. Kecepatan yang baru diperoleh secara spontan dalam kaitannya terhadap fungsi sebaran tertentu dengan
fungsi kepekatan ;
, ,
2 1
ρ σ
v v
v
i
,
i
v v
Ω ∈
,
2 1
. Oleh karena
i
σ adalah fungsi kepekatan, maka harus memenuhi
1 ;
, ,
2 1
=
∫
w i
dv v
v v
ρ σ
.
2.4 Teori Kinetik
Kibble Berkshire 1996 mendefinisikan bahwa teori kinetik adalah suatu cabang ilmu fisika yang mempelajari sifat-sifat mikroskopik molekul dan interaksi
yang berhubungan dengan sifat-sifat makroskopik benda seperti hukum gas ideal. Asumsi-asumsi yang mendasari teori kinetik adalah:
1. Jumlah molekul sangat banyak. 2. Molekul-molekul tersebut merupakan molekul tunggal yang identik.
3. Molekul bergerak secara acak. 4. Gerak molekul tidak melanggar hukum gerak Newton.
5. Molekul mengalami tumbukan elastis dengan molekul lainnya. 6. Gaya gravitasi antarmolekul diabaikan.
Sifat-sifat molekul didekati dengan menggunakan sifat-sifat partikel dengan tidak mengabaikan hukum-hukum mekanika klasik.
2.5 Persamaan Kinetik
Misalkan ,
, t
v x
f adalah fungsi kepekatan peluang yang telah didefinisikan
sebagaimana sebelumnya, l menyatakan panjang jalan dan w menyatakan kecepatan maksimum mobil. Persamaan kinetik yang menyatakan perpindahan
mobil dapat didefinisikan oleh
L G
x t
t f
t f
f v
f ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= +
δ δ
δ δ
,
dengan
[
∞ ∈ ,
t ,
[ ]
l x
, ∈
,
[ ]
w v
, ∈
, dan
G
t f
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
δ δ
dan
L
t f
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
δ δ
adalah operator perolehan gain terms dan operator kehilangan loss terms berdasarkan
ketidakkontinuan perubahan kecepatan mobil Klar Wegener 1997. Lebih lanjut, operator perolehan dan operator kehilangan dapat dinyatakan sebagai
∑
=
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
K i
i G
G
t f
t f
1
δ δ
δ δ
,
∑
=
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
K i
i L
L
t f
t f
1
δ δ
δ δ
,
dengan
i G
t f
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
δ δ
dan
i L
t f
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
δ δ
adalah operator perolehan dan operator kehilangan dari ambang batas ke-i. Operator perolehan dan operator kehilangan juga
didefinisikan oleh
∑ ∫∫
= Ω
∈
+ −
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
K i
v v
i i
G
i
dv dv
t v
v v
H x
v x
f v
v v
v v
t f
1 ,
2 1
1 2
1 2
1 2
1 1
2
2 1
, ,
, ,
, ;
, ,
ρ σ
δ δ
∑ ∫
= Ω
∈
+ −
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛
K i
v v
i L
i
dv t
v v
v H
x v
x f
v v
t f
1 ,
1 1
1 1
1
1
, ,
, ,
, δ
δ ,
dengan ,
, ,
,
1 2
1
t v
d x
v x
f +
menotasikan fungsi sebaran dari pasangan mobil pada posisi
x dan mobil di posisi depan pada posisi
d x
+ , dan
∫
= =
w
dv t
v x
f t
x ,
, ,
ρ ρ
. Lebih lanjut, Nelson 1995 memperkenalkan model korelasi untuk
persamaan kinetik lalu lintas yang mengekspresikan
1
f sebagai
, ,
~ ,
, ,
, ,
, ,
,
1 2
1 2
1
t d
x k
t v
d x
f t
v x
f t
v d
x v
x f
+ =
+ .
Sebagai tambahan juga diasumsikan bahwa k ~
tidak bergantung secara eksplisit pada x dan t, tetapi hanya bergantung pada kepadatan lokal. Oleh karena itu
1
f dapat dinyatakan sebagai
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
1 2
1 2
1
t x
d k
t v
d x
f t
v x
f t
v d
x v
x f
ρ +
= +
, dengan k bergantung pada
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ +
2 d
x ρ
dan k merupakan fungsi umum dari ,
. t ρ
. Didefinisikan
f C
i +
merupakan suatu besaran yang menggambarkan resultan dari interaksi antarobjek yang dinyatakan sebagai
∫∫
Ω ∈
+
− =
i
v v
i i
i
t v
x f
v v
H k
t x
v v
v v
v f
C
, 2
2 1
2 1
1 2
2 1
, ,
, ,
, ;
, ,
ρ ρ
σ
2 1
1 2
1
, ,
, dv
dv t
v v
v H
x f
i
+
∫
Ω ∈
+ −
−
i
v v
i i
dv t
v v
v H
x f
t v
x f
v v
H k
v v
, 1
1 1
1 1
1
, ,
, ,
, ,
, ρ
. Selanjutnya persamaan kinetik lalu lintas yang akan menjadi dasar dari seluruh
investigasi berikutnya dapat dinyatakan sebagai
