Model Ruang Stokastik Homogen Sebaran Mobil di Posisi Depan

dan ∫ ∞ , . ; dh f h q h ∫ ∫ + + ∞ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = w dv v h x F dh f h q h , , . ; α ∫∫ + ∞ + + = w dv dh v h x F f h q h 0 0 , , . ; α , sehingga ρ 1 , . ; = ∫ ∞ dh f h q h . 4.3.11 Berdasarkan model mikroskopik yang telah dikaji sebelumnya, dapat diketahui bahwa ambang batas pengereman v H B adalah jarak minimum antarmobil. Diasumsikan bahwa mobil bergerak secara bebas, yang berarti bahwa mobil di posisi depan menyebar secara eksponensial. Dengan kata lain, kepadatan dari sebaran mobil di posisi depan untuk mobil dengan kecepatan v adalah , ; , [ h e f v h q v H v H h B B ∞ − − = χ γ γ . Parameter γ ditentukan oleh besar dari rata-rata ruang yang diperlukan antarmobil yaitu sebesar ρ 1 . Dengan meninjau kembali model mikroskopik, diketahui bahwa hampir seluruh mobil berosilasi antara ambang batas pengereman dan ambang batas akselerasi. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa sejumlah tertentu mobil dengan proporsi 1 , 1 − λ λ menyebar secara eksponensial, dan mobil dengan proporsi λ memiliki ciri bahwa gerakan maju mobil menyebar seragam antara ambang batas pengereman B H dan ambang batas akselerasi A H . Dengan menotasikan fungsi karakteristik sebagai χ , diperoleh [ 1 ~ 1 , ; , , [ ~ h v H v H h e f v h q v H v H B A v H v H h A B B B χ λ χ ρ λ ρ − + − = ∞ − − , 4.3.12 dengan ρ~ adalah pengurangan kepadatan. Dengan mengalikan persamaan 4.3.12 dengan h dan hasilnya diintegralkan terhadap h akan diperoleh dh f v h q h , ; ∫ ∞ dh h e h v H v H h B B ~ 1 , [ ~ ∞ − − ∞ − = ∫ χ ρ λ ρ [ dh h v H v H h v H v H B A A B 1 , χ λ − + ∫ ∞ dh h v H v H dh e h e v H v H B A h v H v H A B B B ∫ ∫ − + − = − ∞ ~ ~ 1 ~ 1 λ ρ λ ρ ρ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ∫ ∞ − ∞ − ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ 1 v H h H h v H B v B B e e h e ρ ρ ρ ρ ρ ρ λ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + 2 2 1 1 v H v H B A A B h v H v H λ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = ∞ − − ~ 2 ~ ~ ~ 1 ~ ~ 1 v H h v H B v H B B B e e v H e ρ ρ ρ ρ ρ ρ λ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − + 2 2 2 1 1 v H v H v H v H B A B A λ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = − − ~ 2 ~ ~ ~ 1 ~ ~ 1 v H v H B v H B B B e e v H e ρ ρ ρ ρ ρ ρ λ 2 v H v H v H v H v H v H B A B A B A − − + + λ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − − ~ ~ ~ ~ 1 1 v H v H B v H B B B e e v H e ρ ρ ρ ρ λ 2 v H v H B A + + λ 2 ~ 1 1 v H v H v H B A B + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = λ ρ λ . 4.3.13 Lebih lanjut, dengan menyubstitusi persamaan 4.3.13 pada persamaan 4.3.11 akan diperoleh ∫ ∞ = , . ; 1 dh f h q h ρ + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = 2 ~ 1 1 1 v H v H v H B A B λ ρ λ ρ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ w B w A w w B w B A B dv v F v H dv v F v H dv v F dv v F v H dv v F v H v H v H 2 ~ 1 1 1 2 ~ 1 1 1 λ ρ λ ρ λ ρ λ ρ [ ] + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = B A B H H H 2 ~ 1 1 1 λ ρ λ ρ ρ λ λ λ ρ ~ 1 2 1 1 − = + − − − B A B H H H , 1 2 1 1 ~ ~ 1 2 1 1 λ ρ λ ρ λ ρ ρ ρ λ ρ λ ρ λ ρ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − − − = + − − − B A B B A B H H H H H H sehingga pengurangan kepadatan yaitu ρ~ ditentukan sedemikian sehingga persamaan 4.3.11 dapat memenuhi ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − − − = 2 1 1 1 ~ A B B H H H λ λ ρ ρ λ ρ , 4.3.14 dengan 2 1 + + − A B B H H H λ λ adalah rata-rata ruang yang diperlukan setiap mobil dengan mobil di posisi depan yang menyebar secara eksponensial, jika mobil di posisi depan dari mobil lainnya diasumsikan menyebar seragam antara B H dan A H . Dari persamaan 4.3.14 dapat dilakukan prosedur penurunan nilai ρ , yaitu sebagai berikut ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − − − = 2 1 1 1 ~ A B B H H H λ λ ρ ρ λ ρ ρ λ λ λ ρ ρ 1 2 1 1 ~ − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − − A B B H H H ρ λ λ λ ρ ρ ρ 1 2 1 ~ ~ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − − A B B H H H ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − + − = 2 1 ~ 1 ~ A B B H H H λ λ ρ ρ ρ λ ρ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − + − = 2 1 ~ 1 ~ A B B H H H λ λ ρ λ ρ ρ ρ λ λ ρ λ ρ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − + − 2 1 ~ 1 ~ A B B H H H . Lebih lanjut diperoleh 2 1 ~ 1 ~ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − + − = A B B H H H λ λ ρ λ ρ ρ . 2 1 ~ 1 1 2 1 ~ 1 ~ ~ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − + − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − + − = A B B A B B H H H H H H λ λ ρ λ λ λ ρ λ ρ ρ Sebagai akibatnya, untuk persamaan 4.3.12 dan 4.3.14 diperlukan 2 1 1 + + − A B B H H H λ λ ρ . Kondisi ini diperbolehkan pada model dengan jenis fungsi sebaran f. Untuk perbandingan dari rata-rata sebaran mobil di posisi depan , . ; f h q dan sebaran mobil di posisi depan ditentukan langsung dari model mikroskopik multijalur lalu lintas yang telah dikaji sebelumnya.

