Model Ruang Stokastik Homogen Sebaran Mobil di Posisi Depan
dan
∫
∞
, .
; dh
f h
q h
∫ ∫
+ +
∞
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ =
w
dv v
h x
F dh
f h
q h
, ,
. ;
α
∫∫
+ ∞
+
+ =
w
dv dh
v h
x F
f h
q h
0 0
, ,
. ;
α
, sehingga
ρ 1
, .
; =
∫
∞
dh f
h q
h . 4.3.11
Berdasarkan model mikroskopik yang telah dikaji sebelumnya, dapat diketahui bahwa ambang batas pengereman
v H
B
adalah jarak minimum antarmobil. Diasumsikan bahwa mobil bergerak secara bebas, yang berarti bahwa
mobil di posisi depan menyebar secara eksponensial. Dengan kata lain, kepadatan dari sebaran mobil di posisi depan untuk mobil dengan kecepatan v adalah
, ;
, [
h e
f v
h q
v H
v H
h
B B
∞ −
−
= χ
γ
γ
. Parameter
γ ditentukan oleh besar dari rata-rata ruang yang diperlukan antarmobil yaitu sebesar ρ
1 .
Dengan meninjau kembali model mikroskopik, diketahui bahwa hampir seluruh mobil berosilasi antara ambang batas pengereman dan ambang batas
akselerasi. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa sejumlah tertentu mobil dengan proporsi
1 ,
1 −
λ λ
menyebar secara eksponensial, dan mobil dengan proporsi
λ memiliki ciri bahwa gerakan maju mobil menyebar seragam antara ambang batas pengereman
B
H dan ambang batas akselerasi
A
H . Dengan
menotasikan fungsi karakteristik sebagai χ , diperoleh
[
1 ~
1 ,
;
, ,
[ ~
h v
H v
H h
e f
v h
q
v H
v H
B A
v H
v H
h
A B
B B
χ λ
χ ρ
λ
ρ
− +
− =
∞ −
−
, 4.3.12
dengan ρ~ adalah pengurangan kepadatan. Dengan mengalikan persamaan
4.3.12 dengan h dan hasilnya diintegralkan terhadap h akan diperoleh dh
f v
h q
h ,
;
∫
∞
dh h
e h
v H
v H
h
B B
~ 1
, [
~ ∞
− −
∞
− =
∫
χ ρ
λ
ρ
[
dh h
v H
v H
h
v H
v H
B A
A B
1
,
χ λ
− +
∫
∞
dh h
v H
v H
dh e
h e
v H
v H
B A
h v
H v
H
A B
B B
∫ ∫
− +
− =
− ∞
~ ~
1 ~
1 λ
ρ λ
ρ ρ
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ −
− =
∫
∞ −
∞ −
~ ~
~
~ 1
~ ~
1
v H
h H
h v
H
B v
B B
e e
h e
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ λ
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
− +
2
2 1
1
v H
v H
B A
A B
h v
H v
H λ
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ − −
− =
∞ −
− ~
2 ~
~
~ 1
~ ~
1
v H
h v
H B
v H
B B
B
e e
v H
e
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ λ
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
− −
+
2 2
2 1
1 v
H v
H v
H v
H
B A
B A
λ
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− −
− =
− −
~ 2
~ ~
~ 1
~ ~
1
v H
v H
B v
H
B B
B
e e
v H
e
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ λ
2 v
H v
H v
H v
H v
H v
H
B A
B A
B A
− −
+ +
λ
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
=
− −
~ ~
~
~ 1
1
v H
v H
B v
H
B B
B
e e
v H
e
ρ ρ
ρ
ρ λ
2 v
H v
H
B A
+ +
λ
2 ~
1 1
v H
v H
v H
B A
B
+ +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
= λ
ρ λ
. 4.3.13 Lebih lanjut, dengan menyubstitusi persamaan 4.3.13 pada persamaan 4.3.11
akan diperoleh
∫
∞
= ,
. ;
1 dh
f h
q h
ρ +
+ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
− =
2 ~
1 1
1 v
H v
H v
H
B A
B
λ ρ
λ ρ
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
= ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
+ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
− =
∫ ∫
∫ ∫
∫
w B
w A
w w
B w
B A
B
dv v
F v
H dv
v F
v H
dv v
F dv
v F
v H
dv v
F v
H v
H v
H
2 ~
1 1
1 2
~ 1
1 1
λ ρ
λ ρ
λ ρ
λ ρ
[ ]
+ +
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ −
=
B A
B
H H
H 2
~ 1
1 1
λ ρ
λ ρ
ρ λ
λ λ
ρ ~
1 2
1 1
− =
+ −
− −
B A
B
H H
H
, 1
2 1
1 ~
~ 1
2 1
1
λ ρ
λ ρ
λ ρ
ρ ρ
λ ρ
λ ρ
λ ρ
− =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ −
− −
− =
+ −
− −
B A
B B
A B
H H
H H
H H
sehingga pengurangan kepadatan yaitu ρ~ ditentukan sedemikian sehingga
persamaan 4.3.11 dapat memenuhi
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ +
− −
− =
2 1
1 1
~
A B
B
H H
H λ
λ ρ
ρ λ
ρ ,
4.3.14
dengan 2
1 +
+ −
A B
B
H H
H λ
λ adalah rata-rata ruang yang
diperlukan setiap mobil dengan mobil di posisi depan yang menyebar secara eksponensial, jika mobil di posisi depan dari mobil lainnya diasumsikan menyebar
seragam antara
B
H dan
A
H .
Dari persamaan 4.3.14 dapat dilakukan prosedur penurunan nilai ρ , yaitu
sebagai berikut
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ +
− −
− =
2 1
1 1
~
A B
B
H H
H λ
λ ρ
ρ λ
ρ
ρ λ
λ λ
ρ ρ
1 2
1 1
~ −
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
+ −
−
A B
B
H H
H ρ
λ λ
λ ρ
ρ ρ
1 2
1 ~
~ −
= ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
+ −
−
A B
B
H H
H ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
+ −
+ −
= 2
1 ~
1 ~
A B
B
H H
H λ
λ ρ
ρ ρ
λ ρ
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ +
− +
− =
2 1
~ 1
~
A B
B
H H
H λ
λ ρ
λ ρ
ρ
ρ λ
λ ρ
λ ρ
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
+ −
+ −
2 1
~ 1
~
A B
B
H H
H .
Lebih lanjut diperoleh
2 1
~ 1
~ ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ +
+ −
+ −
=
A B
B
H H
H λ
λ ρ
λ ρ
ρ
. 2
1 ~
1 1
2 1
~ 1
~ ~
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ +
− +
− =
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ +
− +
− =
A B
B A
B B
H H
H H
H H
λ λ
ρ λ
λ λ
ρ λ
ρ ρ
Sebagai akibatnya, untuk persamaan 4.3.12 dan 4.3.14 diperlukan
2 1
1 +
+ −
A B
B
H H
H λ
λ ρ
.
Kondisi ini diperbolehkan pada model dengan jenis fungsi sebaran f. Untuk perbandingan dari rata-rata sebaran mobil di posisi depan
, .
; f
h q
dan sebaran mobil di posisi depan ditentukan langsung dari model mikroskopik multijalur lalu
lintas yang telah dikaji sebelumnya.