4.3.4 Peluang Perpindahan Jalur

Berdasarkan sebaran mobil di posisi depan yaitu q, yang memberikan sebaran dari jarak i D , akan ditentukan peluang perpindahan jalur dengan menentukan peluang terjadinya gap antara mobil-mobil yang berada di lokasi i X . Hal ini sulit untuk situasi umum yang dipertimbangkan di atas. Sebagai gantinya, dapat dipertimbangkan situasi homogen yang tidak bergantung pada titik awal khusus 1 X . Oleh karena itu, ditentukan sebaran asimtotik pada ketakhinggaan dari proses tersebut, atau secara ekuivalen disebut sebagai proses pembaruan stasioner. Nilai harapan dari i D diberikan oleh ρ μ 1 = = i D E yang sesuai dengan persamaan 4.3.11. Secara umum i D E bebas terhadap i . Dengan melihat titik tetap spasial x , akan ditentukan sebaran dari jarak x B yang merupakan jarak antara titik x dengan mobil di belakang x , dan jarak x F yang merupakan jarak antara titik x dengan mobil di depan x , yaitu x N x X x B − = x X F x N x − = +1 , jika 1 + ≤ x x N N X x X . , 2 1 h B h F P x x ≥ ≥ memberikan peluang untuk gap sepanjang 1 h di depan x dan sepanjang 2 h di belakang x . Nilai asimtotik dari peluang ini untuk x menuju ke takhingga dapat diperoleh dengan menggunakan teorema pembaruan. Didefinisikan ∫ ∞ + − = ≥ ≥ 2 1 ] , . ; 1 [ 1 , 2 1 h h x x dh f h Q h B h F P μ , dengan fungsi sebaran Q didefinisikan sebagai ∫ ′ ′ = h h d f v h q f v h Q , ; , ; . 4.3.15 Persamaan di atas menghasilkan , 2 1 h B h F P x x ≥ ≥ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ + ∞ + ∞ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ − = ′ ′ − = 2 1 2 1 2 1 2 1 , ; 1 , ; , ; ] , ; 1 [ 1 h h w h h h h w h h w h w h h h dh dv v F h d f v h q dh dv v F h d f v h q v F dh dv v F h d f v h q dv v F dh h d f v h q ρ ρ ρ μ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ = 2 1 , ; h h w h dh dv v F h d f v h q ρ